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Copyright2004-2009版权所有盗版必究Copyright2004-2009版权所有盗版必究Copyright2004-2009版权所有盗版必究考纲预览1.理解数列的概念，了解数列通项公式的意义．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题.Copyright2004-2009版权所有盗版必究命题探究1.数列是高中数学的重要内容之一，主要考查两个方面：一方面是数列的基本概念，另一方面是数列的运算．对这部分内容的考查除了基础知识的考查外，重点考查运用数列的知识和方法解决问题的能力，在高考中可能会出现新的命题背景，如与日常生活联系密切的教育贷款，购房贷款，增长率等问题．2.本章以考查数列内容为背景，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用递推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学思想方法，同时还要注意与解析几何、导数结合的创新题型.Copyright2004-2009版权所有盗版必究•第一节数列的概念Copyright2004-2009版权所有盗版必究Copyright2004-2009版权所有盗版必究考纲要求1.理解数列的概念．2.了解数列通项公式的意义．3.了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．考试热点1.以an与Sn的关系为条件考查数列通项的求法．2.以递推数列、新情境下的数列为载体，考查数列的通项及性质.Copyright2004-2009版权所有盗版必究Copyright2004-2009版权所有盗版必究•1．数列的定义•按一定次序排成的一列数叫做数列，即a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．其中，称为数列{an}的首项，称为数列{an}的通项．数列{an}可以看作是项数n的函数，an＝f(n)，其定义域为正整数集N*或它的子集．Copyright2004-2009版权所有盗版必究•2．数列的分类•(1)按项分类：•(2)按an的增减性分类：Copyright2004-2009版权所有盗版必究(3)按an是否有界分类：有界数列：存在正数M使|an|≤M，n∈N*；无界数列：对于任何正数M，总有项an使得|an|M.Copyright2004-2009版权所有盗版必究•3．数列的表示法•(1)解析法(公式法)：通项公式或递推公式；•(2)列表法：a1，a2，a3，…，an，…；•(3)图象法：数列可用的点表示；一群孤立Copyright2004-2009版权所有盗版必究•4．通项公式•如果数列{an}的之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，可以记为(n∈N*)．第n项an与项数nan＝f(n)Copyright2004-2009版权所有盗版必究5．数列的前n项和数列{an}的前n项之和叫做数列的前n项和，常用Sn表示．Sn＝a1＋a2＋…＋an，Sn与通项an的基本关系是：•6．递推公式•递推公式往往明确了后项与前项(一项、二项)的关系，要能由递推关系式准确写出数列的前若干项．Copyright2004-2009版权所有盗版必究1．数列1，－1，－1,1,1，－1，－1,1…的一个通项公式可能是()A．an＝2cos(nπ2－π4)B．an＝2cos(nπ2＋π4)C．an＝12sinnπ2＋2D．an＝1＋(－1)n－12解析：令n＝1,2,3,4…，逐项代入验证可知选A.答案：ACopyright2004-2009版权所有盗版必究2．若数列{an}的前n项的和Sn＝32an－3，那么这个数列的通项公式为()A．an＝2×3n－1B．an＝3×2nC．an＝3n＋3D．an＝2×3n答案：DCopyright2004-2009版权所有盗版必究3．数列{an}中a1＝1，对所有的n≥2都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3等于()A.94B.32C.259D.2516答案：ACopyright2004-2009版权所有盗版必究4．已知数列{an}的前n项的和Sn＝3(3n＋1)2，则数列{an}的通项an＝________.Copyright2004-2009版权所有盗版必究•5．已知数列{an}中，a1＝5，an＋1＝2an＋5，求通项公式．Copyright2004-2009版权所有盗版必究Copyright2004-2009版权所有盗版必究[例1]根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式．(1)－1,7，－13,19，…；(2)23，415，635，863，1099，…；(3)12，2，92，8，252，…；(4)5,55,555,5555，….Copyright2004-2009版权所有盗版必究[解](1)各项的符号可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，各项的绝对值的排列规律为：后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解成1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积．经过组合，知所求数列的一个通项公式为an＝2n(2n－1)(2n＋1).Copyright2004-2009版权所有盗版必究(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，42，92，162，252，…，从而可得数列的一个通项公式为an＝n22.(4)联想99…9n个＝10n－1，则an＝55…5n个＝59(99…9n个)＝59(10n－1)，即数列的一个通项公式为an＝59(10n－1)．Copyright2004-2009版权所有盗版必究[拓展提升]①借助(－1)n或(－1)n＋1来解决项的符号问题．②项为分数的数列，可进行恰当的变形，寻找分子、分母各自的规律以及分子、分母间的关系．③对较复杂的数列通项公式的探求，可借助熟知的数列，如{n2}，1n，{2n}，{(－1)n}等，以及等差数列、等比数列来解决．Copyright2004-2009版权所有盗版必究写出下列数列的一个通项公式：(1)3,5,9,17,33，…(2)－1，85，－157，249，…(3)1,0，13，0，15，0，17，0，…(4)－1,0，－1,0，…Copyright2004-2009版权所有盗版必究解：(1)观察各项的特点：每一项都比2的方幂多1，所以an＝2n＋1.(2)数列的符号规律为(－1)n，由第二、三、四项特点，可将第一项看作－33，这样，先不考虑符号，则分母为3,5,7,9，…，可归纳为2n＋1，分子为3,8,15,24，…，将其每一项加1后变为4,9,16,25，…，可归纳为(n＋1)2，综上，数列的通项公式为an＝(－1)n·(n＋1)2－12n＋1＝(－1)nn2＋2n2n＋1.Copyright2004-2009版权所有盗版必究(3)把数列改写成11，02，13，04，15，06，17，08，…，分母依次为1,2,3，…，而分子1,0,1,0，…周期性出现，因此数列的通项可表示为an＝1＋(－1)n＋12n.(4)an＝－1(n为奇数)0(n为偶数).亦可将原数列看作两个数列－1,1，－1,1，…和－1，－1，－1，…对应项相加之和的12构成，由这两个数列的通项公式得an＝12[(－1)n－1]．Copyright2004-2009版权所有盗版必究•[例2]已知数列{an}的前n项和为Sn，根据下列条件，求数列的通项公式an.•(1)Sn＝n2－2n＋1；•(2)Sn＝1＋2an.Copyright2004-2009版权所有盗版必究[解](1)当n＝1时，a1＝S1＝0，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－2n＋1－[(n－1)2－2(n－1)＋1]＝2n－3(n≥2)，因为a1不符合上式，所以数列的通项公式为an＝0(n＝1)，2n－3(n≥2).(2)由题意，知Sn＋1＝1＋2an＋1，Sn＝1＋2an.两式作差，得Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an，即an＋1＝2an＋1－2an，所以an＋1＝2an，又因为a1＝S1＝1＋2a1，所以a1＝－1，而an＋1an＝2，故由等比数列的通项公式可知an＝－2n－1.Copyright2004-2009版权所有盗版必究[拓展提升]解本题的依据是an＝S1(n＝1)，Sn－Sn－1(n≥2).第(1)小题应注意对n＝1和n≥2两种情况的讨论，第(2)小题是依据上述关系式得出数列的递推公式，然后再求数列的通项公式．Copyright2004-2009版权所有盗版必究设正数数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝14(an＋1)2.求数列{an}的通项公式．Copyright2004-2009版权所有盗版必究[例3]设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a2n＋1－na2n＋an＋1·an＝0(n＝1,2,3，…)，求它的通项公式．Copyright2004-2009版权所有盗版必究解法1：累乘法a2a1·a3a2·a4a3·a5a4·…·anan－1＝12·23·34·45·…·n－1n，∴an＝1n.解法2：迭代法∵an＋1＝nn＋1an，∴an＝n－1nan－1＝n－1n·n－2n－1·an－2＝n－1n·n－2n－1·n－3n－2an－3＝…＝n－1n·n－2n－1·n－3n－2·…·12a1，∴an＝1n.Copyright2004-2009版权所有盗版必究解法3：特殊数列法∵an＋1an＝nn＋1，∴(n＋1)an＋1nan＝1，∴数列{(n＋1)an＋1}是一个以a1为首项，1为公比的等比数列，∴nan＝a1·qn－1＝1·1＝1，∴an＝1n.Copyright2004-2009版权所有盗版必究•已知数列{an}满足a1＝1，an＝3n－1＋an－1(n≥2)，求通项公式an.Copyright2004-2009版权所有盗版必究解法2：由an＝3n－1＋an－1得an＝3n－1＋an－1＝3n－1＋3n－2＋an－2＝3n－1＋3n－2＋3n－3＋an－3＝…＝3n－1＋3n－2＋…＋32＋a2＝3n－1＋3n－2＋…＋32＋31＋a1＝3n－1＋3n－2＋…＋32＋31＋1＝3n－12.Copyright2004-2009版权所有盗版必究•[例4](2009·湖南高考)对于数列{un}，若存在常数M0，对任意的n∈N*，恒有|un＋1－un|＋|un－un－1|＋…＋•|u2－u1|≤M，则称数列{un}为B－数列．•(1)首项为1，公比为q(|q|1)的等比数列是否为B－数列？请说明理由；Copyright2004-2009版权所有盗版必究•(2)设Sn是数列{xn}的前n项和．给出下列两组论断：•A组：①数列{xn}是B－数列，②数列{xn}不是B－数列；•B组：③数列{Sn}是B－数列，④数列{Sn}不是B－数列．•请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题．判断所给命题的真假，并证明你的结论；•(3)若数列{an}，{bn}都是B－数列，证明：数列{anbn}也是B－数列．Copyright2004-2009版权所有盗版必究•[分析]本题的第(1)问是探究首项为1，公比为q(|q|•1)的等比数列是否为B－数列，解题的方向是将B－数列定义中绝对值的和转化成等比数列的和，并使其和不大于一个正的常数．第(2)问可先取特殊数列进行判断，然后给出命题，证明命题结论．第(3)问需要利用绝对值不等式的性质，从B－数列的定义出发，进行合理放缩．Copyright2004-2009版权所有盗版必究[解](1)设满足题设的等比数列为{an}，则an＝qn－1.于是|an－an－1|＝|qn－1－qn－2|＝