高等数学李伟版课后习题答案第八章

习题8—1（A）1．判断下列论述是否正确，并说明理由：（1）一个点集E的内点一定属于E，其外点一定不属于E，其边界点一定不属于E，其聚点一定属于E；（2）开集的所有点都是其内点，开集也称为开区域；（3）一个有界集一定能包含在以坐标原点为圆心，适当长的线段为半径的圆内；（4）考查二元函数的定义域时，应从两方面去考虑：用解析式表达的函数要考虑使该解析式有意义的,xy所对应的点(,)xy的集合（自然定义域）．对有实际意义的函数还应该从自然定义域中找出使实际问题有意义的点集；（5）当(,)xy沿某一条曲线趋于00(,)xy时，函数),(yxfz的极限存在，并不能说明极限00(,)(,)lim(,)xyxyfxy存在，但如果当(,)xy沿某一条使函数有定义的曲线趋于00(,)xy时，函数),(yxfz的极限不存在，则00(,)(,)lim(,)xyxyfxy一定不存在；（6）为说明极限00(,)(,)lim(,)xyxyfxy不存在，通常也采取用当(,)xy沿两条不同曲线趋于00(,)xy时，函数),(yxfz的极限不相等的方法；（7）如果函数),(yxfz在点00(,)xy连续，点00(,)xy必须是函数),(yxfz定义域的内点；（8）若0P是二元函数),(yxfz的间断点，那么0lim(,)PPfxy一定不存在．答：（1）前两者都正确，这是根据内点、外点的定义；后两者都不正确，无论是边界点还是聚点它们都可以是E的点，也可以是非E的点，如当E是闭集是，E的边界点是E的点当E是开集时E的边界点就不是E的点；又如点)0,0(是集合}10),{(22yxyxE的聚点，但是它不是E的点．（2）前者正确，这是有开集定义决定的；后者不正确，连通的开集才是开区域，不连通的开集不是开区域，如}14){(22xyxyxE，，是开集，但是不是开区域．（3）正确，这就是有界集的定义．（4）正确，求多元函数的自然定义域如同一元函数的定义域，要从以下几个方面考虑：①分式中分母不能为零，②开偶次方底数要大于等于零，③对数中真数要于零，④uarcsin、uarccos中要求1u，⑤若干个式子的四则运算中，取每个式子有意义的交集，等等．（5）两者都正确，如：yxyxyx)0,0(),(lim不存在，但是沿0y取极限时值为1；后者是由极限的定义决定．（6）正确，这是证明多元函数极限不存在的基本方法，它源于在Ayxfyxyx),(lim),(),(00中，),(),(00yxyx是以（定义域内的）任意方式实现的．（7）不正确．如：yxyxf),(在)0,0(点连续，但是)0,0(点不是函数定义域}),{(yxyxD的内点．（8）不正确．如：点)0,0(是函数0,1,0,),(2222yxyxxyyxf的间断点，但是极限0),(lim)0,0(),(yxfyx．2．判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点所组成的集合（称为导集，用E表示）和边界E：（1）}1),{(yxyxE；（2）}10),{(22yxyxE；（3）}0),{(2xyyxE；（4）},2),{(22yxyxyxE．解：（1）E是有界闭区域，其导集EE，其边界}1),{(yxyxE．（2）E是非开非闭的有界区域，其导集}1),{(22yxyxE，其边界)}0,0{(}1),{(22yxyxE．（3）E是无界区域，其导集}0),{(2xyyxE，}0),{(2xyyxE．（4）E是有界开集（不是区域），其导集},2),{(22yxyxyxE，其边界}1,),{(}1,2),{(22xxyyxxyxyxE．3．设函数22),(yxyxf，求(,)fyx，),(xxf．解：(,)fyx22)()(xy22xy，0)(),(22xxxxf．4．设函数yyxyxf1)1(),(2，求),(xyyxf．解：2222))(()()(/1)/1()(),(yxyxyxyxyxyxxyxyyxxyyxf．5．设函数)1(3xfyz，已知1y时，xz，求)(xf及z的表达式．解：由1y时，xz，有)1(13xfx，即1]1)1[(1)1(333xxxf，所以1)1()(3xxf；而1)1(3xyxfyz．6．设函数xyyxyxf),(，求),(yxf的表达式．解：（方法1）因为4)()(4)2(244),(222222yxyxyxyxyxyxxyyxyxf，所以),(yxf422xy．（方法2）令vyxuyx、，则22uvyvux、，于是422),()(22uvuvuvxyyxyxfvuf，，所以),(yxf422xy．7．求下列各函数的定义域，并作定义域草图：（1）)ln(xyz；（2）221arcsinxyyz；（3）221arcsinyxxxyz；（4）41)16ln(2222yxyxz．解：（1）由0xy且0x，得定义域}0,),{(xxyyxD．（2）由022xy及1y，有1yx，得定义域}1),{(yxyxD．（3）由0100122yxxxxy、、、，有0122xxyyx、、，得定义域}0,,1),{(22xxyyxyxD．（4）由040162222yxyx、，有16422yx，或4222yx，得定义域}42),{(22yxyxD．8．求下列极限：（1）yxyxyx22lim)1,1(),(；（2）22)1,(),(sinlimyxxyyx；（3）2)1,0(),(2tanlimxyxyyx；（4）22)0,0(),(1sinlimyxxyx；（5）231lim)1,1(),(xyxyyx；（6）22(,)(1,1)sin()limxyxyxy．解：（1）122122lim)1,1(),(yxyxyx3．（2）2222)1,(),(1sinsinlimyxxyyx0．（3）2111211limtanlim212tanlim)1,0(),()1,0(),(2)1,0(),(yxyxyxyxyyxyxyx．（4）因为221sinyx有界，而0lim)0,0(),(xyx，所以22)0,0(),(1sinlimyxxyx0．（5）)23(lim1)23)(1(lim231lim)1,1(),()1,1(),()1,1(),(xyxyxyxyxyxyyxyxyx4．（6）12)sin()(lim)sin(lim2222)1,1(),(22)1,1(),(yxyxyxyxyxyxyx2．9．证明下列极限不存在：（1）(,)(0,0)limxyxyxy；（2）22)0,0(),(sinlimyxxyyx．证明：（1）沿)1(kkxy取极限，则kkkxxkxxyxyxxxkxy11limlim00，当k取不同值时，该极限值不同，所以极限(,)(0,0)limxyxyxy不存在．（2）先沿0y取极限，则00limsinlim02200xxyyxxy；再沿xy取极限，则212sinlimsinlim220220xxyxxyxxxy，由于沿两种不同方式取极限其极限值不同，所以极限22)0,0(),(sinlimyxxyyx不存在．10．找出下列函数的间断点的集合E：（1）22yxxyz；（2）221)sin(yxyxz；（3）)1ln(yxxyxz．解：三个函数都是初等函数，找间断点只需找函数无定义的点，并且这些点又是定义域的聚点．（1）函数只在)00(，点无定义，且)00(，是定义域的聚点，所以断点的集合)}00{(，E．（2）函数在圆周122yx上无定义，且圆周122yx上的点都是定义域的聚点，所以断点的集合}1),{(22yxyxE．（3）函数的定义域}000),{(xyxyxyxD，，，函数在0yx及0x上无定义，这些点中只有0yx，及0x（0y）是定义域的聚点，所以断点的集合}0,0),{(}0),{(yxyxyxyxE．习题8—1（B）1．某厂家生产的一种产品在甲、乙两个市场销售，销售价格分别为yx、（单位：元），两个市场的销售量21QQ、各自是销售价格的均匀递减函数，当售价为10元时，销售量分别为2400、850件，当售价为12元时，销售量分别为2000、700件．如果生产该产品的成本函数是(2012000C)21QQ，试用yx、表示该厂生产此产品的利润L．解：根据已知，设yabQxabQ222111、，由10x时，24001Q；12x时，20001Q，有，，2000122400101111abab得、2001a44001b，于是xQ20044001．由10y时，8502Q；12y时，7002Q，有，，70012850102222abab得、752a16002b，于是yQ7516002．两个市场销售该产品的收入为22217516002004400yyxxyQxQR，该产品的成本(2012000CyxQQ15003200040008800012000)21yx15004000132000．根据利润等于收入减去成本，得)15004000132000(751600200440022yxyyxxL132000752003100840022yxyx．2．设函数1,0,1,11),(22222222yxyxyxyxyxf求函数值222),(Ryxyxf．解：当1R时，则122yx，于是0),(),(122222yxRyxyxfyxf；当1R时，则122yx，于是2211),(222RRyxfRyx．3．求函数ln[ln()]zxxy的定义域．解：由0)ln(yxx，有0x且0)ln(yx，即0x且1yx，或写作0x且1xy；或0x且0)ln(yx，即0x且10yx，或写作0x且xyx1，所以定义域}1,0),{(}1,0),{(xyxxyxxyxyxD．4．求下列极限：（1）22)0,0(),(1elim22yxyxyx；（2）yyxxy)11(lim),2(),(；（3）22)0,0(),(limyxxyyx；（4）4422),(),(limyxyxyx．解：（1）令tyx22，则当)00()(，，yx时，0t，所以tyxttyxyx1elim1elim022)0,0(),(221．或者：因为)00()(，，yx时，1e22yx与22yx是等价无穷小，所以1lim1elim2222)0,0(),(22)0,0(),(22yxyxyxyxyxyx．（2）211),2(),(),2(),(e])11[(lim)11(limxxyyxyyxxyxye．（3）令sincosyx、，则当)00()(，，yx时，0（其中在区间)20[，内任意变化），所以sincoslimlim200