三角函数的正交性

第七节一、三角级数及三角函数系的正交性机动目录上页下页返回结束二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数第十一章傅里叶级数一、三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动:(谐波函数)(A为振幅,复杂的周期运动:tnAtnAnnnnsincoscossin令,sinnnnAa,cosnnnAb得函数项级数)sincos(210xnbxnaannk为角频率,φ为初相)(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.机动目录上页下页返回结束xxnkxnkd)cos()cos(21定理1.组成三角级数的函数系证:1xnxdcos1xnxdsin0xxnxkdcoscos00dsinsinxxnxk同理可证:正交,上的积分等于0.即其中任意两个不同的函数之积在0dsincosxxnxk)(nk机动目录上页下页返回结束上的积分不等于0.2d11xxxndsin2xxndcos2,22cos1cos2xnxn22cos1sin2xnxn且有但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在机动目录上页下页返回结束二、函数展开成傅里叶级数定理2.设f(x)是周期为2的周期函数,且)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn右端级数可逐项积分,则有证:由定理条件,10dsindcosd2)(nnnxxnbxxnaxadxxf①②对①在逐项积分,得机动目录上页下页返回结束xxkaxxkxfdcos2dcos)(01nxxnxkandcoscosxxnxkbndsincosxxkakdcos2xxkxfakdcos)(1),2,1(k(利用正交性)),2,1(dsin)(1kxxkxfbkxxfad)(10类似地,用sinkx乘①式两边,再逐项积分可得机动目录上页下页返回结束叶系数为系数的三角级数①称为的傅里叶系数;10sincos2)(nnnxnbxnaaxf),1,0(dcos)(1nxnxxfan由公式②确定的①②以),2,1(dsin)(1nxnxxfbn的傅里的傅里叶级数.称为函数傅里叶目录上页下页返回结束定理3(收敛定理,展开定理)设f(x)是周期为2的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)在一个周期内只有有限个极值点,则f(x)的傅里叶级数收敛,且有,)(xf,2)()(xfxfx为间断点其中nnba,(证明略)为f(x)的傅里叶系数.x为连续点注意:函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.简介目录上页下页返回结束例1.设f(x)是周期为2的周期函数,它在上的表达式为xxxf0,10,1)(解:先求傅里叶系数00dcos11dcos)1(1xnxxnx),2,1,0(0n将f(x)展成傅里叶级数.oyx11机动目录上页下页返回结束00dsin11dsin)1(1xnxxnx0cos1nnx0cos1nnxnncos12nn)1(12,4n,0,5,3,1n当,6,4,2n当xxfsin4)(x3sin31xkk)12sin(121),2,,0,(xx机动目录上页下页返回结束77sinx]99sinx1)根据收敛定理可知,时,级数收敛于02112)傅氏级数的部分和逼近33sinsin4)(xxxf55sinxoyx11说明:f(x)的情况见右图.机动目录上页下页返回结束xoy例2.上的表达式为将f(x)展成傅里叶级数.解:xxfad)(100dcos1xxnxxnxxfandcos)(10d1xx0221x202cossin1nnxnnxx2cos1nn2332设f(x)是周期为2的周期函数,它在机动目录上页下页返回结束),2,1(nxnxxfbndsin)(1nn1)1(),2,1(k12knkn2,00dsin1xnxx4cosx2xsinx2sin213sin3cosxx23231x4sin415sin5cosxx252512cos1nnan,2)12(2k),2,1,0,)12(,(kkxx说明:当)12(kx时,级数收敛于22)(0机动目录上页下页返回结束周期延拓)(xF傅里叶展开上的傅里叶级数定义在[–,]上的函数f(x)的傅氏级数展开法),[,)(xxf,)2(kxf其它机动目录上页下页返回结束例3.将函数级数.oyx则xxFad)(10xxfd)(10222xxnxxFandcos)(1xnxxfdcos)(102cossin2nnxnnxx解:将f(x)延拓成以展成傅里叶2为周期的函数F(x),机动目录上页下页返回结束x3cos312)1cos(22nn12knkn2,0),2,1(k,2)12(4kxnxxfdsin)(12xcosx5cos512利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当x=0时,f(0)=0,得说明:机动目录上页下页返回结束42,421312设22217151311,6141212222已知821又21213624822212248222机动目录上页下页返回结束三、正弦级数和余弦级数1.周期为2的奇、偶函数的傅里叶级数定理4.对周期为2的奇函数f(x),其傅里叶级数为周期为2的偶函数f(x),其傅里叶级数为余弦级数,它的傅里叶系数为正弦级数,它的傅里叶系数为机动目录上页下页返回结束例4.设的表达式为f(x)＝x,将f(x)展成傅里叶级数.是周期为2的周期函数,它在解:若不计周期为2的奇函数,yxo0dsin)(2xnxxfbn),2,1,0(0nan),3,2,1(n0dsin2xnxx因此02sincos2nnxnnxxnncos21)1(2nn机动目录上页下页返回结束n＝1根据收敛定理可得f(x)的正弦级数:)(xf)3sin312sin21(sin2xxx12nnxnnsin)1(1yxo级数的部分和n＝2n＝3n＝4逼近f(x)的情况见右图.n＝5机动目录上页下页返回结束例5.将周期函数展成傅里叶级数,其中E为正常数.解:2yxo20a0dsin2ttEttntuan0dcos)(2ttntE0dcossin20d)1sin()1sin(ttntnE是周期为2的周期偶函数,因此0d)(2ttu机动目录上页下页返回结束t2cos310d)1sin()1sin(ttntnEan12,0kn1a0)(tu0d2sinttE21t4cos151t6cos351E2E4xkkEk2cos141412机动目录上页下页返回结束2.在[0,]上的函数展成正弦级数与余弦级数],0[),(xxf周期延拓F(x)f(x)在[0,]上展成周期延拓F(x)余弦级数奇延拓偶延拓xoy正弦级数f(x)在[0,]上展成xoy机动目录上页下页返回结束1xyo例6.将函数分别展成正弦级数与余弦级数.解:先求正弦级数.去掉端点,将f(x)作奇周期延拓,0dsin)1(2xnxx02cossincos2nnxnnxnnxxnnncoscos12),2,1(k机动目录上页下页返回结束nb),2,1(k21xxsin)2(x2sin2x3sin32x4sin4注意:在端点x=0,,级数的和为0,与给定函数机动目录上页下页返回结束1xyo因此得f(x)=x+1的值不同.再求余弦级数.x1y将则有o0d)1(2xx0dcos)1(2xnxx0222xx02sincossin2nnxnnxnnxx1cos22nn),2,1(k作偶周期延拓,机动目录上页下页返回结束121xxcosx3cos312x5cos512说明:令x=0可得即41212)12(14kkxk)12cos(机动目录上页下页返回结束1yox内容小结1.周期为2的函数的傅里叶级数及收敛定理)sincos(2)(10xnbxnaaxfnnn)(间断点x其中xxnxfandcos)(1xxnxfbndsin)(1),2,1,0(n),2,1(n注意:若为间断点,则级数收敛于2)()(00xfxf机动目录上页下页返回结束2.周期为2的奇、偶函数的傅里叶级数•奇函数正弦级数•偶函数余弦级数3.在[0,]上函数的傅里叶展开法•作奇周期延拓,展开为正弦级数•作偶周期延拓,展开为余弦级数1.在[0,]上的函数的傅里叶展开法唯一吗?答:不唯一,延拓方式不同级数就不同.机动目录上页下页返回结束思考与练习处收敛于2.则它的傅里叶级数在x在4x处收敛于.提示:2)()(ff2)(f)(f2222)4()4(ff2)0()0(ff21102设周期函数在一个周期内的表达式为机动目录上页下页返回结束,xyo113.设又设)(xS求当的表达式.解:由题设可知应对作奇延拓:由周期性:)0,(2x为周期的正弦级数展开式的和函数,定义域机动目录上页下页返回结束4.写出函数傅氏级数的和函数.答案:定理3目录上页下页返回结束xyo11备用题1.叶级数展式为则其中系提示:32利用“偶倍奇零”(93考研)机动目录上页下页返回结束的傅里2.设是以2为周期的函数,其傅氏系数为则的傅氏系数提示:hx令nhbnhannsincosnhanhbnnsincoshh利用周期函数性质机动目录上页下页返回结束