高等数学微分方程复习

微分方程求解总结求解流程图一阶齐次可分离变量一阶线性nyxQyxPyBernoulli)()()(0)()(xydUdyxyQdxxyP全微分方程xQyP齐次0)(yxpy非齐次)()(xQyxpy）（或令uyxuxyxyyxfy)(),(dxxhdyyg)()(变易先求齐次通解，再常数])([)()(CdxexQeydxxPdxxP或公式nyzn1)1,0(令1.折线积分2.凑全微分3.定积分转为z的一阶线性关于u一阶二阶线性方程0)()()(210yxayxayxa)()()(21xfyxayxay二阶变系数二阶一阶)(),(xpyyxfy令)]([),(xypyyyfy令二阶常系数齐次0qyypy非齐次)(xfqyypy解的结构02qprry特征方程：代数解法，*2211yycycyxrxrececyrr212121.1)(.221211xcceyrrxr)sincos(.3212,1xcxceyirx高阶次连续积分nxfyn)()(方程Eulertnnnnnnexxfyyyxyx令)(ppp1)1(11)(高阶线性齐次常系数01)1(1)(ypypypynnnn0111nnnnprprpr代数特征方程P338P348一、一阶微分方程求解1.一阶标准类型方程求解关键:辨别方程类型,掌握求解步骤2.一阶非标准类型方程求解(1)变量代换法——代换自变量代换因变量代换某组合式(2)积分因子法——选积分因子,解全微分方程四个标准类型:可分离变量方程,齐次方程,线性方程,全微分方程机动目录上页下页返回结束例1.求下列方程的通解;01)1(32xyeyy提示:(1),33xyxyeee因故为分离变量方程:通解;)2(22yyxyx;21)3(2yxy.2336)4(3223yyxyxxyxeyeyxydd32Ceexy331机动目录上页下页返回结束方程两边同除以x即为齐次方程,yyxyx22)2(时，0x21uux21uuxxyxyy21xyxyy21令y=ux,化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位,221)3(yxy,2dd2yxyx用线性方程通解公式求解.化为机动目录上页下页返回结束32232336)4(yyxyxxy方法1这是一个齐次方程.方法2化为微分形式0d)23(d)36(3223yyyxxyxx故这是一个全微分方程.xyu令机动目录上页下页返回结束xQyxyP6例2.求下列方程的通解:)lnln()1(yxyyyx提示:(1)令u=xy,得(2)将方程改写为0d)1ln(dln2)2(2xxyyyxxyyxxyxy22363)3(220d)31(d)3()4(22yyxxyxyuxuxulnddxyyxxxy2ln21dd3(贝努里方程)2yz令(分离变量方程)原方程化为机动目录上页下页返回结束令y=utyyxxyxy22363)3(22)1(2)1(3dd22xyyxxy(齐次方程)ytytty23dd22令t=x–1,则tyxttyxydddddddd可分离变量方程求解化方程为机动目录上页下页返回结束0d)31(d)3()4(22yyxxyxy变方程为yxxydd2两边乘积分因子2y0)dd(3dd2yxxyyyxx用凑微分法得通解:Cyxyx321120)dd(32yxxyy机动目录上页下页返回结束例3.机动目录上页下页返回结束设F(x)＝f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(－∞,+∞)内满足以下条件:,0)0(),()(),()(fxfxgxgxf且(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(03考研)(2)求出F(x)的表达式.解:(1))()()()()(xgxfxgxfxF)()(22xfxg)()(2)]()([2xgxfxfxg)(2)2(2xFex所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:.2)()(xexgxf机动目录上页下页返回结束(2)由一阶线性微分方程解的公式得CxeeexFxxxd4)(d22d2Cxeexxd442代入上式，将0)0()0()0(gfF1C得于是xxeexF22)(xexFxF24)(2)(xxCee22练习题:(题3只考虑方法及步骤)P353题2求以为通解的微分方程.提示:1)(22yCx02)(2yyCx消去C得P353题3求下列微分方程的通解:提示:令u=xy,化成可分离变量方程:提示:这是一阶线性方程,其中P353题1，2，3(1),(2),(3),(4),(5),(9),(10)机动目录上页下页返回结束)ln(2dd)3(xyyxy提示:可化为关于x的一阶线性方程0dd)4(33yxyxxy提示:为贝努里方程,令2yz0dddd)5(22yxyxyyyyxx提示:为全微分方程,通解0dd)3()9(24xyxyxy提示:可化为贝努里方程令2xz微分倒推公式机动目录上页下页返回结束原方程化为yxxy2)10(xyxu2,即,22uuxy则xydd故原方程通解uuexd2Cueuud2d2Cuuud2122u2xuxdd2xuudd2提示:令机动目录上页下页返回结束二、两类二阶微分方程的解法1.可降阶微分方程的解法—降阶法)(dd22xfxy)dd,(dd22xyxfxy令xyxpdd)(),(ddpxfxp)dd,(dd22xyyfxy令xyypdd)(逐次积分求解机动目录上页下页返回结束2.二阶线性微分方程的解法)(xfqyypy•常系数情形齐次非齐次代数法•欧拉方程yx2yxpyq)(xftDextdd,令qpDDD)1(y)(tef机动目录上页下页返回结束,0qyypy二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:(1)写出相应的特征方程(2)求出特征方程的两个根;02qprr(3)根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规则写出微分方程的通解；与21rr21rr，特征方程的两个根微分方程的通解21rr，两个不相等的实根21rr两个相等的实根ir2,1一对共轭复根xrxreCeCy2121xrexCCy1)(21)sincos(21xCxCeyx求解二阶常系数线性方程非齐)(xfqyypy*2211*yycycyYy通解齐次通解非齐特解难点：如何求特解？方法：待定系数法.是重根是单根不是根2,10k.i1,i0是单根不是根k可以是复数）(),()()1(xPexfmx);(*xQexymxk],sin)(cos)([)()2(xxPxxPexfnlx];sin)(cos)([)2()1(*xxRxxRexymmxk(3).上述结论也可推广到高阶方程的情形.)(xfqyypy解答提示P353题2求以为通解的微分方程.提示:由通解式可知特征方程的根为故特征方程为因此微分方程为P353题3求下列微分方程的通解,01)6(2yyy.2sin52)7(xyyy提示:(6)令则方程变为,01dd2pyppy机动目录上页下页返回结束特征根:xyyy2sin52)7(齐次方程通解:)2sin2cos(21xCxCeYx令非齐次方程特解为代入方程可得174171,BA思考若(7)中非齐次项改为提示:xBxAy2sin2cos*故D原方程通解为)2sin2cos(21xCxCeyx特解设法有何变化?机动目录上页下页返回结束P354题4(2)求解02yay,00xy10xy提示:令则方程变为积分得,11Cxap利用100xxyp11C得再解,11ddxaxy并利用,00xy定常数.2C思考若问题改为求解,00xy则求解过程中得问开方时正负号如何确定?机动目录上页下页返回结束P354题8设函数在r0内满足拉普拉斯方程,0222222zuyuxu二阶可导,且试将方程化为以r为自变量的常微分方程,并求f(r).提示:rxrfxu)(2222)(rxrfxu)(rfr132rx利用对称性,即(欧拉方程)原方程可化为机动目录上页下页返回结束解初值问题:则原方程化为通解:利用初始条件得特解:机动目录上页下页返回结束xxCxCysincos21特征根:,2,1ir例1.求微分方程2,xxyy提示:故通解为2,04xyy满足条件解满足xyy,00xy00xy处连续且可微的解.设特解:,BAxy代入方程定A,B,得,0,000xxyy利用得机动目录上页下页返回结束处的衔接条件可知,04yy解满足故所求解为y2221,2cos)1(2sinxxxxCxCy2cos2sin21其通解:定解问题的解:2221,2cos)1(2sinxxxy机动目录上页下页返回结束例2.且满足方程xtdtftxxxf0)()(sin)(.)(xf求提示:,)()(sin)(00xxtdtfttdtfxxxf则xxfcos)()(sin)(xfxxfxtdtf0)()(xfx)(xfx问题化为解初值问题:xxfxfsin)()(,0)0(f1)0(f最后求得机动目录上页下页返回结束思考:设,0)0(,d)()(0xxuuxxex提示:对积分换元,,uxt令则有解初值问题:答案:机动目录上页下页返回结束的解.例3.设函数内具有连续二阶导机动目录上页下页返回结束(1)试将x＝x(y)所满足的微分方程变换为y＝y(x)所满足的微分方程;(2)求变换后的微分方程满足初始条件0)dd)(sin(dd322yxxyyx数,且解:上式两端对x求导,得:(1)由反函数的导数公式知(03考研)机动目录上页下页返回结束0)(dddd222yyxyxy222)(ddddyyxyyx3)(yy代入原微分方程得xyysin①(2)方程①的对应齐次方程的通解为xxeCeCY21设①的特解为,sincosxBxAy代入①得A＝0,,21B,sin21xy故从而得①的通解:题目录上页下页返回结束xeCeCyxxsin2121由初始条件,23)0(,0)0(yy得1,121CC故所求初值问题的解为xeeyxxsin21例4.解:欲向宇宙发射一颗人造卫星,为使其摆脱地球引力,初始速度应不小于第二宇宙速度,试计算此速度.设人造地球卫星质量为m,地球质量为M,卫星的质心到地心的距离为h,由牛顿第二定律得:222ddhmMGthm00dd,vthRht②,0v为(G为引力系数)则有初值问题:222ddhMGth又设卫星的初速度，已知地球半径51063R机动目录上页下页返回结束③),(ddhvth设,dddd22hvvth则代入原方程②,得2ddhMGhvvhhMGv