集合

[知识重温]一、必记3●个知识点1．元素与集合(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系：若a属于A，记作a∈A，若b不属于A，记作b∉A.(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集及其符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR2.集合间的基本关系(1)集合相等：若集合A与集合B中的所有元素⑫都相同，则称A与B相等．(2)子集：若集合A中⑬每一个元素均为集合B中的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B或B⊇A，⑭空集是任何集合的子集．(3)真子集：若集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中⑮至少有一个元素不是集合A的元素，则称A是B的真子集，记作AB或BA.(4)空集是任何集合的子集，是任何⑯非空集合的真子集．(5)含有n个元素的集合的子集个数为⑰2n，真子集个数为⑱2n－1，非空真子集个数为⑲2n－2.3．集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A的补集为∁UA图形表示意义{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B}{x|x∈U且x∉A}二、必明5●个易误点1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．2．要注意区分元素与集合的从属关系，以及集合与集合的包含关系．3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合元素的互异性，否则很可能会因为不满足互异性而导致解题错误．[小题热身]1．已知集合P＝{x|x2}，Q＝{x|x22}，则()A．P⊆QB．P⊇QC．P⊆∁RQD．Q⊆∁RP解析：解x22，得－2x2，∴P⊇Q.答案：B2．(2018·广东省五校高三第一次考试)已知集合A＝{x|2x2－5x－3≤0}，B＝{x∈Z|x≤2}，A∩B中的元素个数为()A．2B．3C．4D．5解析：A＝{x|2x2－5x－3≤0}＝x|－12≤x≤3，B＝{x∈Z|x≤2}，A∩B＝{0,1,2}，故选B.答案：B3．(2017·天津卷)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{1,2,3,4}，则(A∪B)∩C＝()A．{2}B．{1,2,4}C．{1,2,4,6}D．{1,2,3,4,6}解析：由题意知A∪B＝{1,2,4,6}，∴(A∪B)∩C＝{1,2,4}，故选B.答案：B4．设集合U＝R，A＝{x|x2－x－20}，则∁UA＝()A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．[－1,2]C．(－∞，－1]∪[2，＋∞)D．(－1,2)解析：因为A＝{x|x2－x－20}＝{x|x－1或x2}，所以∁UA＝{x|－1≤x≤2}，故选B.答案：B5．已知集合A＝{0,1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x的值为________．解析：∵－4∈A，∴x2－5x＝－4，∴x＝1或x＝4.答案：1或46．已知集合M＝{1，m}，N＝{n，log2n}，若M＝N，则(m－n)2019＝________.解析：由M＝N知n＝1，log2n＝m或n＝m，log2n＝1，∴m＝0，n＝1或m＝2，n＝2.答案：－1或0考向一集合的基本概念[自主练透型]1．(2017·新课标全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)│x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)│y＝x}，则A∩B中元素的个数为()A．3B．2C．1D．0解析：集合A表示以原点O为圆心，半径为1的圆上的所有点的集合，集合B表示直线y＝x上的所有点的集合．结合图形可知，直线与圆有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.故选B.答案：B2．已知a，b∈R，若a，ba，1＝{a2，a＋b,0}，则a2017＋b2017为()A．1B．0C．－1D．±1解析：由已知得a≠0，则ba＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2017＋b2017＝(－1)2017＋02017＝－1.答案：C3．(2018·太原第二次质检预测)设集合A＝{x|(x－a)21}，且2∈A,3∉A，则实数a的取值范围为________．解析：由题意得2－a21，3－a2≥1即1a3，a≤2或a≥4，所以1a≤2.答案：(1,2]悟·技法与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性.考向二集合间的基本关系[互动讲练型][例1](1)(2018·河南南阳、信阳等六市一模)已知集合A＝{(x，y)|y－x＝0}，B＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，C＝A∩B，则C的子集的个数是()A．0B．1C．2D．4(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．C(－∞，3]解析：(1)由题意知C＝A∩B＝x，yy－x＝0x2＋y2＝1＝－1＋52，－1＋52，∴C的子集的个数是21＝2.故选C.(2)∵B⊆A，∴①若B＝∅，则2m－1m＋1，此时m2.②若B≠∅，则2m－1≥m＋1，m＋1≥－2，2m－1≤5.解得2≤m≤3.由①、②可得，符合题意的实数m的取值范围为m≤3.悟·技法集合间基本关系的两种判定方法和一个关键[变式练]——(着眼于举一反三)1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0x5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．答案：D2．已知集合A＝{x|y＝ln(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是()A．A＝BB．A∩B＝∅C．A⊆BD．B⊆A解析：因为A＝{x|x－3}，B＝{x|x≥2}，结合数轴可得：B⊆A.答案：D考向三集合的基本运算[分层深化型][例2](1)(2017·新课标全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x1}，B＝{x|3x1}，则()A．A∩B＝{x|x0}B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x1}D．A∩B＝∅(2)(2018·青岛检测)已知集合A＝{x||x＋1|≥1}，B＝{x|x≥－1}，则(∁RA)∩B＝()A．[－1,0]B．[－1,0)C．(－2，－1)D．(－2，－1]解析：(1)∵B＝{x|3x＜1}，∴B＝{x|x＜0}．又A＝{x|x＜1}，∴A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}．故选A.(2)本题考查集合的运算．由题意得集合A＝{x|x≤－2或x≥0}，所以∁RA＝(－2,0)，所以(∁RA)∩B＝[－1,0)，故选B.答案：(1)A(2)B悟·技法集合基本运算的求解策略(1)求解思路：一般是先化简集合，再由交、并、补的定义求解．(2)求解原则：一般是先算括号里面的，然后再按运算顺序求解．(3)求解思想：注重数形结合思想的运用，利用好数轴、Venn图等.[同类练]——(着眼于触类旁通)3．(2017·新课标全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()A．{1，－3}B．{1,0}C．{1,3}D．{1,5}解析：∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.答案：C4．(2018·南昌市第一次模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|y＝lgx}，集合B＝{y|y＝x＋1}，那么A∩(∁UB)＝()A．∅B．(0,1]C．(0,1)D．(1，＋∞)解析：由题知，A＝{x|y＝lgx}＝{x|x0}＝(0，＋∞)，B＝{y|y＝x＋1}＝{y|y≥1}＝[1，＋∞)，所以A∩(∁UB)＝(0，＋∞)∩(－∞，1)＝(0,1)．答案：C[变式练]——(着眼于举一反三)5．(2018·济南模拟)设集合A＝xx－2x＋3≤0，B＝{x|－4≤x≤1}，则A∩B＝()A．[－3,1]B．[－4,2]C．[－2,1]D．(－3,1]解析：本题考查不等式的解法、集合的运算．由题意得集合A＝{x|－3x≤2}，所以A∩B＝{x|－3x≤1}，故选D.注意不等式x＋ax＋b≥0⇔x＋ax＋b≥0，x＋b≠0.答案：D6．(2018·洛阳市第一次统一考试)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－40}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为()A．{x|－2≤x4}B．{x|x≤2或x≥4}C．{x|－2≤x≤－1}D．{x|－1≤x≤2}解析：依题意得A＝{x|x－1或x4}，因此∁RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}．答案：D[拓展练]——(着眼于迁移应用)7．(2018·江西南昌模拟)已知集合M＝{x|x2－4x0}，N＝{x|mx5}，若M∩N＝{x|3xn}，则m＋n等于()A．9B．8C．7D．6解析：由x2－4x0得0x4，所以M＝{x|0x4}．又因为N＝{x|mx5}，M∩N＝{x|3xn}，所以m＝3，n＝4，则m＋n＝7.答案：C8．已知集合A＝{x|a－1xa＋1}，B＝{x|x2－5x＋4≥0}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是________．解析：因为A＝{x|a－1xa＋1}，B＝(－∞，1]∪[4，＋∞)，由已知A∩B＝∅，所以a－1≥1，a＋1≤4，所以2≤a≤3.答案：[2,3]