清华大学微积分高等数学课件第1讲函数

2020/3/31欢迎你！清华园的新主人2020/3/322020/3/33微积分讲课教师陆小援2020/3/34参考书目：1.《微积分教程》韩云瑞等清华大学出版社3.《微积分学习指导》韩云瑞等4.《大学数学概念、方法与技巧》微积分部分刘坤林等2.《一元微积分》萧树铁主编高教出版社清华大学出版社清华大学出版社2020/3/35作业P3习题1.14(2)(4)(6).7.P7习题1.22.5.P12习题1.37.9.预习：P27—392020/3/36答疑时间地点：理科楼数学系1111交作业时间：星期一星期五课后2020/3/37引言（一）上大学学什麽？•珍惜时光•三个方面•学会自学尝试研究性的学习方法：提出问题、研究问题、解决问题注重持续性学习：有计划地安排学习做人之道,治学之方,健身之术学会向书本、老师、周围学2020/3/38（二）学数学学什麽？数学的基本特征抽象性演绎性广泛性（研究对象）（论证方法）（应用）假设结论logic理性思维2020/3/39关于学习数学的要求1)搞清概念，侧重思路。2)适当做题，掌握基本。3)广泛联想，多方应用。2020/3/310（三）这个学期学什麽？•一元函数微分利用极限研究函数的种种表达及其诸多性质极限的直观定义与计算导数与微分的概念与计算微分学应用•一元函数积分不定积分定积分概念与计算积分学应用•简单微分方程2020/3/311第一讲函数一、予备知识二、函数概念三、函数的初等性质四、复合函数与反函数五、初等函数2020/3/312一、予备知识1.常用的数的集合自然数集有理数集整数集实数集},,210{nN，，，},,210{nZ，，，},{Q为互质的整数qpqp}{R是实数xx},{CRyxiyx复数集2020/3/3132.邻域0,0Rx设0x0x0xOx),(}{),(0000xxxxxxN000xxxxx).,(}{000xNxxxx记作邻域的称为点数集邻域的空心点称为数集00*0),(}0{xxNxxx}{),(000xxx2020/3/314逻辑符号.3”）全称量词“（1”表示“任意的”。“例如：”“Rx”。表示“对于任意的实数x”）存在量词“（2”表示“存在”。“例如：）”（且“b,acQc,ba,Qb,a.cb,a有理数之间，存在表示“任意两个有理数2020/3/315二、函数概念定义：.RD为非空数集设.).(,!,,上的一个函数在为定义则称记作与之对应实数按确定的规则如果DfxfyyfDxRDf:或记.,,定义域—因变量—自变量—Dyx存在唯一值域—}),(,{DxxfyRyy)(Df)(fR或2020/3/316函数的两个要素：2.定义域D1.对应规则fxxyxy2:与例12)(2xxf例：表示对应规则f12)(2f112)1(2f1)12(2)12(2ttf1)1(2)1(2xxf表示的是不同的函数定义域不同，2020/3/317三、函数的初等性质1.函数的奇偶性称为奇函数)(),()(,xfxfxfDx称为偶函数)(),()(,xfxfxfDx2.函数的增减性)f,)x(f)xf)x(f)x(fxx,Ix,x（严格单调增函数为单调增函数称）（21212121()f),)x(f)x(f()x(f)x(fxx,Ix,x严格单调减函数（为单调减函数称212121212020/3/3183.函数的周期性为周期函数称f)x(f)Tx(fx,TR0的周期是则称有最小周期若fTTf,[注意]并不是所有的函数都有最小周期例如：考察狄里克雷函数为无理数当为有理数当xxx,0,1)(2020/3/3194.函数的有界性定义：使得对如果存在一个实数,)1(M,M)x(f,Dx都有每一个.上是有上界的在则称函数Df使得对如果存在一个实数,)2(NN)x(f,Dx都有每一个.上是有下界的在则称函数Df2020/3/320.,)3(数有界函称为数既有上界又有下界的函使得对于即存在一个正数,0M.)(,MxfDx成立每一个[例]),(xeyeyxx和00),,(xxeex和有因为.,,),(,无上界有下界上在和所以xxeyey2020/3/321[问题]如何定义无界函数？.,)(,,0**上无界在则称函数使得总存在如果对任意的正数DfMxfDxM[例].),0()0,(1上是无界的在xy.),[],(,0有界的上是在对任意的则有取对任意的,21,0*MxMMMxxx21*11x2020/3/3221x2xxx)(xfyyoAB凸的（下凸）5.函数的凸性2020/3/323yxo1x2xx凹的（上凸）)(xfyAB2020/3/324可表示为如下形式：xxxx,),(21,11121xkkxkx可解出1,1,02121且其中221121,),(xxxxxx有则)0(,21kkxxxx记,1,1121kkk令2020/3/325弦线AB的方程为)()()()()(112121xxxxxfxfxfxY)()(,),(221121xxYxYxxx有121)()()(2211xfxfxY)()()()(1221112121xxxxxxfxfxf2020/3/326.],[)()()(.],[,1)()()(,],[,.],[:)(2211221121212211221121函数上为凹在则称如果函数凸上为在则称都成立和的任意非负实数对于满足不等式如果设函数bafxfxfxxfbafxfxfxxfbaxxRbaxf（一）凸性定义：2020/3/327四、复合函数与反函数定义：这时在集合的交集非空定义域的与的值域并且和假定给了两个函数,)()(),()(fDfgRgxguufy,)}()(),({上且fDxggDxxD.)),((构成的复合函数与这个函数为由则称可以确定一个函数gfxgfy1.复合函数2020/3/328例,sin)(,)()1(xxgueufyu则有xexgfsin))((),(x,)(,)()2(2xxguuufy则有xxxgf2))((),(xgf记作))((:)(xgfxgf即2020/3/329,1)(,ln)()4(2xxguuufy则有),1ln())((2xxgf).,1()1,(x.1)(,arcsin)()3(xexguuf所以,不能构成复合函数)).((xgf],1,1[)(fD),,1()(gR.)()(gRfD因为2020/3/3302.反函数在函数定义中，要求函数是单值的，即)()(2121xfxfxx)()(,,2121xfxfxx不一定有但是)()(2121xfxfxx如果之间就有如下关系与值域则在定义域)(DfD)(,!),(xfyDxDfy使得.)(,)(的反函数称为函数新的对应关系到个由这是一xfyDDf)()(1Dfyyfx记作2020/3/331.)(11DffDfff的定义域的值域是；的值域的定义域是函数反函数由定义可以知道：2020/3/332[例2]xxfysin)(设严格单调则]1,1[]2,2[:f]1,1[arcsin)(1yyyfx有反函数[例3]),0(),(xey是严格单调函数习惯上,记),0(lnxxy),0(ln)(1yyyfx有反函数2020/3/333五、初等函数基本初等函数（2）幂函数（5）三角函数（3）指数函数（6）反三角函数（4）对数函数（1）常量函数xy)0(aayxxey)(常数cyxyalogxxyelog:lne是无理数xxxxcot,tan,cos,sinxarcxxxcot,arctan,arccos,arcsin都是周期函数2020/3/334初等函数基本初等函数经过有限次的四则运算及复合运算所得到的函数,称为初等函数.双曲函数双曲正弦)(21sinhxxeex双曲余弦)(21coshxxeex双曲正切xxxxeeeexxxcoshsinhtanh),(x2020/3/335反双曲正弦)1ln(harcsin2xxx反双曲余弦)1ln(harccos2xxx反双曲正切xxx11ln21harctan),(x),1[x)1,1(x2020/3/336非初等函数的例子（1）符号函数.0,1,0,0,0,1sgnxxxxyOyx11xxxsgn[注意]2020/3/337（2）取整函数),1(:Zkkxkkxy25.2[例如]35.2Oyx1123423123123[注意])(1Rxxxx2020/3/338函数表示的其他分类：（1）显函数（2）隐函数（3）参数式函数)(xfy确定的函数由方程0),(yxF确定的函数由参数方程)()(tyytxx2020/3/339]2,0[sincos]1[ttbytax椭圆：例0,)cos1()sin(]3[atayttax摆线：例a•a2]2,0[sincos]2[00ttryytrxx圆：例2020/3/340]2,0[sincos]4[33ttaytax星形线：例a内旋轮线0,323232aayx隐函数方程：