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1第二部分攻克题型得高分圆的综合题（等腰三角形模型）1.如图，AB是半圆的直径，AC为弦，过点C作直线DE交AB的延长线于点E.若∠ACD＝60°，∠E＝30°.(1)求证：直线DE与半圆相切；(2)若BE＝3，求CE的长．第1题图2.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，交AB延长线于点F.(1)求证：DE⊥AC；(2)若AB＝10，AE＝8，求BF的长．第2题图3.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点.F(1)求证：DE⊥AC；(2)若DE＋EA＝8，⊙O的半径为10，求AF的长度．2第3题图4.如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，以BC为直径的⊙O与AC相交于点D，过点D作DE⊥AB交CB延长线于点E，垂足为点F.(1)判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O的半径R＝5，tanC＝12，求EF的长．第4题图答案1.(1)证明：如解图，连接OC，3第1题解图∵∠ACD＝60°，∠E＝30°，根据三角形外角和定理得∠A＝30°，又∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30°，∴∠OCD＝∠OCA＋∠ACD＝90°，即OC⊥DE，∴直线DE与半圆相切；(2)解：在Rt△OCE中，∠E＝30°，∴OE＝2OC，又∵OC＝OB，∴OE＝2BE＝6，∴CE＝OE·cos∠E＝6×32＝33.2.(1)证明：如解图，连接OD、AD，第2题解图∵DE切⊙O于点D，∴OD⊥DE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC，4∴D是BC的中点，又∵O是AB的中点，∴OD∥AC，∴DE⊥AC；(2)解：∵AB＝10，∴OB＝OD＝5，由(1)得OD∥AC，∴ODAE＝OFAF＝BF＋OBBF＋AB，设BF＝x，AE＝8，∴58＝x＋5x＋10，解得：x＝103，∴BF＝103.3.(1)证明：如解图，连接AD，第3题解图∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∵OB＝OA，5∴OD∥AC，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴DE⊥AC；(2)解：如解图，连接BF.∵AB是⊙O的直径，∴BF⊥AF，∵DE⊥CF，∴DE∥BF，∵点D是BC的中点，∴EF＝EC，BF＝2DE.∵AC＝AB＝20，∴EC＝20－AE，∴AF＝EF－AE＝EC－AE＝20－2AE，∵AE＋DE＝8，∴DE＝8－AE，∴BF＝16－2AE，在Rt△ABF中，由勾股定理得BF2＋AF2＝AB2，即(16－2AE)2＋(20－2AE)2＝202，解得AE＝2或AE＝16(舍)，∴AF＝20－2AE＝20－4＝16.4.解：(1)DE与⊙O相切，6第4题解图理由：如解图，连接OD，BD，∵CB是⊙O的直径，∴BD⊥AC，∵BC＝BA，∴CD＝AD，∵OC＝OB，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；(2)在Rt△BCD中，∵tanC＝BDCD＝12，∴CD＝2BD.∵BC＝2R＝10，由勾股定理得BD2＋CD2＝BC2即BD2＋(2BD)2＝102，解得BD＝25，CD＝45.在Rt△ABD中，∵AB＝BC＝10，DF⊥AB，7AD＝CD＝45，∴S△ABD＝12BD·AD＝12AB·DF，∴DF＝AD·BDAB＝45×2510＝4，∵∠C＋∠DBC＝∠ODB＋∠BDE＝90°，∠ODB＝∠OBD，∴∠BDF＝∠C，∴tan∠BDF＝tanC＝12，∴BF＝12DF＝2.∵BF∥OD，∴EFED＝BFOD，即EFEF＋4＝25，解得EF＝83.