高等数学数列与极限期末复习题汇总

第一章二、收敛数列的性质三、极限存在准则一、数列极限的定义第二节机动目录上页下页返回结束数列的极限r一、数列极限的定义引例.设有半径为r的圆,逼近圆面积S.n如图所示,可知当n无限增大时,无限逼近S(刘徽割圆术),用其内接正n边形的面积刘徽目录上页下页返回结束●数列的定义按照自然数大小的次序排列起来的一组无穷多个实数称为数列数列中的每一个数称为项，数列也可以看作是定义在自然数集上的函数●例如●共同性质（要多近有多近）●⑤、⑥无此性质数列极限的定义●注●逻辑形式●若数列不收敛，则称该数列发散例1.已知证明数列的极限为1.证:1nx1)1(nnn,0欲使即只要1n因此,取,]1[N则当Nn时,就有1)1(nnn故1)1(limlimnnxnnnn机动目录上页下页返回结束●例3.设,1q证明等比数列证:0nx欲使只要即亦即因此,取qNlnln1,则当nN时,就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的极限为0.机动目录上页下页返回结束●证明数列极限的运算（证略）求下列极限二、收敛数列的性质1.收敛数列的极限是唯一的(证略）机动目录上页下页返回结束2.收敛数列一定有界.证:设取,1,N则当Nn时,从而有aaxna1取,,,,max21NxxxMa1则有.),2,1(nMxn由此证明收敛数列必有界.说明:此性质反过来不一定成立.例如,1)1(n虽有界但不收敛.,1axn有数列机动目录上页下页返回结束3.收敛数列的保号性.若且时,有,)0(.)0(证:对a0,取推论:若数列从某项起)0(.)0((用反证法证明)机动目录上页下页返回结束子数列,axkn4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.证:设数列是数列的任一子数列.若则,0,N当时,有现取正整数K,使于是当Kk时,有knN从而有由此证明.limaxknk机动目录上页下页返回结束例如证明：数列是发散的.思考与练习1.如何判断极限不存在?找两个收敛于不同极限的子数列.作业P303(2),(3),4,6P564(1),(3)4(3)提示:可用数学归纳法证第三节目录上页下页返回结束故极限存在，备用题1.设)(211nnnxaxx),2,1(n,0a,01x,且求.limnnx解：设Axnnlim则由递推公式有)(21AaAAaA)(211nnnxaxxnxnxaannxx1)1(212nxa)1(21aa1∴数列单调递减有下界，,01x故axnnlim利用极限存在准则,0nx机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束2.设证:显然,1nnxx证明下述数列有极限.即单调增,又1(1))1()1(11kaa存在“拆项相消”法