高等数学李伟版课后习题答案第三章

习题3—1（A）1．判断下列叙述是否正确，并说明理由：（1）函数的极值与最值是不同的，最值一定是极值，但极值未必是最值；（2）函数的图形在极值点处一定存在着水平的切线；（3）连续函数的零点定理与罗尔定理都可以用来判断函数是否存在零点，二者没有差别；（4）虽然拉格朗日中值公式是一个等式，但将()f进行放大或缩小就可以用拉格朗日中值公式证明不等式，不过这类不等式中一定要含（或隐含）有某函数的两个值的差．答：（1）不正确．最值可以在区间端点取得，但是由于在区间端点处不定义极值，因此最值不一定是极值；而极值未必是最值这是显然的．（2）不正确．例如32xy在0x点处取极值，但是曲线在点)00(，却没有水平切线．（3）不正确．前者是判断)(xf是否有零点的，后者是判断)(xf是否有零点的．（4）正确．一类是明显含有)()(afbf的；另一类是暗含着)()(0xfxf的．2．验证函数2)1(exy在区间]20[，上满足罗尔定理，并求出定理中的．解：显然2)1(exy在闭区间]20[，上连续，在开区间)20(，内可导，且e)2()0(yy，于是函数2)1(exy在区间]20[，上满足罗尔定理的条件，2)1(e)1(2)(xxxy，由0)(y，有0e)1(22)1(，得1，)20(，，所以定理的结论也成立．3．验证函数1232xxy在区间]11[，上满足拉格朗日中值定理，并求出公式中的．解：显然1232xxy在闭区间]11[，连续，在开区间)11(，内可导，于是函数1232xxy在区间]11[，上满足拉格朗日中值定理的条件，26)(xxy，2)1(1)1()1(yy，由)()1(1)1()1(yyy，有226，得0，)11(，，所以定理的结论也成立．4．对函数xxxfcos)(、xxgcos)(在区间]20[，上验证柯西中值定理的正确性，并求出定理中的．解：显然函数xxxfcos)(、xxgcos)(在闭区间]20[，上连续，在开区间)20(，内可导，且xxfsin1)(，xxgsin)(，在区间)20(，内0)(xg，于是函数xxxfcos)(、xxgcos)(在区间]20[，上满足柯西定理的条件，又21)0()2/()0()2/(ggff，由)()()0()2/()0()2/(gfggff，有sinsin121，即2sin，由于)20(，，得2arcsin，所以定理的结论也成立．5．在)(，内证明xxcotarcarctan恒为常数，并验证2cotarcarctanxx．证明：设xxxfcotarcarctan)(，显然)(xf在)(，内可导，且211)(xxf0112x，由拉格朗日定理的推论，得在)(，内xxcotarcarctan恒为常数，设Cxf)(，用0x代入，得2C，所以2cotarcarctanxx．6．不求出函数2()(4)fxxx的导数，说明0)(xf有几个实根，并指出所在区间．解：显然2()(4)fxxx有三个零点20xx，，用这三点作两个区间]20[]02[，、，，在闭区间]02[，上)(xf连续，在开区间)02(，内)(xf可导，又0)0()2(ff于是)(xf在]02[，满足罗尔定理，所以至少有1)02(，，使得0)(1f，同理至少有2)20(，，使得0)(2f，所以0)(xf至少有两个实根．又因为)(xf是三次多项式，有)(xf时二次多项式，于是0)(xf是二次代数方程，由代数基本定理，得0)(xf至多有两个实根．综上，0)(xf恰有两个实根，且分别位于区间)02(，与)20(，内．7．证明下列不等式：（1）对任何实数ba，，证明coscosabab；（2）当0x时，xxxx)1ln(1．证明：（1）当ba时，coscosabab显然成立．当ba时，取函数xxfcos)(，显然)(xf在闭区间][ba，上连续，在开间)(ba，内可导，由拉格朗日定理，有)(ba，，使得))(()()(bafbfaf，即)(sincoscosbaba，所以)()(sincoscosbababa．当ba时，只要将上面的区间][ba，换为][ab，，不等式依然成立．所以，对任何实数ba，，都有coscosabab．（2）取函数)1ln()(ttf，当0x时，函数)1ln()(ttf在闭区间]0[x，上连续，在开区间)0(x，内可导，根据拉格朗日定理，有)0(x，，使得1)(xf．因为x0，则xxxxx0111，所以xxxx)1ln(1．8．若函数)(xf在区间),(ba具有二阶导数，且)()()(321xfxfxf，其中21xxabx3，证明在区间)(3,1xx内至少有一点，使得0)(f．证明：根据已知，函数)(xf在区间][21xx，及][32xx，上满足罗尔定理，于是有1)(21xx，，2)(32xx，（其中21），所得0)(1f，0)(2f．再根据已知及)()(21ff，函数)(xf在区间][21，上满足罗尔定理，所以有)(21，)(3,1xx，所得0)(f，即在区间)(3,1xx内至少有一点，使得0)(f．习题3—1（B）1．在2004年北京国际马拉松比赛中，我国运动员以2小时19分26秒的成绩夺得了女子组冠军．试用微分中值定理说明她在比赛中至少有两个时刻的速度恰好为18.157km/h（马拉松比赛距离全长为42.195km）．解：设该运动员在时刻t时跑了)(tss（km），此刻才速度为)()(tstvv（km/h），为解决问题的需要，假定)(ts有连续导数．设起跑时0t，到达终点时0tt，则3238888889.20t，对函数)(ts在区间]0[0t，上用拉格朗日定理，有00t，所得)()(0)0()(00vststs，而15706.183238888889.2195.420)0()(00tstskm/h，所以157.1815706.18)(v．对)(tv在区间]0[，及][0t，上分别使用连续函数的介值定理（注意，0)0(v0)(0tv，则数值18.157分别介于两个区间端点处函数值之间），于是有)0(1，，)0(2，，使得157.18)(1v，157.18)(2v，这表明该运动员在比赛中至少有两个时刻的速度恰好为18.157km/h．2．若函数)(xf在闭区间][ba，上连续，在开区间），（ba内可导，且0)(xf，证明方程0)(xf在开区间），（ba内至多有一个实根．证明：采用反证法，若方程0)(xf在开区间），（ba有两个（或两个以上）不同的实根21xx，即0)()(21xfxf，根据已知函数)(xf在][21xx，上满足罗尔定理，于是有)()(21baxx，，，使得0)(f，与在开区间），（ba内0)(xf矛盾，所以方程0)(xf在开区间），（ba内至多有一个实根．（注：本题结论也适用于无穷区间）3．证明方程015xx只有一个正根．证明：设1)(4xxxf（)(，x），则014)(4xxf，根据上题结果，方程015xx在)(，内至多有一个实根．取闭区间]10[，，函数1)(4xxxf在]10[，上连续，且01)0(f，01)1(f，由零点定理，有)10(，，使得0)(f，从而方程015xx在)0(，内至少有一个实根．综上，方程015xx只有一个正根，且位于区间)10(，内．4．若在),(内恒有kxf)(，证明bkxxf)(．证明：（方法1）设函数kxxfxF)()(，则0)()(kxfxF，根据拉格朗日定理的推论)(xF恒为常数，设CkxxfxF)()(，用0x代入，得)0(fC，记bf)0(，则bCkxxfxF)()(，所以bkxxf)(．（方法2）记bf)0(，x),(，若0x，则满足bkxxf)(；若0x，对函数)(tf以xtt，0为端点的闭区间上用拉格朗日定理，则有介于0与x之间，使得)0)(()0()(xffxf，即kxbxf)(，所以bkxxf)(．5．若函数)(xf在区间)0(，可导，且满足0)()(2xfxfx，1)1(f，证明xxf)(.证明：设函数xxfxF)()(（x)0(，），则xxxfxfxxxxfxxfxF2)()(22/)()()(，由0)()(2xfxfx，得0)(xF，根据拉格朗日定理的推论)(xF恒为常数，设CxxfxF)()(，用1x代入，且由1)1(f，得1C，所以1)()(xxfxF，即xxf)(．6．证明下列不等式（1）当0x时，证明xx1e；（2）对任何实数x，证明xxarctan．证明：（1）取函数ttfe)(（]0[xt，）显然函数)(tf在区间]0[x，上满足拉格朗日定理，则有)0(x，，使得)0)(()0()(xffxf，即xxe1e，所以xxx1e1e．（2）当0x时，显然xxarctan．当0x时，取函数ttfarctan)(，对)(tf在以xtt，0为端点的闭区间上用拉格朗日定理，则有介于0与x之间，使得)0)(()0()(xffxf，即21arctanxx，所以xxx21arctan．综上，对任何实数x，都有xxarctan．7．若函数)(xf在闭区间[1，1]上连续，在开区间（1，1）内可导，Mf)0(（其中0M），且Mxf)(．在闭区间[1，1]上证明Mxf2)(．证明：对x[1，1]，当0x时，MMf2)0(，．不等式成立．当0x时，根据已知，函数)(tf在以xtt，0为端点的区间上满足拉格朗日定理，则有介于0与x之间，使得)0)(()0()(xffxf，即xfMxf)()(，所以，Mxfxf)()(，从而MMfMxfMxfxf2)()()()(．综上，在闭区间[1，1]上恒有Mxf2)(．8．若函数)(xf在闭区间]0[a，上连续，在开区间)0(a，内可导，且0)(af，证明在开区间)0(a，内至少存在一点，使得0)()(ff．证明：设函数)()(xxfxF（x]0[a，），则0)(0)0(aFF，，再根据已知，函数)(xF在区间],0[a满足罗尔定理，则有)0(a，，使得0)(f．而)()()(fff，于是0)()(ff．所以，在开区间)0(a，内至少存在一点，使得0)()(ff．习题3—2（A）1．判断下列叙述是否正确？并说明理由（1）洛必达法则是利用函数的柯西中值定理得到的，因此不能利用洛必达法则直接求数列极限；（2）凡属“00”，“”型不定式，都可以用洛必达法则来求其的极限值；（3）型如””，“”，“”，“”，““00100型的不定式，要想用洛必达法则，需先通过变形．比如“0”型要变型成为“00”，“”型，”，”，““00””，““01型要先通过变型，转化为“0”型的不定式，然后再化为基本类型