高等数学竞赛级数

无穷级数内容提要，否则称级数发散。1.级数收敛与发散性的定义设前n项的部分和为，若存在，则称收敛于S一、常数项级数的概念与主要性质(2)若中一个收敛一个发散,1()nnnuv一定发散.(1)若都收敛，则一定收敛.1()nnnuvnnnnuv11，则nnnnuv11，2.主要性质性质2.级数前面有限项不影响敛散性！在级数前面改变有限项,不改变级数的敛散性.在级数前面去掉有限项,不改变级数的敛散性.在级数前面增加有限项,不改变级数的敛散性。性质1.性质3.如果收敛，则任意加括号后所得级数仍收敛，且其和不变.注:（1）若加括号后所得级数收敛，原级数不一定收敛.1nnu（2）若加括号后所得级数发散，则原级数一定发散。（3）正项级数收敛加括号后所得级数收敛级数收敛加括号后所得级数收敛性质4.（级数收敛的必要条件）若级数收敛，则必有二、几个最常见级数的敛散性1q时收敛，和为1q时发散.;1qa1.等比级数2.调和级数发散.11pnn当p1时收敛，当p1发散。3.p—级数211nn，nnn11都收敛；nn11,nn11都发散。当，例如：三、正项级数敛散性的判别法定理1.正项级数收敛部分和有界。定理2(比较判别法——非极限形式)(1)若大级数则小级数(2)若小级数则大级数收敛,也收敛;发散,也发散.设是两个正项级数,且注：小正项级数收敛，大正项级数不一定收敛；大正项级数发散，小正项级数不一定发散。,limlvunnn则有两个级数同敛散;(2)当l=0(3)当l=∞设两正项级数满足(1)当0l∞时,定理3(比较判别法——极限形式)定理4.比值判别法[与根值判别法]对正项级数1lim,nnnuu则(1)当1(2)当1时,级数收敛;或时,级数发散.时,级数可能收敛也可能发散.(3)当1＝lim,nnnu,若或定理5.积分判别法若在上非负、单调减少、连续，则级数与反常积分同敛散.用积分审敛法判断的敛散性。例.补充四、任意项级数敛散性的判别法若收敛，一定收敛；但发散，则不一定发散.如果的发散是用比值法或根值法判断出来的，则一定发散。则1.2.3.交错级数的莱布尼兹判别法则交错级数收敛.11)(1,2,);nnuun2)lim0,nnu注：lim0nnu不满足的交错级数一定发散；不满足1nnuu的交错级数不一定发散。若交错级数11(1)nnnu或nnnu1(1),其中nu0满足：定义:若收敛,绝对收敛；则称若收敛,但发散,则称条件收敛。4.绝对收敛与条件收敛的概念npnn111(1)0p时，发散；1p时，绝对收敛。01p时，条件收敛；重要结论:1.阿贝尔定理若幂级数0nnnax则对满足的一切x，该幂级数都绝对收敛.反之,若当的一切x,该幂级数也发散.时该幂级数发散,则对满足ox）（（）发散发散在绝对收敛已知收敛点已知发散点五.幂级数时收敛，2.幂级数收敛区间、收敛域的求法：1).3).讨论原级数在收敛区间端点的敛散性，得收敛域.考虑绝对值级数用比值法判断：由极限小于1得收敛区间（开区间）2).（收敛区间长度的一半称为收敛半径）3.幂级数的和函数的性质定理1幂级数的和函数且逐项积分（或逐项求导）后的新级数与原级数的在其收敛域上连续.定理2幂级数在其收敛区间内可逐项积分（或逐项求导）但收敛域不一定相同（即收敛区间4.求幂级数和函数的方法：（1）直接使用基本展开式；（2）先逐项积分（求导），后用基本展开式。收敛半径相同，的端点可能改变）。5.函数展开成幂级数xnnxn1e!=01)10ln(1)(1)(11)1nnnxxxn3)nnxx110注：等比级数求和公式2)(1).基本展开式1x2!21x3!31xnxn!121(11)nxxxxx221x331x441x11)1(nnxn()x201cos(1)()(2)!nnnxxxn5）2101sin(1)()(21)!nnnxxxn4）24121111(1)2!4!(2)!nnxxxn35121111(1)3!5!(21)!nnxxxxn2(1)2!mmx(1)(1)!nmmmnxn(1)1mxmx注：很像二项式展开定理。6）时时时利用基本展开式,将其展开.先求的展开式，再逐项积分得的展开式.fx()fx()先求的展开式，xfxx0()d再逐项求导得的展开式。fx()(2).求的幂级数展开式的方法fx()6.函数的幂级数与导数的关系fx()nnfxan()0()!(1)若则nnfxna()0()!或(2)若fx()nnfan()(0)!则nnfna()(0)!或nfx()0()求的方法：fx()把展开为x的幂级数，前面的系数乘以n!【注】例1.判断下列级数的敛散性解:这是公比的等比级数，12q收敛.解:记则原级数发散.0自学。解:考虑加括号后的级数因为发散，收敛，所以原级数发散自学例2.判断级数的敛散性:解:发散原级数发散。考虑加括号后的级数即：自学例3利用比值或根值法判断敛散性122nnn（1）1limnnnuu比值法公式limnnnu根值法公式解:2,2nnnu12原级数收敛。113,2nnnu1limnnnuulimn132nn22nnlimn32(2)nn自学（2）1limnnnuu比值法公式limnnnu根值法公式解:1,nnun1limlimnnnnnnun1lim0nn原级数收敛。自学1!nnnn（3）1limnnnuu比值法公式limnnnu根值法公式解:!，nnnun1e原级数收敛。11(1)!,(1)nnnun1limnnnuulimn1(1)!!(1)nnnnnnlimn(1)nnnnlimn11(1)nn自学1!(21)!!nnn（4）!(21)!!，nnun1(1)!(21)!!，nnun1limnnnuulimn(1)!(21)!!(21)!!!nnnnlimn121nn12解:1limnnnuu比值法公式limnnnu根值法公式原级数收敛。自学1limnnnuu比值法公式limnnnu根值法公式2111nnn（5）解:211nnun原级数收敛。21limlim1nnnnunnnlimn11nn1e自学正项级数敛散性的判别方法的选择：总结：3.若中只含n的幂函数（例如：），考虑用比较法。2.若中含阶乘（例如：n！）、n的指数函数（例如：）等情况，考虑用比值法；1.是否？如是，发散;自学例4判断下列级数的敛散性2223451121314（1）解:211nnun211lim1nnnn12(1)lim1nnnn原级数与11nn同发散。自学（2）1nnnun解:limnnu111nnlimn1e原级数发散。自学11ln(1)nnn（3）1ln(1)lim1nnnnn解:1lim1nnnnn1原级数与同收敛。11nnn自学211sin3nnnn（4）1,3nnnu解:2110sin33nnnnn11,3nnnu1limnnnuulimn1313nnnn1131nnu所以收敛，故原级数收敛。记自学11(0)1nnaa（5）11nnua记01a时，1limlim1nnnnua1011limlim112nnnu1a时，01a时，11nnua11nnaa11nna而收敛，故原级数收敛。解:自学例6判别敛散性；如收敛，是绝对收敛还是条件收敛？41sin(1)nnn解:4sinnn故原级数收敛，41n，而411nn收敛，且是绝对收敛。自学21e(2)(1)nnnn解:考虑21e(1)nnnn21ennn122e(1lm)ielimnnnnnn22e(1)nne所以原级数发散。自学(1)21(3)(1)1nnnnnlim11nnn0，原级数发散；解：自学111(4)(1)npnn（为任意常数）p解:1limpnn0p时，0，原级数发散；1p时，111(1)npnn11pnn收敛，级数绝对收敛；01p时，111(1)npnn11pnn发散，但1npun显然满足：1,lim0nnnnuuu所以原级数收敛，且是条件收敛。自学1(5)sin()nnn解:1sin()nnn1(1)sinnnn考虑1(1)sinnnn1sinnnsinlim1nnn，所以1sinnn与11nn同发散；但sinnun满足：1,lim0nnnnuuu所以原级数收敛，且是条件收敛。自学（1）解：考虑即，原级数收敛时，原级数为，发散；时，原级数为，发散；原级数的收敛域为。例.求下列幂级数的收敛半径及收敛域.自学2111(1)2nnnnxn（2）解：考虑2111(1)2nnnnxn2111||2nnnxn即时，原级数为，收敛；时，原级数为，收敛；，原级数收敛原级数的收敛域为。自学例.求下列幂级数的和函数.（1）重要地：幂级数的和函数的求法利用“＋，－，逐项求导，逐项积分”等运算把幂级数化为可求出和函数的情形.解：设，则自学解：设，则并求级数的和。（2）自学，并求（3）求的和函数解：设，则。自学幂级数求和函数的基本方法：1.设和函数为S（x）2.设法消去幂级数一般项中含n的因子分母含n时，两边求导把原级数化为等比级数；分子含n时，将原级数表示为等比级数的导数；例如：例如：，，。自学例.求的和函数.1(1)()2nnnnnSxx-1112nnnnx-12()112xxx2112nnnnxx-1211()2nnnxx-1解：316(2)xx先求得收敛域为（－2，2）自学例2将展开成x的幂级数.2101sin(1)()(21)!nnnxxxn201cos(1)()(2)!nnnxxxn1e()!xnnxxn=010ln(1)(1)(11)1nnnxxxn1(11)1nnxxx0。自学例2将展开成x的幂级数.2101sin(1)()(21)!nnnxxxn解：2101(1)(2)(21)!nnnxn212102(1)(21)!nnnnxn其中即自学例3将展开成x的幂级数.2101sin(1)()(21)!nnnxxxn201cos(1)()(2)!nnnxxxn1e()!xnnxxn=010ln(1)(1)(11)1nnnxxxn1(11)1nnxxx0自学例3将展开成