1.1.1正弦定理概述

正弦定理正弦定理第一章解三角形1.1.1正弦定理ABC3C2C1C思考：BC的长度与角A的大小有关吗?在Rt△ABC中,各角与其对边的关系:AsinBsinCsin所以：CcBbAasinsinsinCBAabccccacbcAasinBbsinCcsin所以：在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?AcbaCBbCDaCDABsin,sin所以CD=asinB=bsinA,即,sinsinBbAa同理可得,sinsinCcBbCcBbAasinsinsin即：DCabAB图1过点C作CD⊥AB于D,此时有若三角形是锐角三角形,如图1,探究一CCbADsinsin）（且CcBbAasinsinsin仿上可得D若三角形是钝角三角形,以上等式仍然成立吗?此时也有cADBsin交BC延长线于D,过点A作AD⊥BC，CAcbB图2探究二一、正弦定理三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.CcBbAasinsinsin即R2其中R是三角形ABC的外接圆半径探究：OC/cbaCBA',90CCCBARCcBbAaRBbRAa2sinsinsin2sin,2sin同理作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,CcsinCsinCsinRc2R2思考：正弦定理可以解决三角形中哪类问题：①已知两角和一边，求其他边和角.②已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角.RCcBbAa2sinsinsin一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形ABCcmaBAABC解三角形中，已知，在例,20,45,301题型一：已知两角和任意边，求其他边角题型二：已知两边和其中一边的对角,求其他边和角ABCcbBABC解三角形中，已知在例,8,4,30:2ABCbaAABC解三角形中，已知在练习,332,16,30:1ABCbaAABC解三角形中，已知在练习,316,16,30:3ABCbaBABC解三角形中，已知在练习,3,1,120:2思考：若三角形有两解，已知的边角间有什么关系？baAbbaAABCsin,,,三角形有两解中，已知在：判断下列各题解的个数例:30105,8,7.1Aba0150,25,30.2Aca060,65,10.3Ccb030,6,32.4Aba二、正弦定理的推论CcBbAasinsinsin由于R2推论1：边化角abcARsin2BRsin2CRsin2推论2：角化边AsinBsinCsinRa2Rb2Rc2cba::CBAsin:sin:sin推论3：边比等于正弦比题型三：三角形形状的判断的形状试判断，中，若在例ABCBbAaABCcoscos:4的形状试判断，且中，若在练习ABCCBACcBbABC222sinsinsinsinsin:三、三角形中的常见结论(1)A＋B＋C＝(2)在三角形中大边(3)任意两边之和(4)三角形内角常用关系式)sin(BACsin)cos(BACcos)tan(BACtan2BAsin2Ccos2BAcos2Csin2Ccot2BAtanπ.对大角，大角对大边．大于第三边，任意两边之差小于第三边．①S＝12a·h(h表示a边上的高)；②S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA(5)三角形面积公式：(6)在三角形ABC中：BAbaBAsinsin题型四：三角形的边角不等关系的取值范围。求中，若在例kkkkCBAABC,2:)1(:sin:sin:sin:5