1.2.1 三角函数的定义

-1-1.2任意角的三角函数-2-1.2.1三角函数的定义ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义,了解任意角的正割、余割、余切的定义,会根据定义求角的正弦、余弦、正切值.2.掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域,并知道三角函数在各象限内的符号.3.使学生认识到现在三角函数的定义是初中所学锐角三角函数的推广,加深对从特殊到一般的认识规律的理解.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航121.三角函数的定义和定义域在平面直角坐标系中,设角α的终边上任意一点P的坐标是(x,y),它与原点O的距离是r(r=𝑥2+𝑦20).三角函数定义定义域名称sinαyrR正弦cosα𝑥𝑟R余弦tanα𝑦𝑥𝛼𝛼≠𝑘π+π2,𝑘∈Z正切secα𝑟𝑥𝛼𝛼≠𝑘π+π2,𝑘∈Z正割cscα𝑟𝑦{α|α≠kπ,k∈Z}余割cotα𝑥𝑦{α|α≠kπ,k∈Z}余切ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12归纳总结由定义可知,这六个比值的大小与在终边上所取的点P的位置无关,只与角α的大小有关,即它们都是以角α为自变量,以比值为函数值的函数.定义中的α是任意角,但对于一个确定的角,只要各个三角函数有意义,其值就是唯一的.另外,还应注意到此处定义三角函数的方法是坐标法,这与初中所学的在直角三角形中的定义相统一.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做1-1】若角θ的终边过点P(a,8),且则a的值是()A.6B.-6C.10D.-10解析:由任意角的三角函数的定义可知,解得a=±6.显然a=6时不成立,所以a=-6.答案:B【做一做1-2】若角α终边上有一点P(-2,0),则下列函数值不存在的是()A.sinαB.cosαC.tanαD.cotα答案:Dcosθ=-35𝑎𝑎2+82=-35ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航122.三角函数在各象限的符号(1)用图形表示,如图所示.(2)用表格表示,如下表.α的终边位置x轴正半轴第一象限y轴正半轴第二象限x轴负半轴第三象限y轴负半轴第四象限sinα0+1+0--1-cosα1+0--1-0+tanα0+不存在-0+不存在-ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12归纳总结三角函数值在各象限的符号可简记为:“一全正,二正弦,三两切,四余弦,正、余割同余、正弦”,即第一象限角的正弦、余弦、正切、余切值都为正;第二象限角的正弦值为正;第三象限角的正切、余切值为正;第四象限角的余弦值为正;角的正割、余割的符号与角的余弦、正弦的符号相同.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做2-1】若sinθcosθ0,则角θ的终边在()A.第一、二象限B.第一、三象限C.第一、四象限D.第二、四象限解析:由sinθcosθ0,可知若sinθ0,则cosθ0,则角θ的终边位于第一象限;若sinθ0,则cosθ0,则角θ的终边位于第三象限.综上可知,角θ的终边位于第一或第三象限.答案:B【做一做2-2】已知点P(tanα,cosα)在第三象限,则角α的终边在第象限.解析:因为点P(tanα,cosα)在第三象限,所以tanα0,cosα0.所以角α的终边在第二象限.答案:二ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航锐角三角函数推广为任意角的三角函数的过程剖析角的概念推广后,我们利用直角坐标系把锐角三角函数推广到任意角的三角函数.如图所示,射线OP在第一象限,P(x,y)是该射线上的任意一点,MP⊥Ox于点M,记∠MOP=α,则OM=x,MP=y,r=OP=𝑥2+𝑦20.由锐角三角函数的定义知,sinα=𝑦𝑟,cosα=𝑥𝑟,tanα=𝑦𝑥.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航下面我们来研究任意角的三角函数.如图所示,已知任意角α,以角α的顶点O为坐标原点,以角α的始边的方向作为x轴的正方向,建立直角坐标系xOy.在角α的终边上取点A,使OA=1,设点A的坐标为(l,m),再任取一点P(x,y),设OP=r(r≠0),由相似三角形的对应边成比例,得因为点A,P在同一象限内,所以它们的坐标符号相同.由图可以看出,当α为锐角时,上述所定义的三角函数与在直角三角形中定义的三角函数是一致的,这样就把锐角三角函数推广为任意角的三角函数.|𝑥|𝑟=|l|,|𝑦|𝑟=|m|,|𝑦||𝑥|=|𝑚||𝑙|.因此𝑥𝑟=l,𝑦𝑟=m,𝑦𝑥=𝑚𝑙,不论点P在终边上的位置如何,它们都是定值,只依赖于α的大小,与点P在α终边上的位置无关.我们定义cosα=𝑥𝑟,sinα=𝑦𝑟,tanα=𝑦𝑥.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航名师点拨1.角的正弦、余弦、正切可分别看成一个角的集合到一个比值的集合的映射.它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数,称为三角函数.2.三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小和点P(x,y)在终边上的位置无关,而由角α的终边的位置决定.对于确定的角α,其终边的位置也唯一确定.因此,三角函数是角的函数.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型一三角函数的定义【例1】已知角θ终边上一点P(x,3)(x≠0),且cosθ=1010x,求sinθ,tanθ的值.分析充分利用正弦函数、余弦函数的定义,并注意分类讨论.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三解:∵r=𝑥2+9,cosθ=𝑥𝑟,∴1010x=𝑥𝑥2+9.又x≠0,∴x=±1.∵y=30,∴θ是第一或第二象限的角.当θ为第一象限的角时,sinθ=31010,tanθ=3;当θ为第二象限的角时,sinθ=31010,tanθ=-3.反思当所给角的终边上的点含有字母时,一定要注意分类讨论,并结合函数值的正负进行取舍.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三【变式训练1】已知角α的终边经过点P(-4a,3a)(a≠0),求sinα,cosα,tanα的值.解:r=(-4𝑎)2+(3𝑎)2=5|a|.若a0,则r=5a,角α的终边在第二象限,sinα=𝑦𝑟=3𝑎5𝑎=35,cosα=𝑥𝑟=-4𝑎5𝑎=-45,tanα=𝑦𝑥=3𝑎-4𝑎=-34;若a0,则r=-5a,角α的终边在第四象限,sinα=-35,cosα=45,tanα=-34.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型二判断三角函数值的符号【例2】判断下列三角函数值的符号:(2)sin3·cos4·tan5·cot6.分析确定一个角的某一三角函数值的符号,关键要看角的终边在哪一个象限;确定一个式子的符号,则需要观察构成该式的结构特点及每部分的符号.(1)cos𝜃sin𝜃(θ为第二象限的角);ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三解:(1)∵θ是第二象限的角,∴sin30,cos40,tan50,cot60.∴sin3·cos4·tan5·cot60.反思这里的sin3就是“sin3(rad)”,将弧度省略了.在第(1)小题中解题的关键是分别判断出sinθ,cosθ的符号.∴sinθ0,cosθ0.∴cos𝜃sin𝜃0.(2)∵π23π,π43π2,3π2562π,ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三【变式训练2】下列各三角函数值:①sin1125°;②tan37π12·sin37π12;③sin4tan4;④sin1+cos1.其中为负值的有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:由1125°=1080°+45°,则1125°是第一象限的角,所以sin1125°0;因为37π12=2π+13π12,则37π12是第三象限的角,所以tan37π120,sin37π120,故tan37π12·sin37π120;因为4弧度的角是第三象限的角,则sin40,tan40,故sin4tan40;因为π41π2,则sin1+cos10.综上,②③为负值.答案:BZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型三三角函数的定义域【例3】求下列函数的定义域:分析根据三角函数的定义,并结合求函数定义域的要领列不等式或不等式组进行求解即可.(1)y=sin𝑥·tan𝑥;(2)y=lgsinx+9-𝑥2.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三解:(1)∵sinx·tanx≥0,∴sinx与tanx同号或sinx·tanx=0.∴x是第一、四象限的角或终边在x轴上的角.∴函数的定义域为由sinx0,得2kπx2kπ+π(k∈Z).①由9-x2≥0,得-3≤x≤3.②由①②,得0x≤3.故函数的定义域为{x|0x≤3}.且x≠kπ+π2,k∈Z,𝑥2𝑘π-π2𝑥2𝑘π+π2或𝑥=(2𝑘+1)π,𝑘∈Z.(2)由题意,得sin𝑥0,9-𝑥2≥0.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三反