高等数学有理式的不定积分方法

1.有理式的不定积分3-3有理式的不定积分与有理化方法)()()(xQxPxRnnnaxaxa110有理函数:nm时,为假分式;nm时,为真分式有理函数相除多项式+真分式分解若干部分分式之和其中部分分式的形式为部分分式:,1;nAAnxaxa22,1;nBxCBxCnxpxqxpxq)04,N(2qpn有理函数积分法;)1(真分式）（多项式假分式多项式除法：部分分式之和真分式待定系数法)2(11220111P()Q()P()()()()()klnmnmkllxxxbxaxaxpxqxpxq真分式分母因式分解),1,,2不可约因式为（其中hiqxpxii11111011AA1{()nnbxaxa1AA()kknkknkkxaxa11111111,1221111BB()mmmxCxCxpxqxpxq1122BB}()lllmlmlllmllllxCxCxpxqxpxq（其中各系数待定）；如果有一个重实根,则的部分分式中一定包含下列形式的项部分分式之和:Qxna/PxQxn1nnAAxaxa如果中包含因子时,则的部分分式中一定包含下列形式的项部分分式之和:22/4mxpxqqpQx/PxQxm1122mmmBxCBxCxpxqxpxq例如将真分式分解成部分分式.)1()1()2)(1(12322xxxxxx)1(A11x原式))2(2(22212xAxA1(21111xCxB222121)1(xCxB))1(323131xCxB.)1(21212xxCxB.,定系数法求出均为常数，下面将用待与其中ijijijCBA四种典型部分分式的积分:CaxAln)1(nCaxnAn1)(1xaxAd.1xaxAnd)(.2xqxpxCxBd.32xqxpxCxBnd)(.42变分子为再分项积分)2(2pxB2pBCxqxpxCxBd.32xqxpxBCxBd2222xqxpxpBCpxBd2222xqxpxpxBd222qxpxqpxxdB22)(244)2()2()2(22pqpxpxdBpC)ln(22qpxxB.42arctan42)2(22CpqpxpqBpC)ln(22qpxxB.42arctan4222CpqpxpqBpCxqxpxBpCd22xqxpxCxBnd)(.42dxpgpxBCxBn)]4()2[(22222而最后一个积分可以用上上一节例6中的递推公式.xqxpxpBCpxBnd)(2222xqxpxpxBnd)(222xqxpxBpCnd)(22nqxpxqpxxdB)()(222npqpxpxdBpC]44)2[()2()2(22nqpxxnB12)(1npqpxpxdBpC]44)2[()2()2(22说明:递推公式已知CaxaIarctan11利用递推公式可求得.nI例如,3I2222)(41axxa2243Ia2222)(41axxa243a22221axxa1221Ia2222)(41axxa22483axxaCaxaarctan835nnnIannaxxanI22221212)(21例1求dxxxx33)1(1解33)1(1xxxxA11112xA222)1(xA,)1(332xA为常数，其中ijA第一种方法:待定系数法，可以用如下的方法求出待定系数.上式通分后得33)1(1xxx33222212311)1()1()1()1AxxAxxAxxAx（.)1()1()1(132222123113xAxxAxxAxAx11322212112221211312113)3()3()(1AxAAAAxAAAxAAx比较恒等式两端同次幂的系数，得一方程组：.1,03,023,111322212112212111211AAAAAAAAAA从而解得,111A,212A,122A.232A故有33)1(1xxxx112x3)1(2x于是dxxxx33)1(1||lnx|1|ln2x2)1(1x11x.)1(12Cx.)1(|||1|ln22Cxxxx(*).)1()1()1(132222123113xAxxAxxAxAx,0(*)x中令在,111A得,1x令.232A得),1()1(2)1(12221233xxAxxAxxx化简并约去两端的公因子后为x),1()1(132222122xAxAxx,12221212AAxAx即得,212A.122A例2求第二种方法(赋值法),121)1)(21(122xCBxxAxx两端去分母,得.)2()2(12ACxCBxBA),21)(()1(12xCBxxA或比较两端的各同次幂的系数及常数项，有.1,02,02CACBBA解之得.51,52,54CBA.151522154)1)(21(122xxxxx解xx21)21(d52221)1(d51xx21d51xxx21ln52)1(ln512xCxarctan51.151522154)1)(21(122xxxxx43)21()21(231)1(21222xxdxxxxd.312arctan3)1ln(212Cxxx.312arctan31)1ln(61)1ln(31123Cxxxxxdx1231)12(2122xxdxxxdxx).1211(311123xxxxx.13xdx求dxxxx142212dxxxx122dxxxx1312212补例解例3求.)2(22223dxxxxx,)2(2)2(22222223xCxBxCBxxAxxxx解即有xCxBxxCBxxAxx222223)2()()2(2则得令,21,0AxxCxBxxCBxxxx222223)2()()2(212即.22212323CCxBBxCxBxxxx,21B,0B,1C02CC.2Cdxxxxx2223)2(2dxx121dxxx2121-2dxx22)2(2-||ln21x)2ln(412x2arctan21xdxx22)2(2-dxx22)2(1))2(1(212xdx)2(21)22x(x1222xxdxdxxx)211(41)22x(x1222用递推公式求或x141)22x(x12.2arctan241Cxdxxxxx2223)2(2||ln21x)2ln(412x2arctan221x)2x(x122x1.C总之,有理函数分解为多项式及部分分式之和以后,各个部分都能积出,且原函数都是初等函数.此外,由代数学知道,从理论上说,多项式Q(x)总可以在实数范围内分解成为一次因式及二次因式的乘积,从而把有理函数分解为多项式与部分分式之和.因此,有理函数的原函数都是初等函数.)()(xQxP但是,用部分分式法求有理函数的积分,一般说来计算比较繁,只是在没有其它方法的情况下,才用此方法.例4求解补例求解原式xxd14)1(2x)1(2x211d4xx2arctan2211xx21221ln21xx21xxCxxxxd12122121xxxxd121221212)(2121xx)d(1xx2)(2121xx)d(1xx注意本题技巧按常规方法较繁(1)三角有理式：——由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数．三角函数有理式可记为)cos,(sinxxR2cos2sin2sinxxx2sec2tan22xx,2tan12tan22xx2sin2coscos22xxx2.三角函数有理式的不定积分(2)三角有理式的积分法：2sec2tan122xx,2tan12tan122xx令tan2xt22sin,1txt221cos,1txt2arctanxt则221dxdtt万能代换dxxxR)cos,(sin2222212,.111ttRdtttt万能替换公式：.—化为有理函数的积分—例4求.1cossincotxxxdx解tan2xt令，则221dxdtt22sin,1txt221cos,1txt,21cot2ttx1cossincotxxxdx2222211121221ttttdttttdttt221dttdtt1211212Ctt||ln2121.|2tan|ln212sin22cosCxxx注（1）用万能代换一定能将三角函数有理式的积分化为有理函数的积分；（2）万能代换不一定是最好的；（3）常用的将三角函数有理式的积分化为有理函数的积分的代换方法（非“万能的”）：1）若R(-sinx,cosx)=-R(sinx,cosx)，可取u=cosx为积分变量；2）若R(sinx,-cosx)=-R(sinx,cosx)，可取u=sinx为积分变量；3）若R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx)，可取u=tanx为积分变量.例5求.sin1cossin2dxxxx解.cos)(sin的形式此题中被积函数可写成xxf这时.”很自然想到“凑微分法dxxxx2sin1cossinxdxxsinsin1sin2xtsin令21ttdtCt)1ln(212.)sin1ln(212Cx)sin1(sin112122xdx例6求.cossincosdxxxx解dxxxxcossincoscosx同dxxtan11xttan令2111tdttdtttt)1111(212|1|[ln21t)1ln(212t]arctantC|tan1|[ln21x|sec|lnx]xC|sincos|[ln21xx]xC例7求.cossin24xdxx解xdxx24cossindxxx22cos1)22cos1(2dxxxx)12cos2cos2(cos8123xdx2sin)2sin1(1612dxx24cos181dxx)2cos1(81.)4sin412sin31(1613Cxxx.,cossin倍角公式降低其方幂可以利用的偶次方幂及被积函数都是xx注3.某些根式的不定积分,d),(xbaxxRn令nbxat,d),(xxRndxcbxa令ndxcbxat被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换化为有理函数的积分.例如:,d),,(xbaxbaxxRmn,pbxat令.,的最