高等数学微积分 第三章 一元函数导数与微分

第二章一元函数导数与微分2.1导数的概念2.2导数的计算2.3高阶导数2.4几种类型函数的求导方法2.5函数的微分与线性逼近2.1导数的概念一.导数的定义问题的提出.,16651601,Fermat的为研究极值问题而引入法国）尔马（导数的思想最初是由费,Leibniz这是由莱布尼兹（学中的导数的概念起源于几何及切线问题，力学中的速度问题,17271642,Newton,17161646德国）和牛顿（.来的学和力学过程中建立起英国）分别在研究几何1.切线问题割线的极限位置——切线位置1.切线问题割线的极限位置——切线位置1.切线问题割线的极限位置——切线位置1.切线问题割线的极限位置——切线位置1.切线问题割线的极限位置——切线位置1.切线问题割线的极限位置——切线位置1.切线问题割线的极限位置——切线位置1.切线问题割线的极限位置——切线位置1.切线问题割线的极限位置——切线位置1.切线问题割线的极限位置——切线位置1.切线问题割线的极限位置——切线位置,),()(:,00yxPxfyC上取一定点在曲线如图近的一点，附是曲线上点PyxQ),(oxy)(xfyCPQ沿当动点Q,时曲线趋于PPQ割线的极限位置,PTT.处的称为曲线在点P切线0xxxPQ割线tan00)()(xxxfxf,时当沿曲线PQC,0xx,0x的斜率为：切线PT.)()(lim000xxfxxfxtank:的斜率为,)()(00xxfxxf：其运动方程为中的平均速度：质点在时间],[00tttttSttS)()(00.）（距离对时间的变化率.)()(lim000ttSttSt2.瞬时速度,0为某一确定的时刻若t求质点在时t0t.tt0.tSv:0的瞬时速度质点在tv,动设一质点作变速直线运，)(tSSv的瞬时速度刻0t定义1,)()(0有定义在设函数xUxfy,0xxx处一改变量在给自变量相应地，有，)()(00xfxxfy）（)(00xUxxxyx0lim若xxfxxfx)()(lim000,存在,)(0处可导在点则称xxfy并称这个极,)(0处的导数在点限为xxfy:记作)(0xf0xxy或0xxdxdy或,0xxdxdf或即xyxfx00lim)(.)()(lim000xxfxxfxxyxfx00lim)(.)()(lim000xxfxxfx，令xxx0，则00xxx.)()(lim)(0000hxfhxfxfh或，000)()(lim)(0xxxfxfxfxxxyx0lim若,不存在.)(0点不可导在则称xxfoxy)(xfyT0xP导数的几何意义即切线的斜率处的在点表示曲线,))(,()()(000xfxPxfyxf切线方程为:法线方程为:))((000xxxfyy).()(1000xxxfyy,tan)(0xf)(轴正向夹角是切线与x定义2（单侧导数，左右导数）xyx0limxxfxxfx)()(lim00000)()(lim0xxxfxfxx)(0xxx令,存在,)(0可导处在则称xxf右并称此极限.)(0导数处的在点为xxf右)(0xf左左定理1（双侧导数与单侧导数的关系）存在)(0xf.)()(00都存在且相等与xfxf定理2（可导与连续的关系）0)(xxf在若，可导,)(0必连续在则xxf但反之不然！,)(lim00xfxyx,)(0xfxy,)(0xxxfyyx0lim,0.)(0连续在点即xxf,)0(0x证])([lim00xxxfx证毕但反之不然，例如：处连续，在0)(xxxf.)0(不存在但f,事实上xyxyoxfxffx)0()0(lim)0(0,1),0()0(ff但xxx0limxxx0limxfxffx)0()0(lim)0(0,1xxx0limxxx0lim右可导左可导.)0(不存在f定理2不连续，在若0)(xxf0)(xxf在则.不可导导可续连导可不续连不续连导可右左左右导数不一定相等:)(0点在数函xxf定义3处都可导，内每一点在若xbaxf),()(都存在，即)(,),(xfbax在则称)(xf内可导；),(ba),(),()(afbaxf内可导且在若,)(都存在bf.],[)(上可导在则称baxf可导，在区间若Ixf)(都存在，则)(,xfIx，值都对应唯一确定的导数即)(,xfIx,上定义了一个新的函数则在I称这个新的函数,)(的为xf导函数导数:简称,)()(lim)(0xxfxxfxfx.Ix注意:)(0xf)(xf，0xx.)()(00xfxf但二.函数不可导的情况况：不可导，有以下三种情在函数0)(xxf不连续，在若0)(.1xxf.)(0不可导在则xxf(定理)2，知由定理1.2.)(0不可导在则xxf，例如：xxf)(，)0(11)0(ff.)0(不存在f.)(0不可导在则xxf都存在但值不相等，与若)()(00xfxf)i(中至少有一个不存在，与若)()(00xfxf)ii(,0,00,1sin)(xxxxxf例:.0处不可导在x011/π－1/πxyxfxfx)0()0(lim0,事实上xxxx1sinlim0xx1sinlim0,不存在)0(f.0)(不可导在xxf为无穷的情况xyx0lim.3定义1连续，在设0)(xxf),()()(limlim0000或若xxfxxfxyxx.)()(0存在无穷导数在点则称函数xxf不可导),()()(lim000或xxfxxfx)(0xf),()()(lim000或xxfxxfx)(0xf：右无穷导数的左在点同理，、xxf0)(注意:有无穷导数，在点函数0)(xxf)(xf仍为；在点0x不可导几何但是，此时却有明显的意义：处有切线，在点曲线))(,()(00xfxxfy,)(0xf切线的斜率为轴垂直，该切线与x即，2.tan可导在0)(xxf在点曲线)(xfy有切线))(,(00xfx的两个单且在点若00,)(xxfxyoxy0xo)(xfy)(xfy定义2,侧导数符号相反的为则称点)(0xfx尖点.)(不可导点.11)(3处有无穷导数在xxxf例1xfxffx)1()1(lim)1(0解xxx30lim320)(1limxx,.)0,1(13处有铅直的切线在点曲线xy31xy11x例2.0)(32处的导数在讨论xxxf解xyo32xyxfxffx)0()0(lim)0(0xxx320)(lim301limxx,xfxffx)0()0(lim)0(0xxx320)(lim301limxx.尖点是0x三.简单函数的导数的一般步骤：点的导数在求)()(xfxxf；，求一增量给)()(.1xfxxfyxx；计算xxfxxfxy)()(.2:.3计算极限xyx0limxxfxxfx)()(lim0)(xf（存在）例1.上的导数求下列函数在其定义域xxfxxfxfx)()(lim)(0xCCx0lim.00)(C,)()()1为常数CCxf),()()2Nnxxfnxxxxxnnxn)(lim)(0])()(!2)1(22nnnxxxxnn1)(nnxnx.1nnx])(!2)1([lim1210nnnxxxxnnnxxnxxxnnx10[1lim,sin)()3xxfxxxxxxsin)sin(lim)(sin0)2sin2cos2sin(sinyxyxyxxxxxx2sin)2cos(2lim0xxcos)(sin22sinlim0xxx)2cos(lim0xxx.cosx同理xxsin)(cos,cos)()4xxf,)0,10(log)()5xaxxfaxxxxxfaaxlog)(loglim)(0xxxax)1(loglim0x1xxaxxxx)1(loglim10exalog1.ln1ax,ln1)log(axxa.)0(1)(lnxxx特别x,)10()()6aaxfxxaaaxxxxx0lim)(xaaxxx1lim0，令tax1(，则)1ln(lntax，atxln)1ln()0,0tx时当)1ln(lnlim0tatatx.lnaax,ln)(aaaxx.)(xxee特别2.2导数的计算定理1（四则运算法则）并且处也可导在点为零分母不商则它们的和、差、积、处可导点在如果函数,)(,)(),(xxxvxu);()(])()([)1(xvxuxvxu导函数上：可推广到任意有限个可])()()([21xuxuxun;)()()(21xuxuxun特别地，);()()()(])()([)2(xvxuxvxuxvxu)()()(21xuxuxun)(),(])([为常数CxuCxuC更一般地，)()()(21xuxuxun.)()()()(121xuxuxuxunn).0)(()()()()()(])()([)3(2xvxvxvxuxvxuxvxu特别地，注意:,)(vuvuvuvu.)0(12vvvv)]()()([21xuxuxun证(2)，令)()(xvxuy)()()()(xvxuxxvxxuy)(xxu)(xxv)(xu)(xxv)(xu)(xxv)(xu)(xv)(xxv)]()([xuxxu)(xu)]()([xvxxvu)(xxv)(xuvxyx0limxux0lim)(xxvxvx0lim)(xu)()(xvxu)()(xvxu)(vu证毕即,lim)([0xuxux,lim)(0xvxvx)]()(lim0xvxxvx例1，3lncossin)1(3xxxy23xy,coslnsin)2(24xxxxxyxxxylnsin43xxxlncos4xxx1sin4xxcos2xcos)sin(2xx求下列函数的导数.sinxxxxlnsin43xxxlncos4xxsin3xxcos2.sin2xx,tan)3(xy)(tanxyxxcossinxxxxx2cos)(cossincos)(sinxxx222cossincos