1.1.1正弦定理(一)课件(人教A版必修5)

1.1.1（一）1．1．1正弦定理(一)【学习目标】1．掌握正弦定理的内容．2．了解正弦定理的证明方法．3．能初步运用正弦定理解三角形．【学法指导】1．学习本节内容时，要善于运用平面几何知识以及平面向量知识证明正弦定理．2．应熟练掌握利用正弦定理进行三角形中的边角关系的相互转化．1.1.1（一）1．在△ABC中，A＋B＋C＝，A2＋B2＋C2＝.2．在Rt△ABC中，C＝π2，则ac＝，bc＝.3．一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做．4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即，这个比值是________________________.ππ2sinAsinB元素解三角形asinA＝bsinB＝csinC三角形外接圆的直径2R填一填·知识要点、记下疑难点1.1.1（一）探究点一正弦定理的提出和证明问题在直角三角形和等边三角形中，容易验证asinA＝bsinB＝csinC成立，这一结论对更一般锐角三角形和钝角三角形还成立吗？研一研·问题探究、课堂更高效1.1.1（一）证明根据三角函数的定义，sinA＝CDb，sinB＝CDa.探究1在锐角△ABC中，根据右图证明：asinA＝bsinB＝csinC.∴CD＝bsinA＝asinB．∴asinA＝bsinB.同理，在△ABC中，bsinB＝csinC.∴asinA＝bsinB＝csinC成立．研一研·问题探究、课堂更高效1.1.1（一）探究2在钝角△ABC中(不妨设A为钝角)，根据右图证明：asinA＝bsinB＝csinC.证明过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，根据正弦函数的定义知：CDb＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sinA，CDa＝sinB.∴CD＝bsinA＝asinB.∴asinA＝bsinB.同理，bsinB＝csinC.故asinA＝bsinB＝csinC.小结综上可知，对于任意三角形，均有asinA＝bsinB＝csinC，此即正弦定理．研一研·问题探究、课堂更高效D1.1.1（一）探究点二正弦定理的几何解释问题如图所示，在Rt△ABC中，斜边c等于Rt△ABC外接圆的直径2R，故有asinA＝bsinB＝csinC＝2R，这一关系对任意三角形也成立吗？研一研·问题探究、课堂更高效1.1.1（一）探究1如图所示，锐角三角形ABC和它的外接圆O，外接圆半径为R，等式asinA＝bsinB＝csinC＝2R成立吗？证明如图，因为△ABC为锐角三角形，连接BO交圆O于D，连接CD.因为∠A＝∠D，则在△BCD中，asinA＝asinD＝2R.同理，bsinB＝csinC＝2R，所以asinA＝bsinB＝csinC＝2R成立．研一研·问题探究、课堂更高效D1.1.1（一）探究2如图所示，钝角三角形ABC，A为钝角，圆O是它的外接圆，半径为R，等式asinA＝bsinB＝csinC＝2R还成立吗？证明如图，当△ABC为钝角三角形时，连接BO交圆O于D，连接CD，研一研·问题探究、课堂更高效∠A＝180°－∠D，所以asinA＝asin180°－D＝asinD＝2R.同理，bsinB＝csinC＝2R，所以asinA＝bsinB＝csinC＝2R仍成立．小结综上所述，对于任意△ABC，asinA＝bsinB＝csinC＝2R恒成立．1.1.1（一）【典型例题】例1在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c等于()A．1∶2∶3B．2∶3∶4C．3∶4∶5D．1∶3∶2解析∵A＋B＋C＝π，A∶B∶C＝1∶2∶3，∴A＝π6，B＝π3，C＝π2，∴sinA＝12，sinB＝32，sinC＝1.研一研·问题探究、课堂更高效1.1.1（一）设asinA＝bsinB＝csinC＝k(k＞0)，则a＝ksinA＝k2；b＝ksinB＝32k；c＝ksinC＝k；∴a∶b∶c＝12∶32∶1＝1∶3∶2，故选D.答案D小结正弦定理在实现三角形的边角转化中非常方便，需要进行边角转化时，首先要考虑通过正弦定理来实现．研一研·问题探究、课堂更高效1.1.1（一）跟踪训练1在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于()A．6∶5∶4B．7∶5∶3C．3∶5∶7D．4∶5∶6解析∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，∴b＋c4＝c＋a5＝a＋b6.令b＋c4＝c＋a5＝a＋b6＝k(k0)，则b＋c＝4kc＋a＝5ka＋b＝6k，解得a＝72kb＝52kc＝32k.∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝7∶5∶3.B研一研·问题探究、课堂更高效1.1.1（一）例2在△ABC中，求证：a－ccosBb－ccosA＝sinBsinA.证明因为asinA＝bsinB＝csinC＝2R，所以左边＝2RsinA－2RsinCcosB2RsinB－2RsinCcosA＝sinB＋C－sinCcosBsinA＋C－sinCcosA＝sinBcosCsinAcosC＝sinBsinA＝右边．所以等式成立．小结正弦定理的变形公式使三角形的边与边的关系和角与角的关系之间的相互转化的功能更加强大，更加灵活．研一研·问题探究、课堂更高效1.1.1（一）跟踪训练2在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则asinA＋b2sinB＋2csinC＝.解析∵△ABC的外接圆直径为2R＝2，∴asinA＝bsinB＝csinC＝2R＝2，∴asinA＋b2sinB＋2csinC＝2＋1＋4＝7.7研一研·问题探究、课堂更高效1.1.1（一）例3在△ABC中，已知a＝22，A＝30°，B＝45°，解三角形．解∵asinA＝bsinB＝csinC，∴b＝asinBsinA＝22sin45°sin30°＝22×2212＝4.∵C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c＝asinCsinA＝22sin105°sin30°＝22sin75°12＝42sin(30°＋45°)＝2＋23.研一研·问题探究、课堂更高效1.1.1（一）小结已知两角与任一边，利用正弦定理解三角形，有以下两种情况：(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边；(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．研一研·问题探究、课堂更高效1.1.1（一）跟踪训练3在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，解三角形．解由三角形内角和定理知A＋B＋C＝180°，所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC，得b＝a·sinBsinA＝5·sin45°sin30°＝52；c＝a·sinCsinA＝5·sin105°sin30°＝5·sin60°＋45°sin30°＝5·sin60°cos45°＋cos60°sin45°sin30°＝52(6＋2)．研一研·问题探究、课堂更高效1.1.1（一）1．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对的边，若∠A＝105°，∠B＝45°，b＝22，则c等于()A．1B．2C.2D.3解析∵∠A＝105°，∠B＝45°，∴∠C＝30°.由正弦定理得c＝bsinCsinB＝22sin30°sin45°＝2.B练一练·当堂检测、目标达成落实处1.1.1（一）2．在△ABC中，已知∠A＝150°，a＝3，则其外接圆的半径R的值为()A．3B.3C．2D．不确定解析在△ABC中，由正弦定理得asinA＝3sin150°＝6＝2R，∴R＝3.A练一练·当堂检测、目标达成落实处1.1.1（一）3．在△ABC中，sinA＝sinC，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形解析由sinA＝sinC知a＝c，∴△ABC为等腰三角形．B练一练·当堂检测、目标达成落实处1.1.1（一）4．在△ABC中，∠A＝60°，a＝43，b＝42，则∠B等于．解析由正弦定理，得sinB＝22，∵ab，∴∠A∠B.∴∠B只有一解．∴∠B＝45°.45°练一练·当堂检测、目标达成落实处1.1.1（一）1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．2．利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．练一练·当堂检测、目标达成落实处