清华大学微积分高等数学课件第2讲函数极限

2020/3/31作业P34习题2.13(2)(3).P39习题2.21(2)(3).2(2)(6)(9)(13).3(1)预习：P40—492020/3/32第二讲函数极限一、函数极限二、函数极限的性质三、函数极限的运算法则四、两个重要极限五、无穷小量与无穷大量2020/3/33极限的重要性（1）极限是一种思想方法（2）极限是一种概念（3）极限是一种计算方法从认识有限到把握无限从了解离散到理解连续微积分中许多概念是用极限定义的许多物理、几何量需要用极限来求2020/3/34函数极限问题是研究当自变量一、函数的极限x趋向于0x)x(f的变化趋势或趋向于无穷大时，函数（两种基本变化趋势）0x趋向于一点xO(一)自变量的变化xx，0xx，0xx0xx趋向于无穷，x，xx2020/3/35,)x(f,xxAA)x(fxx.x)x(f的极限函数时趋于是当，则称的常数定“无限趋于”一个确应的函数值时，其对“无限趋于”如果当有定义的某空心邻域在点设函数000A)x(flimxx0记作定义1：（二）函数极限的定义1.函数在一点的极限)xx(A)x(f0或2020/3/36[注意]考虑空心邻域，是什麽意思？考虑函数在一点的极限时，不考虑函数在该点处是否有定义，定义的值是什麽，但是，在附近必须要有定义。[例1]?11lim21xxx11lim11lim121xxxxx212020/3/37[例2]0,10,1sin)(xxxxxf0lim0)x(fx2020/3/38定义2：（左、右极限）记作处的左极限在是则称无限趋于确定值时当内有定义在（）若（,x)x(fA,A)x(f,xx.x,x)x(f0000)1记作处的右极限在是则称无限趋于确定值时当内有定义在（）若（,x)x(fA,A)x(f,xx.x,x)x(f0000)2A)x(fxx0limA)x(fxx0lim2020/3/39一点极限与单侧极限有什麽关系？[例]的情况，研究设01arctanxxy观察图形21arctanlim0xx不存在！xx1arctanlim0-20-101020-1.5-1-0.50.511.521arctanlim0xxxxxx1arctanlim1arctanlim00问题：2020/3/3102.函数在无穷远的极限，有极限时常数，则称当无限趋于某一无限变大时，若有定义在区间设函数A)x(f,x)x(fx),a()x(fA)x(flimx记作定义3：类似的可定义A)x(flimxA)x(flimx或2020/3/311-20-101020-1.5-1-0.50.511.5例如xxf1arctan)(0)(limxfx0)(limxfx0)(limxfx2020/3/312.)(,,)(,)(,0,0,0,.)(0000AxfxxAxfxxAxfxxxRAxxf趋向于时或称当有极限时则称当都有动点的使得所有满足不等式如果有定义的某空心邻域在点设函数)()()(lim00xxAxfAxfxx或记作定义4：3.函数极限的精确定义定义2020/3/313二、函数极限的性质性质2:（有界性）.)(,,)(lim00有界时当则存在设xfxxxfxx.)(,0,000MxfxxM就有时使当和即存在函数极限如果存在，则函数一定有界.性质1:（唯一性）函数极限如果存在，则一定是唯一的.xy1.)(,,)(lim有界时当则存在设xfxxfx.)(,,00MxfNxNM就有时使当和即存在2020/3/314性质3:（保号性）存在设Axfxx)(lim0.0)(,0,0,0)1(0xfxxA就有时使当则如果.0,0)(,0,0)2(0Axfxx则有有时使当如果性质4存在的充分必要条件是)(lim0xfxx.)(lim)(lim00都存在且相等与xfxfxxxx2020/3/315（一）四则运算定理)0,0)(()()(lim)4()]()([lim)3()]()([lim)2()]([lim)1(,)(lim,)(limBxgBAxgxfBAxgxfBAxgxfAcxfcBxgAxfxxxxxx则有设注：x表示x的任一种趋向.三、极限的运算法则2020/3/316.))((lim,)(,.)(lim,)(lim000000AtgfxtgttAxfxtgttxxtt则时当且设（二）复合函数的极限定理[注意]不能少！”时“条件00)(,:xtgtt例如：tttgxxxf1sin)(,0,00,1)(0)(lim,1)(lim00tgxftx,0时t0)]([)}({nntgftg：各项均为零1)]([)}({nntgftg：各项均不为零不存在！所以)]([lim0tgfx2020/3/317AxgAxhxfxhxgxfxNxxxxxxx)(lim)(lim)(lim)()()(),(0000则且有（三）夹逼定理:（四）初等函数的极限)()(lim)()(000xfxfxfxxfxx的定义区间内，则属于是初等函数，且若2020/3/318证明利用夹逼定理和极限ennn)11(limexxx)11(lim四、两个重要极限1.1sinlim0xxx2.2020/3/319利用夹逼定理考虑不等式的面积的面积扇形的面积AOCAOBAOB)2,0(tan2121sin21xxxx即[证明]亦即)1()2,0(tansinxxxx2020/3/320)2,0(,)0,2(xx时当)2()0,2(tansinxxxx)3()20(tansinxxxx将（1）式与（2）式结合起来，得到有xxxcos1sin1得）式去除（用时注意到当,3sin,0sin,0xxx2020/3/321)20(1sincosxxxx时因为当20x0sin,0coscosxxxx)20(1sincosxxxx即由夹逼定理得到令,0x1sinlim0xxx2020/3/322定义1：在某个变化过程中,极限为零的函数,称为在此变化过程中的无穷小量（无穷小）。五、无穷小量与无穷大量（一）定义例如：.0sintan,cos1,tan,sin,2时的无穷小量都是xxxxxxx.arctan2,,12时的无穷小量都是xxexx[注意]：无穷小量是极限为零的函数！无穷小量不是绝对值很小的数！2020/3/323定义2：在某个变化过程中,绝对值无限变大的函数,称为在此变化过程中的无穷大量（无穷大）。)(lim.)(,)(,0,0,0000xfxxxfGxfxxGxx记作无穷大时为当则称有时使当)(lim.)(,)(,0,0,0000xfxxxfGxfxxGxx记作正无穷大时为当则称有时使当2020/3/324oxy1o21xy[例]xx1lim0xx1lim0xx1lim0201limxx2020/3/325（二）无穷小与无穷大的性质性质1：.)()()()(),()(,,)()(,都是无穷小和为常数过程中则在此变化都是无穷小和化过程中若在自变量的同一个变xgxfxgxfcxcfxgxf注意：性质1只可以推广到有限个函数)21(lim222nnnnn[例]212)1(1lim2nnnn02020/3/326性质3：.)()(,,)(,)(,是无穷小此变化过程中则在是有界函数是无穷小化过程中若在自变量的某一个变xgxfxgxf性质2：.)()()0()(,,)()(,都是无穷大和常数过程中则在此变化都是无穷大和化过程中若在自变量的同一个变xgxfcxcfxgxf2020/3/327[例][例]?sinlimxxx是有界函数11sin0xx01sinlim0xxx1sin,01limxxxx0)(sin)1(limsinlimxxxxxx?1sinlim0xxx2020/3/3281.（无穷小与无穷大）.)(1,,)(,是无穷小则在这个变化过程中是无穷大化过程中若在自变量的某一个变xfxf.)(),()()(lim时的无穷小是当其中xxxAxfAxfx2.（极限与无穷小）（三）三个重要关系2020/3/3293.无穷大与无界函数无界。反之不一定。则是无穷大化过程中若在自变量的某一个变)(,)(,xfxf问题：两个无穷小量的商是否为无穷小量？xxxxf,sin)(][例