[原创]2015年《南方新课堂・高考总复习》数学(文科) 第一章 第1讲 集合的含义与基本关系[配套

第一章集合与逻辑用语第1讲集合的含义与基本关系考纲要求考情风向标1.集合的含义与表示.(1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.集合间的基本关系.(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.集合的基本运算.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.纵观近几年的高考情况，可以看出本专题高考考查的特点及规律：一般都是基础题，难度不大，大多出现在选择题及填空题的前三分之一位置，但也有少数年份出现在选择题的后两题.预测2015年高考仍将以集合的交、并、补集运算为主要考点，考查学生对集合概念的认识和理解，如集合与元素，集合与集合之间的关系及运算；也可以集合知识为依托考查其他知识，如方程、不等式等，在考查其他知识的同时，突出考查准确使用数学语言的能力和运用数形结合的思想解决问题的能力；定义新运算在集合方面是一个新型的集合问题，应予以重视.1.集合的含义与表示确定性(1)集合元素的三个特征：________、________和________.(2)元素与集合的关系是______或________，用符号“____”或“____”表示.属于不属于∈(3)集合的表示法：________、________、图示法.(4)常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.列举法描述法互异性无序性2.集合间的基本关系A⊆B⇔若a∈A，则a∈B(1)对于两个集合A与B，如果集合A中任何一个元素都是集合B的元素，则称集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作A⊆B或B⊇A.用符号表达即“______________________”.(2)空集及其性质：子集真子集①空集是任何集合的______，其中“任何集合”当然也包括了∅，故有∅⊆∅.②空集是任何非空集合的________，即∅A(而A≠∅).(3)子集的有关性质：A⊆B且B⊆AA⊆C2n①A＝B⇔_______________.②A⊆B，B⊆C⇒___________.③若集合A有n个元素，则A的子集数为________.3.集合的运算及其性质{x|x∈A且x∈B}(1)集合的运算：{x|x∈A或x∈B}①交集：A∩B＝________________.②并集：A∪B＝________________.③补集：∁UA＝________________.{x|x∈U且xA}(2)集合的运算性质：并集的性质：A∪∅＝A，A∪A＝A，A∪B＝B∪A，A∪B＝A⇔B⊆A.交集的性质：A∩∅＝∅，A∩A＝A，A∩B＝B∩A，A∩B＝A⇔A⊆B；补集的性质：A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB).)B1.非空集合A，B满足A⊆B，则(A.∃x0∈A，使得x0BB.∀x∈A，有x∈BC.∃x0∈B，使得x0AD.∀x∈B，有x∈A2.集合A＝{(x，y)|x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x－y＝2}，则A∩B是()CA.(1，－1)C.{(1，－1)}D.{1，－1}3.已知集合A＝{x|x21}，B＝{a}，若A∩B＝∅，则a的取值范围是()BA.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(－1,1)B.(－∞，－1]∪[1，＋∞)D.[－1,1]B.x＝1，y＝－14.(2012年广东汕头检测)已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥2}，则图1-1-1中阴影部分所表示的集合为()A图1-1-1A.{1}C.{1,2}B.{0,1}D.{0,1,2}5.(2013年重庆)已知集合U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，BD＝{2,3}，则∁U(A∪B)＝(A.{1,3,4}C.{3})B.{3,4}D.{4}解析：方法一，因为U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∪B＝{1,2,3}，则∁U(A∪B)＝{4}.故选D.方法二，∁UA＝{3,4}，∁UB＝{1,4}，∁U(A∪B)＝∁UA∩∁UB＝{4}.故选D.考点1集合的运算例1：(2012年辽宁)已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则(∁UA)∩(∁UB)为()A.{5,8}B.{7,9}C.{0,1,3}D.{2,4,6}解析：因为全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，所以∁UA＝{2,4,6,7,9}，∁UB＝{0,1,3,7,9}，所以(∁UA)∩(∁UB)为{7,9}.故选B.答案：B【方法与技巧】本题主要考查集合的交集、补集运算，属于容易题.利用性质(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)为最佳选择.【互动探究】1.(2013年江西)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一)个元素，则a＝(A.4C.0B.2D.0或4解析：若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}只有一个元素，则方程ax2＋ax＋1＝0只有一个实数根，当a＝0时，方程无根；当Δ＝a2－4a＝0，即a＝4或a＝0(舍)时成立.故选A.A合为()图1-1-22.已知集合M＝{x|y＝3－x2}，N＝{x||x＋1|≤2}，且M，N都是全集I的子集，则图1­1­2的韦恩图中阴影部分表示的集CA.{x|－3≤x≤1}B.{x|－3≤x≤1}C.{x|－3≤x－3}D.{x|1x≤3}考点2集合间的基本关系例2：集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}.(1)若B⊆A，求实数m的取值范围；(2)当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围.解：(1)①当m＋1＞2m－1，即m＜2时，B＝∅.满足B⊆A.②当m＋1≤2m－1，即m≥2时，要使B⊆A成立，综上所述，当m≤3时有B⊆A.需m＋1≥－2，2m－1≤5，可得2≤m≤3.(2)∵x∈R，且A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立.即A∩B＝∅.①若B＝∅，即m＋1＞2m－1，得m＜2时满足条件.②若B≠∅，则要满足条件有：解得m＞4.综上所述，实数m的取值范围为有m＜2或m＞4.m＋1≤2m－1，m＋15，或m＋1≤2m－1，2m－1－2，【方法与技巧】(1)空集是任何集合的子集，因此当B⊆A时需考虑B＝∅的情形；(2)当A∩B＝∅时也需考虑B＝∅的情形，如果集合B不是空集，要保证B⊆A，可以利用数轴，这样既直观又简洁；(3)虽然本题的难度不大，但都需要分两种情况讨论，在(1)中解不等式组时需求交集，而最终结果又都要求两种讨论结果的并集，因此本题综合性比较强.【互动探究】3.(2012年湖北)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0x5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个解析：求解一元二次方程，得A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}＝{1,2}，易知B＝{x|0x5，x∈N}＝{1,2,3,4}.因为A⊆C⊆B，所以根据子集的定义，集合C必须含有元素1、2，且可能含有元素3、4，原题即求集合{3,4}的子集个数，即有22＝4个.故选D.DB4.(2012年全国)已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝()A.0或3B.0或3C.1或3D.1或3解析：因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以m＝3或m＝m.若m＝3，则A＝{1,3，3}，B＝{1,3}，满足A∪B＝A.若m＝m，解得m＝0或m＝1.若m＝0，则A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，满足A∪B＝A.若m＝1，A＝{1,3,1}，B＝{1,1}，显然不成立.综上m＝0或m＝3.考点3与集合有关的新概念问题例3：如图1-1-3所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合.若x，y∈R，A＝{x|y＝A.{x|0x2}C.{x|0≤x≤1或x≥2}B.{x|1x≤2}D.{x|0≤x≤1或x2}图1-1-32x－x2}，B＝{y|y＝3x(x0)}，则A#B为()答案：D【方法与技巧】根据图形语言可知定义的A#B可转化为A#B＝∁A∪B(A∩B).所以需要求出和，借助数轴求出并集与交集.解题的关键是由图形语言把新定义运算转化为原有的普通运算解出.解析：A＝{x|y＝2x－x2}＝{x|2x－x2≥0}＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＝3x(x0)}＝{y|y1}，则A∪B＝{x|x≥0}.A∩B＝{x|1x≤2}.根据新运算，得A#B＝∁A∪B(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x2}.故选D.【互动探究】5.(2013年山东)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()CA.1个B.3个C.5个D.9个解析：∵A＝{0,1,2}，B＝{x－y|x∈A，y∈A}，∴当x＝0，y分别取0,1,2时，x－y的值分别为0，－1，－2；当x＝1，y分别取0,1,2时，x－y的值分别为1,0，－1；当x＝2，y分别取0,1,2时，x－y的值分别为2,1,0；∴B＝{－2，－1,0,1,2}，∴集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个.CA.5个B.7个C.9个D.11个解析：当a，b奇偶性相同时，a⊕b＝a＋b＝1＋7＝2＋6＝3＋5＝4＋4.当a，b奇偶性不同时，a⊕b＝ab＝1×8，由于(a，b)有序，故共有元素4×2＋1＝9(个).6.对任意两个正整数m，n，定义某种运算⊕：m⊕n＝m＋n，m与n奇偶性相同，mn，m与n奇偶性不同，则集合P＝{(a，b)|a⊕b＝8，a，b∈N*}中元素的个数为()