中考数学专题讲练-相似一(解析版)

中考数学专题讲练相似一（解析版）1/33相似（一）一．角平分线相似模型常见题模型如下：二．平行相似模型“A”型如图，EFBC∥，则有AEAFEBCFAEAFEFBECFABACABACBC，，．“8”字型中考数学专题讲练相似一（解析版）2/33如图，EFBC∥，则有AEAFEFAEAFACABBCECBF，．常见的一些变形注意：构造平行的方法实质是为了构造出“A”型和“8”字型．三．K型图如下图，ABCCDE∽图1图2图3EDCBAECDBAEDCBA中考数学专题讲练相似一（解析版）3/33一．考点：相似模型．二．重难点：平行相似模型，k型图．三．易错点：平行类相似模型虽然是平行线分线段成比例的一种衍生，但是不同与后者的是平行线类相似模型更多的情况是利用相似图形的性质去证明一些结论，可能会用到一些其他的模型，方法比较综合．题模一：角平分线相似模型例1.1.1如图，AD是ABC的角平分线，求证：ABBDACCD．【答案】如解析【解析】如图DCBA中考数学专题讲练相似一（解析版）4/33例1.1.2如图（1）～（3），已知∠AOB的平分线OM上有一点P，∠CPD的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设∠AOB=α（0°＜α＜180°），∠CPD=β．（1）如图（1），当α=β=90°时，试猜想PC与PD，∠PDC与∠AOB的数量关系（不用说明理由）；（2）如图（2），当α=60°，β=120°时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由．（3）如图（3），当α+β=180°时，①你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立请直接写出结论；若不成立，请说明理由．②若PDPG=2，求PDPO的值．【答案】见解析【解析】（1）PC=PD，∠PDC=12∠AOB．ABCDEEDCBAGEFDCBA中考数学专题讲练相似一（解析版）5/33（2）成立．理由如下：作PE⊥AO于E，PF⊥OB于F，如图．∵OP平分∠AOB，∴PE=PF．在四边形EOFP中，∵∠AOB=60°，∠PEO=∠PFO=90°，∴∠EPF=120°，即∠EPC+∠CPF=120°．又∠CPD=120°，即∠DPF+∠CPF=120°．∴∠EPC=∠DPF．∴△EPC≌△FPD．∴PC=PD，∴∠PDC=1802CPD=30°．∵∠AOB=60°，∴∠PDC=12∠AOB，（3）①成立，②∵∠PDC=12∠AOB，∠POD=12∠AOB，∴∠PDC=∠POD．又∠DPG=∠DPO，∴△PGD∽△PDO．中考数学专题讲练相似一（解析版）6/33∴PDPG=POPD．又PDPG=2，∴PDPO=12．题模二：平行相似模型例1.2.1如图，已知////ABEFCD，若ABa，CDb，EFc，求证：111cab．【答案】见解析【解析】证明：////ABEFCD，~EFDABD，~BEFBCD，EFFDABBD，EFBFCDBD，1FDBFEFEFccBDBDABCDab，即111cab．例1.2.2如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点F在边AD上，BA的延长线交CF的延长线于点E，EC交BD于点M，且CM2=EM•FM．求证：AD∥BC．【答案】见解析中考数学专题讲练相似一（解析版）7/33【解析】∵AB∥CD，∴△BEM∽△CDM，∴BMEMDMCM，∵CM2=EM•FM．∴EMCMCMFM，∴BMCMDMFM，∴AD∥BC．例1.2.3已知：△ABC是任意三角形．（1）如图1所示，点M、P、N分别是边AB、BC、CA的中点，求证：∠MPN=∠A．（2）如图2所示，点M、N分别在边AB、AC上，且AMAB=13，ANAC=13，点P1、P2是边BC的三等分点，你认为∠MP1N+∠MP2N=∠A是否正确？请说明你的理由．（3）如图3所示，点M、N分别在边AB、AC上，且AMAB=12010，ANAC=12010，点P1、P2、…、P2009是边BC的2010等分点，则∠MP1N+∠MP2N+…+∠MP2009N=____．（请直接将该小问的答案写在横线上）【答案】（1）见解析（2）正确（3）∠A【解析】本题利用了三角形中位线定理及平行线分线段成比例的性质求解，从三角形的二等分点到n等分点，从特殊到一般，培养学生的探究能力．中考数学专题讲练相似一（解析版）8/33（1）证明：∵点M、P、N分别是AB、BC、CA的中点，∴线段MP、PN是△ABC的中位线，∴MP∥AN，PN∥AM，（1分）∴四边形AMPN是平行四边形，（2分）∴∠MPN=∠A．（3分）（2）∠MP1N+∠MP2N=∠A正确．（4分）如图所示，连接MN，（5分）∵AMAB=ANAC=13，∠A=∠A，∴△AMN∽△ABC，∴∠AMN=∠B，MNBC=13，∴MN∥BC，MN=13BC，（6分）∵点P1、P2是边BC的三等分点，∴MN与BP1平行且相等，MN与P1P2平行且相等，MN与P2C平行且相等，∴四边形MBP1N、MP1P2N、MP2CN都是平行四边形，∴MB∥NP1，MP1∥NP2，MP2∥AC，（7分）∴∠MP1N=∠1，∠MP2N=∠2，∠BMP2=∠A，中考数学专题讲练相似一（解析版）9/33∴∠MP1N+∠MP2N=∠1+∠2=∠BMP2=∠A．（3）∠A．理由：连接MN，∵AMAB=ANAC=12010，∠A=∠A，∴△AMN∽△ABC，∴∠AMN=∠B，MNBC=12010，∴MN∥BC，MN=12010BC，∵P1、P2、…、P2009是边BC的2010等分点，∴MN与BP1平行且相等，MN与P1P2平行且相等，…，MN与P2009C平行且相等，∴四边形MBP1N、MP1P2N、…、MP2009CN都是平行四边形，∴MB∥NP1，MP1∥NP2，…，MP2009∥AC，∴∠MP1N=∠BMP1，∠MP2N=∠P1MP2，…，∠BMP2009=∠A，∴∠MP1N+∠MP2N=∠BMP1+∠P1MP2+…+∠P2008MP2009=∠BMP2009=∠A．题模三：K型图例1.3.1【试题再现】如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，过点A、B分别作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E，则DE=AD+BE（不用证明）．（1）【类比探究】如图2，在△ABC中，AC=BC，且∠ACB=∠ADC=∠BEC=100°，上述结论是否成立？若成立，请说明理由：若不成立，请写出一个你认为正确的结论．（2）【拓展延伸】①如图3，在△ABC中，AC=nBC，且∠ACB=∠ADC=∠BEC=100°，猜想线段DE、AD、BE之间有什么数量关系？并证明你的猜想．②若图1的Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=nBC，并将直线l绕点C旋转一定角度后与斜边AB相交，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E，请在备用图上画出图形，并直接写出线段DE、AD、BE之间满足的一种数量关系（不要求写出证明过程）．中考数学专题讲练相似一（解析版）10/33【答案】（1）DE=AD+BE；理由见解析；（2）①DE=AD+nBE；证明见解析；②DE=nBE﹣AD．【解析】（1）【类比探究】猜想DE=AD+BE．理由：如图2，∵∠ADC=100°，∴∠DAC+∠DCA=80°．∵∠ACB=100°，∴∠DCA+∠ECB=80°，∴∠DAC=∠ECB．在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=AD+BE；中考数学专题讲练相似一（解析版）11/33（2）【拓展延伸】①猜想：DE=AD+nBE．理由：如图3，∵∠ADC=100°，∴∠DAC+∠DCA=80°．∵∠ACB=100°，∴∠DCA+∠ECB=80°，∴∠DAC=∠ECB．∵∠ADC=∠CEB，∴△ADC∽△CEB，∴===n，∴CE=AD，CD=nBE，∴DE=DC+CE=AD+nBE；②DE=AD﹣nBE或DE=nBE﹣AD．提示：同①可得：CE=AD，CD=nBE．如图4，中考数学专题讲练相似一（解析版）12/33DE=CE﹣CD=AD﹣nBE；如图5，DE=CD﹣DE=nBE﹣AD．随练1.1如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．其中正确的结论是______．【答案】①②③⑤【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠DAC=45°．在△APE和△AME中，BACDACAEAEAEPAEM，中考数学专题讲练相似一（解析版）13/33∴△APE≌△AME，故①正确；∴PE=EM=12PM，同理，FP=FN=12NP．∵正方形ABCD中，AC⊥BD，又∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，且△APE中AE=PE∴四边形PEOF是矩形．∴PF=OE，∴PE+PF=OA，又∵PE=EM=12PM，FP=FN=12NP，OA=12AC，∴PM+PN=AC，故②正确；∵四边形PEOF是矩形，∴PE=OF，在直角△OPF中，OF2+PF2=PO2，∴PE2+PF2=PO2，故③正确；∵△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，∴△POF与△BNF不一定相似，故④错误；∵△AMP是等腰直角三角形，当△PMN∽△AMP时，△PMN是等腰直角三角形．∴PM=PN，又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形，∴AP=BP，即P是AB的中点．故⑤正确．随练1.2已知ABC中，BAC的外角平分线交对边BC的延长线于D，求证：ABBDACCD．中考数学专题讲练相似一（解析版）14/33【答案】见解析【解析】易证:DACDEB∽∴BEBDACCD∵EDACBAEDAF∴EBAE∴BABE∴ABBDACCD．随练1.3如图，ABC△是一个边长为2的等边三角形，0ADBC，垂足为点0D．过点0D作01DDAB，垂足为点1D；再过点1D作120DDAD，垂足为点2D；又过点2D作23DDAB，垂足为点3D；……；这样一直作下去，得到一组线段：01DD，12DD，23DD，……，则线段12DD的长为________，线段1nnDD的长为_______（n为正整数）【答案】34；32n【解析】该题考查的是正三角形中线段计算．0101121331224BDBDDDDD，在直角三角形中，可以发现，1nnDD为斜边，1nnDD为长直角边，即1132nnnnDDDD，同理可得，故132nnnDD．随练1.4如图，已知A是XOY的平分线上的定点，过点A任作一条直线分别交OX、OY于P、Q.证明：11OPOQ是定值．DCBA中考数学专题讲练相似一（解析版）15/33【答案】见解析【解析】过点A作AMOQ∥,则AOM为等腰三角形；且PAMPOQ∽PMAMOPAMOPOQOPAMOPOPOQOQAM()AMOPOQOPOQ111OPOQAM,OAXOY为定值AM为定值11OPOQ为定值随练1.5（1）尝试：如图1，已知A、E、B三点在同一直线上，且90ABDEC，求证：AEBEADBC．（2）一位同学在尝试了上题后还发现：如图2、图3，只要A、E、B三点在同一直线上，且ABDEC，则（1）中结论总成立．你同意吗？请选择其中之一说明理由．（3）运用：如图，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，4AB，9BC，P为BC边上一动点（不与点B、C重合），连接AP，过点P作PE交CD于点E，使得APEABC．则当BP为何值时，点E为CD的中点．O