非线性光纤光学-第五章-光孤子

1.调制不稳定性2.光孤子3.其他类型孤子4.孤子微扰5.高阶效应第五章光孤子1.调制不稳定性许多非线性系统都表现出一种不稳定性，它是由非线性和色散效应之间的互作用导致的对稳态的调制。这种现象被称为调制不稳定性，在流体力学、非线性光学和等离子体物理学等领域已早有研究。光纤中的调制不稳定性需要反常色散条件，这种不稳定性表现为将连续或准连续的辐射分裂成一列超短脉冲。线性稳定性分析稳态解忽略损耗，考虑稳态情况下连续波在光纤中的传输情况：22221||2AAiAAzT对于连续波，入射端振幅与T无关，并认为在光纤内传输时仍保持与时间无关，可以得到方程的稳态解为0NLexp()APi入射功率SPM感应的非线性相移NL0Pz上式表明，连续波在光纤中传输时除了获得一个与功率有关的相移（和由于光纤损耗引起的功率减小）外，其他参量保持不变。微扰的影响稳态解在很小的扰动下是否仍然是稳定的？为此，通过下式对该稳态引入微扰。NLieaPA)(0微扰项将上式代入稳态方程，并使a线性化，得到)(21*0222aaPTazai方程的通解应有以下形式：12(,)exp[()]exp[()]azTaiKzTaiKzT微扰的波数微扰频率仅当K和Ω满足下面的色散关系时，关于a1和a2的齐次方程才有非平凡解：1222221sgn()2cKsgn(β2)=±1，取决于β2的符号2022NL44cPL稳态解的稳定性色散关系表明，稳态的稳定性主要取决于光纤中传输的光波是处于光纤的正常群速度色散区还是反常群速度色散区。对于正常群速度色散的情形（β20），波数对所有的都为实数，并且对小的扰动该稳态仍是稳定的。相反，对于反常群速度色散的情形（β20），K在时变为虚数，微扰a(z,T)随z指数增长，结果连续波解在β20时具有固有的不稳定性。这种不稳定性称为调制不稳定性，因为它导致连续波的自发时域调制，并将连续波转变成脉冲序列。其他许多非线性系统中也产生类似的不稳定性，并通常称之为自脉冲不稳定性。c0NLexp()APi调制不稳定的增益谱令sgn(β2)=-1，g(Ω)=2Im(K)，可以得到调制不稳定的增益谱（式中系数取2是考虑到g为功率增益）。增益仅在c时存在，并由下式给出。22122()||()cg增益谱关于Ω=0对称，并在Ω=0处为零。增益在由下式给出的两频率处具有最大值120max222cP最大值为2maxmax201()22cggP增益谱的特点：峰值增益与GVD参量β2无关，随入射功率线性增加；光纤损耗的主要影响是，由于功率沿光纤逐渐减小，增益也逐渐减小；三阶色散（或任意奇数阶色散项）并不影响调制不稳定性的增益谱；自陡峭的主要影响是减小增长率并使产生增益的频率范围减小。如何从物理上理解调制不稳定性？调制不稳定性可以解释为由SPM实现相位匹配的四波混频过程。如果一束频率为ω1=ω0+Ω的探测波与频率为的连续波同时在光纤中传输，只要，探测波将获得一个净功率增益。从物理上讲，由频率为ω0的强泵浦波的两个光子产生另外两个不同的光子，其中一个是频率为ω1=ω0+Ω的探测光子，另一个是频率为2ω0-ω1=ω0-Ω的闲频光子。这种探测波与强泵浦波一起入射的情形有时称为感应调制不稳定性。即使只有泵浦波本身在光纤中传输时，调制不稳定性也能导致连续波自发分裂成周期性的脉冲序列。在这种情况下，噪声光子（真空涨落）起到探测波的作用，并被调制不稳定性提供的增益放大。由于最大的增益发生在频率ω0±Ωmax处，由式（5.1.9）给出，这些频率分量得到最大的放大，所以自发调制不稳定性的一个明显的特征是，在中心频率ω0两边的±Ωmax处产生两个对称的频谱边带。在时域中，连续波转变为一个周期性的脉冲序列，其周期为T=2π/Ωmax。c调制不稳定性用于超短脉冲产生通过用时域方法求解NLS方程，发现当输入的连续波有周期调制时，此连续波逐渐演化为以原有调制周期为间隔的短脉冲序列。从实用的角度考虑，调制不稳定性可用于产生短光脉冲序列，其重复频率可由外部控制。早在1989年，利用调制不稳定性就产生了重复频率为2THz的的130fs脉冲，从此，这项技术就用于产生周期性超短脉冲序列，其重复频率比从锁模激光器所得脉冲的重复频率要高得多。在一个实验中，利用光纤放大器将由两台DFB激光器得到的拍信号放大到约0.8W，然后在1.6km长的DDF中传输，其中DDF的GVD从10ps/(km·nm)减至0.5ps/(km·nm)。左图给出了重复频率为114GHz的输出脉冲序列和对应的频谱，由图可见频谱因脉冲内喇曼散射发生红移。调制不稳定性对光波系统的影响调制不稳定性会影响用光放大器对光纤损耗进行周期性补偿的光通信系统的性能。物理上讲，放大器的自发辐射能提供种子光，进而通过感应调制不稳定性形成频谱边带，结果信号频谱被充分展宽，由于GVD感应的光脉冲展宽与其带宽有关，这种效应将使系统性能劣化。当利用色散补偿光纤（DCF）对GVD进行部分补偿时，系统性能得到了改善。随着波分复用技术的出现，色散管理技术被普遍采用，它通过周期性色散图从总体上降低GVD，而在局部GVD则保持较高值。β2的周期性变化形成另一个光栅，可以显著影响调制不稳定性。在强色散管理情况下（相对大的GVD变化），调制不稳定性增益的峰值和带宽均减小。调制不稳定性在几个方面影响WDM系统的性能。研究表明，四波混频的共振增强对WDM系统有害，特别是当信道间隔接近调制不稳定性增益最强的频率时，使系统性能明显劣化。积极的一面是，这种共振增强能用于低功率、高效的波长变换调制不稳定性还可以用来推算非线性参量的值。下图给出了色散补偿对调制不稳定性增益谱的影响。在每段链路的末端用放大器补偿该段链路的总损耗，当未对色散进行补偿时，频谱呈现出多条边带；当在每段链路后对95％的色散进行补偿时（曲线（a）），链路平均色散为0.8ps/（nm·km），此时这些边带得到抑制，而且峰值增益显著减小，如曲线（b）所示；当光波系统链路由=0.8ps/（nm·km）的均匀色散光纤构成时，调制不稳定性增益要大得多。孤子的历史一个奇特的水波约170年前，苏格兰海军工程师罗素(J.ScottRussell)在一次偶然中观察到一种奇特的水波。1844年，他的报告：“我看到两匹骏马拉着一条船沿运河迅速前进。当船突然停止时，随船一起运动的船头处的水堆并没有停止下来。它激烈地在船头翻动起来，随即突然离开船头，并以巨大的速度向前推进。一个轮廓清晰又光滑的水堆，犹如一个大鼓包，沿着运河一直向前推进在行进过程中其形状与速度没有明显变化。我骑马跟踪注视，发现它保持着起始时约30英尺长，1-1.5英尺高的浪头，约以每小时8-9英里的速度前进后来，在运河的拐弯处消失了”。罗素称之为孤立波-Solitarywave。2.光孤子光孤子概述1895年柯特维格（D.J.Koteweg）和德弗累斯（G.DeVries）罗素观察到的孤立波是波动过程中非线性效应与色散现象互相平衡的结果，他们建立了KdV方程，并给出孤立波解，从理论上说明了孤立波的存在。20世纪60年代，电子计算机用于科学研究。1965年克鲁斯卡尔（M.D.Kruskal）和萨布斯基（N.J.Zabusky）用数值模拟方法证明了两个孤立波碰撞前后波形和速度都不变，孤立波有明显的粒子性，他们称孤立波为孤立子。光纤中的光孤子满足一定条件的非线性波包，它传输长距离或相互磁撞后，形状、振幅和传播速度均保持不变。孤子的物理理解：光孤子由色度色散和自相位调制的结合而形成。通过选择适当的波长和脉冲形状，激光产生孤子波形，孤子波形通过自相位调制抵消掉色度色散，从而保持波形不变。色度色散和啁啾(chirp)彼此抵消，从而产生孤子。光孤子的数学描述非线性薛定谔方程(NLS)从数学上描述光孤子需要用到前面介绍的NLS，23223231||262AiAAiAAAzTT为了简化孤子解，首先忽略光纤损耗和三阶色散，并引入归一化参量00,,TTLzPAUD峰值功率色散长度||220TLD输入脉冲宽度归一化的方程为：222221sgn()2UUiNUU±1，取决于GVD的正负孤子阶数，无量纲的量2200NL2DPTLNL通过引入ALNUuD，可以消去方程中的参量N，并取GVD为负的情况，sgn＝-1，得到非线性薛定谔方程的标准化形式：222102uuiuu该方程可以用逆散射方法求解，主要的结果如下：设入射脉冲的初始形式满足)(sec),0(hNu那么当N＝1时，其脉冲形状在传输过程中保持不变；对于大于1的整数N，输入脉冲形式以ξ=mπ/2为周期变化，m为整数。基阶孤子由逆散射法可得到基阶孤子的标准形式为(,)sech()exp(2)ui之所以称为基阶孤子是因为其形状在传输过程保持不变。不用逆散射法，通过直接求解NLS方程也可以得到上式给出的基阶孤子解。这种方法假定NLS方程存在一个形状可保持的解，其形式为(,)()exp[(,)]uVi为了让该解能表示在传输中能保持形状不变的基态孤子，要求式中V与ξ无关。相位φ与ξ和τ有关。将其代入NLS方程得021222222iiiiiiiVeViVeiiVeieVieVeVVei将实部和虚部分离，可以得到关于V和φ的两个方程，021213222VVVV02122VV可以设相位φ与τ无关，因此式中∂φ/∂τ有关的项为零，且∂φ/∂τ变成dV/dτ。从第一个式子看出，要满足V与ξ无关的条件，∂φ/∂ξ必须等于常数，因此φ=Kξ的形式，式中K是常数。因此V满足).(2222VKVdVd在方程两边乘以2(dV/dτ)，并对τ积分可得2242dVdKVVC积分常数最终可以得到利用逆散射方法得出的同样的解，即(,)sec()exp(2)uhi可以看出，输入脉冲在光纤的传输过程中得到了ξ/2的相移，但是其振幅保持不变。正是基态孤子的这个特性，使它成为光通信系统的理想脉冲。当输入脉冲为sech形时光纤色散被光纤非线性精确补偿，其脉宽和峰值功率由N＝1时的关系给出。2202203.11FWHMPTT高阶孤子在ξ=0时初始孤子形式如下的孤子特别重要：)(sec),0(hNu孤子周期||22002TPLLNNLD利用逆散射方法可得二阶孤子场的分布为)]4cos(3)2cosh(4)4[cosh()2exp()]cosh()4exp(3)3[cosh(4),(iiu此解的一个重要特征是，│u(ξ,τ)│2是以ξ=π/2为周期的周期性函数。利用归一化关系ξ=z/LD，可以得到孤子周期z0为所有高阶孤子都具有此周期性。.||2||22222200FWHMDTTLz如何理解孤子的周期性？SPM和GVD之间的互作用导致了脉冲在时域和频域的变化，SPM产生一个正的频率啁啾，使孤子的前沿相对中心频率产生红移，孤子的后沿产生蓝移。当不考虑GVD效应时，脉冲的形状保持不变。然而由于脉冲具有正啁啾，反常GVD将压缩脉冲。因为啁啾仅仅在脉冲的中央部分近似为线性的，所以仅脉冲的中央部分变窄。可是脉冲中央部分强度的迅速增加，将导致频谱发生很大的变化，孤子稳定性如果初始脉冲形状或峰值功率不符合方程u(0,τ)=Nsech(τ)所需的条件，从而入射脉冲并不对应于某一光孤子时，结果又将会怎样?a.输入脉冲峰值功率不满足N＝整数的情况从物理意义上讲，当脉