研究生传热学课第3章-2010

山东建筑大学2020/3/31OilatT∞SolarDryingChapter3Unsteady-stateconductionWhatisunsteady-stateconduction?山东建筑大学2020/3/32第3章非稳态导热Unsteady-stateconduction非稳态导热问题的类型（1）瞬态导热：suddenchange（2）周期性非稳态导热Tofind非稳态导热过程中温度场分布及热流密度随时间和空间的变化规律：1.对流边界条件下一维瞬态导热的分析解法；2.非稳态导热的集总参数分析法；3.半无限大固体的非稳态导热；4.周期性边界条件下的非稳态导热；Content：山东建筑大学2020/3/333.1非稳态导热的基本概念Eg1.无限大平壁初始温度为t0：令左侧表面温度突然升高到t1，而右侧仍与温度为t0的空气接触，分析温度随时间的变化HFDCBAG3.1.1介绍几个非稳态的例子：山东建筑大学2020/3/34τtt1X=0X=/4X=/2τqX=0X=温度随时间的变化，热流随时间的变化时间趋于无限长时，温度会趋于稳态，达到另一个平衡思考：为何左侧热流与右侧热流不相同？山东建筑大学2020/3/35Eg3.采暖房屋外墙12采暖前，外墙温度场是稳态的，开始采暖时，室内空气很快升高到一温度并维持不变，分析温度场及热流密度的变化思考：Q1随时间而减少；Q2却随时间而增大，为什么？山东建筑大学2020/3/36三个阶段：（1）不规则情况阶段；（2）正常情况阶段；（3）新的稳态阶段。正常情况阶段的特点：物体内初始温度分布消失，各点的温度变化具有一定的规律。123.1.2瞬态导热过程的特点山东建筑大学2020/3/373.21-Dtransientconductionunderconvectionboundaryconditions3.2.1无限大平壁对称冷却或加热问题的分析解（工程常见的1-Dtransientconduction）Given：厚度为2，无内热源，•导热系数、热扩散率为常数，•初始温度为t0。•两侧流体温度突然降低为tf，•壁面表面传热系数h为常数。考虑温度场的对称性，选取坐标系如图，仅需讨论半个平壁的导热问题。tftf1-Dtransientconductionproblem山东建筑大学2020/3/3822ttax00,tt0,0txx（对称性）f,txhttx引进无量纲过余温度、0无量纲坐标，Xx222aX00,10,0Xx1,hXX222aX2aFoFo是无量纲特征数，称为傅里叶数hBi称为毕渥数ftt令过余温度1.数学模型22(1)ax00f0,(2)tt0,0(3)xx,(4)xhx山东建筑大学2020/3/39傅里叶数的物理意义：22aFoaFo为两个时间之比，是非稳态导热过程的无量纲时间。毕渥数的物理意义：1hBihBi为物体内部的导热热阻与边界处的对流换热热阻之比。由无量纲数学模型可知，是Fo、Bi、X三个无量纲参数的函数(,,)fFoBiX确定此函数关系是求解该非稳态导热问题的主要任务。山东建筑大学2020/3/3102、方程求解应用分离变量法，假定22ax(,)()()xXx2211ddXadXdx令2211ddXadXdx和＝解上述方程可得：1cexpa＝（）0:，，可能吗？0:＝增大，不变，可能吗？0:0，，可能吗？221cexp()a令＝，则＝山东建筑大学2020/3/311221dXXdx2＝－2r02特征方程：+＝12ri，＝23Xcossincxcx2(x,)=XcossinexpAxBxa00xxxhx20(sin0cos0)exp()0xABax0B22sin()exp()cos()exp()AahAa2(x,)=cosexpAxac()()htgctgh求关于时间的函数山东建筑大学2020/3/312()Bictg超越方程1ctyg2yBi根有无穷多个，是Bi的函数。无论Bi取任何值，都是正的递增数列12n、、、Bi取一定值，温度特解为：21111Acos()exp();xa＝22222Acos()exp()xa＝根据数学物理方程，方程的通解为各个特解的线性叠加：21(,)Acos()exp()nnnnxxa＝hBi令：；令：＝该解满足方程(1)，(3)，(4)，系数A由初始条件确定山东建筑大学2020/3/31300f0,(2)tt01cos()nnnxA0,100cos()cos()cos()mnnmnxxxdxAdx对上述方程两边同乘以，并在0~δ进行积分cos()mx,0cos()cos()0nmxxmndx时，＝20n00cos()cos()nnxxdxAdx0n0n02n0cos()2sinsincoscos()nnnnxdxAxdx＝山东建筑大学2020/3/314根有无穷多个，是Bi的函数。无论Bi取任何值，都是正的递增数列，的解是一个快速收敛的无穷级数。12n、、、由解的函数形式可以看出，确实是Fo、Bi、X三个无量纲特征数的函数210,2sincossincosnFonnnnnnxxe22012sin,cossincosnannnnnnxxe山东建筑大学2020/3/3151）傅里叶数Fo对温度分布的影响分析解的计算结果表明，当Fo0.2时，可近似取级数的第一项，对工程计算已足够精确，即21110111,2sincossincosFoxxe2.分析解的讨论对于平壁中心，0,Xxm上面两式之比01mm0cos,xxfBi21m101112sin,sincosFoefBiFo山东建筑大学2020/3/316在0~时间内，微元薄层dx单位面积放出的热量等于其热力学能的变化，00dQcttdxcdx在0~时间内，单位面积平壁放出的热量000021Qcdxcdx将Fo0.2时无量纲过余温度的近似解代入上式，得2110111102sin21cossincosFoxQcedx21210211112sin21sincosFoce0Q？=0xdx003.平壁与周围流体之间交换的热量山东建筑大学2020/3/31721212011112sin1,sincosFoQefBiFoQ4.HeislerCharts(proposedin1947代替级数解）1）21m101112sin,sincosFoefBiFo山东建筑大学2020/3/3182）01mm0cos,xxfBi山东建筑大学2020/3/3193）heatfluxincurves21212011112sin1,sincosFoQefBiFoQEg：3-13-2山东建筑大学2020/3/320因为，所以将上式左、右两边取对数，可得2aFo2110121112sinlnlncossincosaxm为一与时间、地点无关的常数，只取决于第三类边界条件、平壁的物性与几何尺寸。令：212am式右边的第二项只与Bi、x/有关，与时间无关。21110111,2sincossincosFoxxe5、Fo对温度分布的影响山东建筑大学2020/3/321上式可改写为该式说明，当Fo0.2时，即时，平壁内所有各点过余温度的对数都随时间线性变化，并且变化曲线的斜率都相等，这一温度变化阶段称为非稳态导热的正常情况阶段。20.2a上式两边求导，可得m的物理意义是过余温度对时间的相对变化率，单位是1/s，称为冷却率（或加热率）。上式说明，当Fo0.2，进入正常情状况阶段后，所有各点的冷却率都相同，且不随时间而变化，其大小取决于物体的物性、几何形状与尺寸及表面传热系数。ln,mCBix2121am山东建筑大学2020/3/322可见，当Fo0.2，非稳态导热进入正常情况阶段以后，虽然与m都随时间变化，但它们的比值与时间无关，只取决于毕渥数Bi与几何位置x/。认识正常情况阶段的温度变化规律具有重要的实际意义，因为工程技术中的非稳态导热过程绝大部分时间都处于正常情况阶段。山东建筑大学2020/3/3236、BoitNumber:Bi对温度分布的影响平壁非稳态导热第三类边界条件表达式：xxhxxxxxhBi上式的几何意义：在整个非稳态导热过程中平壁内过余温度分布曲线在边界处的切线都通过点即，该点称为第三类边界条件的定向点。(/,)fOht(/,)fOBitxxhxxxhx山东建筑大学2020/3/324毕渥数Bi对温度分布的影响分析(a)Bi0:平壁的导热热阻趋于零，平壁内部各点温度在任一时刻都趋于一致，变化的快慢取决于平壁表面的对流换热强度。定向点在无穷远处。工程上只要Bi0.1，就可以近似地按这种情况处理，用集总参数法进行计算。(b)Bi:对流换热热阻趋于零，非稳态导热一开始平壁表面温度就立即变为流体温度，相当于给定了壁面温度，即给定了第一类边界条件，平壁内部的温度变化完全取决于平壁的导热热阻。定向点位于平壁表面上。当Bi100时可近似按此处理。(c)0Bi100，按一般情况处理。hBi山东建筑大学2020/3/325Notice:(1)上述分析是针对平壁被冷却的情况进行的，但分析结果对平壁被加热的情况同样适用；(2)由于平壁温度场是对称的，所以分析时只取半个平壁作为研究对象，这相当于一侧（中心面）绝热、另一侧具有第三类边界条件的情况，因此分析结果也适用于同样条件的平壁；(3)线算图只适用于Fo0.2的情况;山东建筑大学2020/3/3267、Lumped-capacityanalysis（Bi0.1）当Bi0.1时，物体内部的导热热阻远小于其表面的对流换热热阻，可以忽略，物体内部各点的温度在任一时刻都近似于均匀，物体的温度只是时间的函数。对于这种情况，只须求解物体温度随时间的变化规律以及物体放出或吸收的热量。假设：一个任意形状的物体，体积为V，表面面积为A，密度、比热容c及热导率为常数，无内热源，初始温度为t0。突然将该物体放入温度tf恒定的流体中，物体表面和流体之间对流换热的表面传热系数h为常数。假设该问题满足Bi0.1的条件。山东建筑大学2020