初三相似三角形之一线三等角专题

1相似三角形——“一线三等角型”一、知识梳理：一线三等角：两个等角的一边在同一直线上，另一边在该直线的同侧。若有第三个与之相等的角、其顶点在该直线上，角的两边（或两边所在直线）分别与两等角的非共线边（或该边所在直线）相交，此时通过证明，一般都可以得到一组相似三角形，该组相似三角形习惯上被称为“一线三等角型”相似三角形．（图1）（图2）（1）如图1，已知三角形ABC中，AB=AC,∠ADE=∠B，那么一定存在的相似三角形有；（2）如图2，已知三角形ABC中，AB=AC,∠DEF=∠B，那么一定存在的相似三角形有.二、【例题解析】【例1】如图，等边△ABC中，边长为4，D是BC上动点，∠EDF=60°，（1）求证：△BDE∽△CFD；（2）当BD=1，FC=52时，求BE.【变式1】在边长为4的等边ABC中，D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且保持ABCEDF，连接EF.(1)已知BE=1,DF=2，求DE的值；(2)求证：∠BED=∠DEF.2【变式2】在边长为4的等边ABC中，若BD=1时，当△DEF与△AEF相似，求BE的值.【变式3】如图，已知边长为3的等边ABC，点F在边BC上，CF=1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边EFG，直线EG，FG交直线AC于点M，N，（1）写出图中与BEF相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设BE=x，MN=y，，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.【例2】在ABC中，OBCACC,3,4,90o是AB上的一点，且52ABAO，点P是AC上的一个动点，OPPQ交线段BC于点Q（不与点B,C重合），已知AP=2，求CQ.【变式1】如图，在△ABC中，8ACAB，10BC，D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，且CADE．(1)求证：△ABD∽△DCE；(2)如果xBD，yAE，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的定义域；(3)当点D是BC的中点时，试说明△ADE是什么三角形，并说明理由．QCOABP3【变式2】在直角三角形ABC中，DBCABC,,90o是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动点（与A，C不重合），DFDEDF,与射线BC相交于点F.(1)如图1，当点D是边AB的中点时，求证：DFDE;(2)如图2，当mDBAD，求DFDE的值.图(2)图(1)FCFCABBADEDE【例3】已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．①求证；△ABP∽△DPC；②求AP的长．【变式1】如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE＝1时，写出AP的长．CBADCBAD【变式2】在梯形ABCD中，AD∥BC，6ABCDBC，3AD．点M为边BC的中点，以M为顶点作EMFB，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，联结EF．（1）求证：△MEF∽△BEM；（2）若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；（3）若EFCD，求BE的长．4【作业】1、如图，在ABC中，90C，6AC，43BCAC，D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点，作90DEF，EF交射线BC于点F．设BEx，BED的面积为y．（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如果以B、E、F为顶点的三角形与BED相似，求BED的面积.2、如图，已知在△ABC中，AB=AC=6，BC=5，D是AB上一点，BD=2，E是BC上一动点，连结DE，并作DEFB，射线EF交线段AC于F．（1）求证：△DBE∽△ECF；（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；（3）联结DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长．3、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，点E是AB的中点．（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△BEP∽△CPD；（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么:①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；②当BEPDMFSS49时，求BP的长.