高等数学第一章函数与极限

一函数二函数的极限三函数的连续性1.1.1常量与变量常量：在某一变化过程中不变化，保持一定的数值的量叫做常量。变量：在某一变化过程中变化，可以取不同的数值的量叫做变量。常量与变量的划分是相对的。2rA定义1：设x和y为同一过程两个变量，若对非空数集D中任一x（记为），在数集M中存在y（记为）按一定的法则f有唯一确定的值与之对应，则称f是定义在D上的函数。记作y=f(x)数集D称为该函数的定义域，x叫做自变量，y叫做因变量。自变量取时的函数值记成、或0x)(0xf0xxyxDyM0()yx1.1.2函数的概念全体函数值的集合称为函数的值域。DxxfyyM),(函数的两个要素函数的对应法则和定义域称为函数的两个要素.（１）对应法则例1)(xf=2x2+31x就是一个特定的函数，f确定的对应规律为：f（）=2()2+3()－1.例2下列函数是否相同,为什么?(1)y=2lnx与y=2lnx;(2)=u与y=x．解(1)y=2lnx与y=2lnx不是相同的函数,因为定义域不同.(2)=u与y=x是相同的函数,因为对应规律与定义域均相同.分段函数：在定义域的不同部分内用不同的解析式表示的函数，称为分段函数。分段函数200xxyxxxx10sgn0010xyxxx符号函数例作出下面分段函数的图形：,3,,0)(2xxxf.21,10,01xxx解该分段函数的图形如上图所示．-11212f(x)xO52550)10()()5(tettttCtk1.1.3函数的表示方法（1）解析法：用数学公式或方程来表示变量间的函数关系。（2）列表法：把一系列自变量的值及其对应的函数值列成一个表格来表示函数关系。（3）图象法：用坐标平面内的图形（一般是曲线）表示变量间的函数关系。板蓝根注射液含量破坏百分比与保温时间的关系18.1815.4512.274.55含量被破坏百分比y128966432保温时间x(h)1.1.4几种特殊的函数性质（1）奇偶性设函数f(x)的定义域为对称区间（-L,L）（也可以是[-L,L],（－∞，＋∞）），如果对于定义域的任一x都满足f(－x)=－f(x)（f(－x)=f(x)），则称函数f(x)为奇函数（或偶函数）。（2）单调性若函数f(x)在区间I上有定义，如果对于区间I上任意两点及，当时，有，则称函数f(x)在区间I上单调增加（单调递减）。单调递增或单调递减函数统称为单调函数。1x2x21xx))()(()()(2121xfxfxfxf（3）有界性设函数y=f(x)定义在区间(a，b)上，若存在一个常数k，使得当x∈(a，b)时，恒有成立，则称f(x)在(a，b)有上界（下界）。若f(x)在(a，b)既有上界又有下界，则称f(x)在(a，b)上有界。如果函数f(x)在其定义域内有界，则称f(x)为有界函数。()fxk(())fxk（4）函数的周期性设有函数f(x)，如果存在一个不为零的数T，使得对于定义域的任一实数x，都有f(x+T)=f(x)则称f(x)周期函数，T为函数的周期。1.1.5反函数设函数y=f(x)的定义域为D，值域为M。如对于任意的y∈M，有x∈D，使得f(x)=y，则变量x是变量y的函数，其对应规则记作。这个定义在M上的函数，称它为函数y=f(x)的反函数，而y=f(x)称为直接函数。1f)(1yfx函数表达式反三角函数三角函数对数函数指数函数幂函数常数函数函数名称y=C(C为常数)xy(为实数)xay(a＞0,a≠1,a为常数)y=xalog(a＞0,a≠1,a为常数)y=xsin,y=cosx,y=tanx,y=cotxy=secx,y=cscxy=arcsinx,xyarccos,xyarctanxyarccot1.2.1基本初等函数这六种函数统称为基本初等函数，这些函数的性质、图形必须熟悉．设)(ufy,其中)(xu,且)(x的值全部或部分落在)(uf的定义域内，则称)(xfy为x的复合函数，而u称为中间变量．例1（1）函数xy2sin是由2uy,xusin复合而成的复合函数，其定义域为),(，它也是xusin的定义域.（2）函数21xy,是由uy，21xu复合而成的，其定义域为［-1，1］，它是21xu的定义域的一部分.（3）y=uarcsin,u=2+x2是不能复合成一个函数的．1.2.2复合函数两个函数f与g构成复合函数的关键在于内函数的值域要包含在外函数的定义域中。例2分析下列复合函数的结构：⑴y=2cotx;⑵.e1sin2xy解⑴y=u,vucot,2xv.⑵y=ue,vusin,tv,12xt.例3设2)(xxf,xxg2)(,求,)(xgf)(xfg.解f[g(x)]=[g(x)]2=(x2)2=x4,g[f(x)]=)(2xf=22x.由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合步骤所构成，且用一个解析式表示的函数，叫做初等函数，否则就是非初等函数．三、初等函数若数列及常数a有下列关系:当nN时,总有记作此时也称数列收敛,否则称数列发散.几何解释:aa)(axan)(Nn即),(axn)(Nnaxnnlim或)(naxn1Nx2Nx则称该数列的极限为a,1.3.1数列的极限邻域。且是两个实数与设0,a,叫做这邻域的中心点a.叫做这邻域的半径}{),(axxaU的称为点数集aaxx}{,邻域),(aU记作}{),(axaxaU),(aaxaaaAnNAAnxn目的：AxANnNAxnnn,0lim时，有使得自然数要找到一个●●●●●●●●●●●●●●●●●●NAAA越来越小，N越来越大！nxn例如,,1,,43,32,21nn1nnxn)(1nnnxnn1)1()(1n,2,,8,4,2nnnx2)(n1)1(nnx趋势不定收敛发散1nxn1n21031041051061071081091010101110nxO1n21031041051061071081091010101110nxOnxn11nnxO●●nnxOnxnnxnnx)1(nO101112131415161718192021●●●●●●●●●●●●●●●●202122232425262728293031303132333435363738394041n11目标不惟一！！！！！！！！！！！！例1.已知证明数列的极限为1.证:1nx1)1(nnn,0欲使即只要1n因此,取,]1[N则当Nn时,就有1)1(nnn故1)1(limlimnnxnnnn例2.设,1q证明等比数列证:0nx欲使只要即亦即因此,取qNlnln1,则当nN时,就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的极限为0.一、自变量趋于有限值时函数的极限自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容:1.3.2函数的极限XXAAoxy)(xfyA1.自变量趋于无穷大时函数的极限定义2.设函数大于某一正数时有定义,若,0X则称常数时的极限,Axfx)(lim几何解释:AxfA)(XxXx或记作直线y=A为曲线的水平渐近线,0A为函数●●●●●xx这个运动表明：当x沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应的点按逆时针方向趋于顶点这个运动表明：当x沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应的点按顺时针方向趋于顶点演示表明：在直线上无论x是趋于，还是趋于，反映在圆周上显示的是，点沿着圆周分别按逆时针和顺时针都趋于一个共同的点——顶点！例证明.01limxx证:01xx1取,1X因此注:就有故,0欲使即oxyxy1x1x11直线y=A仍是曲线y=f(x)的渐近线.两种特殊情况:Axfx)(lim,0,0X当时,有Axf)(,0,0X当Xx时,有Axf)(几何意义:例如，都有水平渐近线;0y都有水平渐近线.1y又如，2.自变量趋于有限值时函数的极限1.时函数极限的定义引例.测量正方形面积.面积为A)边长为(真值:边长面积直接观测值间接观测值任给精度,要求Ax2确定直接观测值精度:0xx0xA定义1.设函数在点的某去心邻域内有定义,,0,0当00xx时,有Axf)(则称常数A为函数当时的极限,Axfxx)(lim0或即当时,有若记作几何解释:0xAAAx0xy)(xfy极限存在函数局部有界这表明:xOy0x)(xfyA0给定AA0x0x目的：对任意的0,要找0，使得0|x-x0|时，有|f(x)-A|.即Af(x)A.哈哈,找到了!这样的也能用,看来有一个符合要求,就会有无穷多个符合要求!xOy0x)(xfyA01给定1A1A0x0x11目的：对任意的0,要找0，使得0|x-x0|时，有|f(x)-A|.即Af(x)A.哈哈,找到了!例1.证明证:Axf)(故,0对任意的,0当时,因此总有例2.证明证:12x欲使,0取,2则当10x时,必有因此只要左极限与右极限左极限:)(0xfAxfxx)(lim0,0,0当),(00xxx时,有右极限:)(0xfAxfxx)(lim0,0,0当),(00xxx时,有定理3.Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim00例.设函数0,10,00,1)(xxxxxxf讨论0x时)(xf的极限是否存在.xyo11xy11xy解:因为)(lim0xfx)1(lim0xx1)(lim0xfx)1(lim0xx1显然,)0()0(ff所以)(lim0xfx不存在.思考与练习1.若极限)(lim0xfxx存在,)()(lim00xfxfxx2.设函数)(xf且)(lim1xfx存在,则.a3是否一定有1,121,2xxxxa？当一、无穷小定义1.若时,函数则称函数例如:函数当时为无穷小;函数时为无穷小;函数当)x(或为时的无穷小量，简称无穷小.时为无穷小.)x(或1.3.3无穷小与无穷大说明:除0以外任何很小的常数都不是无穷小!因为当时,显然C只能是0!CC时,函数(或)x则称函数为定义1.若(或)x则时的无穷小.其中为0xx时的无穷小量.定理1.(无穷小与函数极限的关系)Axfxx)(lim0Axf)(,证:Axfxx)(lim0,0,0当00xx时,有Axf)(Axf)(0lim0xx对自变量的其它变化过程类似可证.二、无穷大定义2.若任给M0,一切满足不等式的x,总有则称函数当时为无穷大,使对若在定义中将①式改为①则记作))(lim()(0xfxxx)(Xx)(x))(lim(xfx(正数X),记作,))((Mxf总存在注意:1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!例如,函数当但所以时,不是无穷大!三、无穷小与无穷大的关系若为无穷大,)(1xf为无穷小;若为无穷小,且,0)(xf则)(1xf为无穷