三角函数经典解题方法与考点题型

三角函数经典解题方法与考点题型(教师)1．最小正周期的确定。例1求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。【解】首先，T=2π是函数的周期（事实上，因为cos(-x)=cosx，所以cos|x|=cosx）；其次，当且仅当x=kπ+2时，y=0（因为|2cosx|≤2π）,所以若最小正周期为T0，则T0=mπ,m∈N+，又sin(2cos0)=sin2sin(2cosπ)，所以T0=2π。过手练习1.下列函数中，周期为2的是（）A．sin2xyB．sin2yxC．cos4xyD．cos4yx2.cos6fxx的最小正周期为5，其中0，则=3.（04全国）函数|2sin|xy的最小正周期是（）.4.（1）（04北京）函数xxxfcossin)(的最小正周期是.（2）（04江苏）函数)(1cos22Rxxy的最小正周期为（）.5.(09年广东文)函数1)4(cos22xy是()A．最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为2的奇函数D.最小正周期为2的偶函数6.（浙江卷2）函数的最小正周期是.2．三角最值问题。例2已知函数y=sinx+x2cos1，求函数的最大值与最小值。【解法一】令sinx=4304sin2cos1,cos22x,则有y=).4sin(2sin2cos2因为4304，所以42，所以)4sin(0≤1，所以当43，即x=2kπ-2(k∈Z)时，ymin=0，当4，即x=2kπ+2(k∈Z)时，ymax=2.2(sincos)1yxx【解法二】因为y=sinx+)cos1(sin2cos1222xxx,=2（因为(a+b)2≤2(a2+b2)），且|sinx|≤1≤x2cos1，所以0≤sinx+x2cos1≤2，所以当x2cos1=sinx，即x=2kπ+2(k∈Z)时,ymax=2，当x2cos1=-sinx，即x=2kπ-2(k∈Z)时,ymin=0。注：三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。过手练习1.（09福建）函数()sincosfxxx最小值是=。2.（09上海）函数22cossin2yxx的最小值是.3．将函数xxycos3sin的图像向右平移了n个单位，所得图像关于y轴对称，则n的最小正值是A．6π7B．3πC．6πD．2π4.若动直线xa与函数()sinfxx和()cosgxx的图像分别交于MN，两点，则MN的最大值为（）A．1B．2C．3D．25.函数2()sin3sincosfxxxx在区间,42上的最大值是()A.1B.132C.32D.1+33．换元法的使用。例4求xxxxycossin1cossin的值域。【解】设t=sinx+cosx=).4sin(2cos22sin222xxx因为,1)4sin(1x所以.22t又因为t2=1+2sinxcosx,所以sinxcosx=212t，所以211212ttxy，所以.212212y因为t-1，所以121t，所以y-1.所以函数值域为.212,11,212y4.函数单调性练习1.（04天津）函数]),0[()26sin(2xxy为增函数的区间是（）.A.]3,0[B.]127,12[C.]65,3[D.],65[2.函数sinyx的一个单调增区间是（）A．，B．3，C．，D．32，3.函数()sin3cos([,0])fxxxx的单调递增区间是（）A．5[,]6B．5[,]66C．[,0]3D．[,0]64．（07天津卷）设函数()sin()3fxxxR，则()fx（）A．在区间2736，上是增函数B．在区间2，上是减函数C．在区间34，上是增函数D．在区间536，上是减函数5.函数22cosyx的一个单调增区间是()A．(,)44B．(0,)2C．3(,)44D．(,)26．若函数f(x)同时具有以下两个性质：①f(x)是偶函数，②对任意实数x，都有f(x4)=f(x4)，则f(x)的解析式可以是（）A．f(x)=cosxB．f(x)=cos(2x2)C．f(x)=sin(4x2)D．f(x)=cos6x5.函数对称性练习1.（08安徽）函数sin(2)3yx图像的对称轴方程可能是（）A．6xB．12xC．6xD．12x2函数πsin23yx的图象（）Ａ．关于点π03，对称Ｂ．关于直线π4x对称Ｃ．关于点π04，对称Ｄ．关于直线π3x对称3（09全国）如果函数3cos(2)yx的图像关于点4(,0)3中心对称，那么的最小值为（）(A)6(B)4(C)3(D)26.综合练习1.（04年天津）定义在R上的函数)(xf既是偶函数又是周期函数，若)(xf的最小正周期是，且当]2,0[x时，xxfsin)(，则)35(f的值为2．(04年广东)函数f(x)22sinsin44fxxx（）（）（）是（）A．周期为的偶函数B．周期为的奇函数C．周期为2的偶函数D．.周期为2的奇函数3．（09四川）已知函数))(2sin()(Rxxxf，下面结论错误．．的是()A.函数)(xf的最小正周期为2B.函数)(xf在区间［0，2］上是增函数C.函数)(xf的图象关于直线x＝0对称D.函数)(xf是奇函数4．(07安徽卷)函数)32sin(3)(xxf的图象为C,如下结论中正确的是①图象C关于直线1211x对称;②图象C关于点)0,32(对称;③函数125,12()(在区间xf)内是增函数;④由xy2sin3的图象向右平移3个单位长度可以得到图象C.5.（08广东卷）已知函数2()(1cos2)sin,fxxxxR，则()fx是（）A、最小正周期为的奇函数B、最小正周期为2的奇函数C、最小正周期为的偶函数D、最小正周期为2的偶函数6.在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(，xxy的图象和直线21y的交点个数是（A）0（B）1（C）2（D）47．若α是第三象限角，且cos20，则2是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角8．已知函数()2sin()fxx对任意x都有()()66fxfx，则()6f等于（）A、2或0B、2或2C、0D、2或07.解答题练习1．（05福建文）已知51cossin,02xxx.（Ⅰ）求xxcossin的值；（Ⅱ）求xxxtan1sin22sin2的值.2（06福建文）已知函数22()sin3sincos2cos,.fxxxxxxR（I）求函数()fx的最小正周期和单调增区间；（II）函数()fx的图象可以由函数sin2()yxxR的图象经过怎样的变换得到？3．（2006年辽宁卷）已知函数22()sin2sincos3cosfxxxxx，xR.求:(I)函数()fx的最大值及取得最大值的自变量x的集合；(II)函数()fx的单调增区间.