清华大学断裂力学讲义第二章-Griffith断裂理论

第二章：Griffith理论热力学（回顾）Griffith理论能量释放率GG的实验测量—柔度标定Griffith理论在非理想脆性材料中的修正一些讨论热力学热力学第一定律：系统又有往能量极小演化的趋势似乎有矛盾，怎么回事？热力学第零定律：若两个热力学系统均与第三个系统处于热平衡状态，此两个系统也必互相处于热平衡。对于非孤立系统，系统的总能量始终是守恒的。热平衡的标志为系统的各个部分温度相等mechextradUQWWU是状态量，Q、Wmech、Wextra是过程量（路径依赖）热力学第二定律揭示了系统在保持总能量不变情况下的发展方向热能区别于其他能量形式很多能量都最终耗散转化为热能事实上系统演化是一个熵增的过程热力学第二定律：不可能把热量从低温物体传递到高温物体而不产生其他影响。Clausius不可能从单一热源吸收能量，使之完全变为有用功而不产生其他影响。Kelvin-Planck0totalS引入S熵QTdS封闭系统：系统与环境之间只有能量交换，没有物质交换。对于具有定常体积、外参量和熵的封闭系统，系统总的内能将趋向减小，当达到平衡状态时，总的内能达到极小值。能量最小原理：,USV达到平衡状态minUminHminFminG能量最小原理是热力学第二定律的另一种表述。,HSPUPV,FTVUTS,GTPUPVTS内能焓Helmholtz自由能Gibbs自由能Legendre变换Adrien-MarieLegendreLouisLegendre200yearportraitdebacle在热力学里，使用Legendre变换主要的目的是：将一个函数与所含有的一个自变量，转换为一个新函数与所含有的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的差就是新函数。Legendre变换可以用来在各种热力势（thermodynamicpotential）之间作转换。fxgppdfdxLegendre变换**maxxLfxgppxfxpxfx**where0dpxfxdxGriffith理论AlanArnoldGriffith(1893-1963).HewasborninLondonon13June1893.HeearnedhisB.Eng.inmechanicalengineeringin1914,M.Eng.in1917,andD.Eng.in1921,allfromtheUniversityofLiverpool.In1915,heenteredtheRoyalAircraftFactory(laterknownastheRoyalAircraftEstablishment),andadvancedthroughaworkshoptraineeshipfollowedbyotherpositionstobecomeseniorscientificofficerin1920.In1917,togetherwithG.I.Taylor,hepublishedapioneeringpaperontheuseofsoapfilmsinsolvingtorsionproblems,andin1920hepublishedhisfamouspaperonthetheoryofbrittlefracture.Hethenworkedonthedesigntheoryofgasturbines.GriffithwasHeadoftheEngineDepartmentoftheRoyalAircraftEstablishmentin1938andjoinedRollsRoyceasresearchengineerin1939.Heworkedfirstonconceptualdesignofturbojetenginesandlateronverticaltakeoffaircraftdesign.Heretiredin1960butcontinuedworkingasaconsultantforRollsRoyce.Hediedon13October1963.BiographicalMemoirsofFellowsoftheRoyalSociety,Vol.10,(Nov.,1964),pp.117-136理论椭圆孔的应力分布（弹性力学解）21Aab12Aa2ba2forAaaCharlesInglis,1913C.E.Inglis,Stressinaplateduetothepresenceofcracksandsharpcorners,1913.尖锐的裂纹Griffith理论A.A.Griffith,Phenomenaofruptureandflowinsolids,PhilosophicalTransactionsoftheRoyalSocietyofLondon,A221,163-198(1921).EnergybalanceconceptDifferenceinelasticenergybetweenthecrackedsheetandtheuncrackedsheetCrackedsheethasthefreesurfacePlanestrainTotalenergygSurfaceenergy224aBUaBEg22EaBUE4SUaBgHomework（作业题）0dUda2cEagEquilibriumcondition220cdUda?Crackgrowthwillbeunstable!随后深入讨论稳定性！作业题1.阅读Griffith的论文。根据如下两个公式回答Inglis的解与Griffith理论之间的关系，并说明哪个解更复合实际情况，为什么？同时给出在什么情况下两者是基本一致的？max12a2EagInglis的解Griffith的解作业题2.如下图所示，在楔形处插入高h的方形木块，楔形的杨氏模量为E，表面能为g，求解裂纹起裂时的临界条件，即c(E,h,d,g)，并判断裂纹扩展是否稳定，同时用图示说明？（注：考虑单位厚度的能量即可，计算能量时不需考虑力F的做功，仅需将悬臂段考虑成梁，计算其弯曲能即可）封闭系统：系统与环境之间只有能量交换，没有物质交换。对于具有定常体积、外参量和熵的封闭系统，系统总的内能将趋向减小，当达到平衡状态时，总的内能达到极小值。能量最小原理：,USV达到平衡状态minUminHminFminG能量最小原理是热力学第二定律的另一种表述。,HSPUPV,FTVUTS,GTPUPVTS内能焓Helmholtz自由能Gibbs自由能220,0SSUUVV熵不变Legendre变换状态函数Legendre变换Adrien-MarieLegendreLouisLegendre200yearportraitdebacle在热力学里，使用Legendre变换主要的目的是：将一个函数与所含有的一个自变量，转换为一个新函数与所含有的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的差就是新函数。Legendre变换可以用来在各种热力势（thermodynamicpotential）之间作转换。fxgppdfdxLegendre变换**maxxLfxgppxfxpxfx**where0dpxfxdx断裂过程中的能量平衡及转化QdUddUWTeWedUdQdUTTdUQ考察一个断裂过程中的能量平衡外界对系统做的功系统的弹性应变能增加系统新增表面能断裂过程中系统产生的热系统内部热能增加传出系统的热量0QdUT0ddUWeeGBdaWdUd热力学第二定律要求由(*)式得B:试件厚度(*)断裂的驱动力断裂阻力2dBdaggedUWGBda断裂是一个材料生成新表面的过程!阻力：表面能驱动力eGBdaWdUd单位面积表面能，或表面张力G裂纹前进单位面积的机械能量减少,称为能量释放率。IrwinG.R.Onsetoffastcrackpropagationinhighstrengthsteelandaluminumalloys.SagamoreResearchConferenceProceedings,Vol.2,1956,pp.289-305.GeorgeRankineIrwin下面我们首先研究最简单的例子，在断裂过程中没有系统和外界功的交换，即eGBdaWdUd上式给出了在断裂过程中最一般的能量平衡和转换关系以及判断准则。0W一个典型例子：Griffith脆断理论问题：多长的裂纹会自动扩展？eGBdaWdUdgaB4g0W表面能外界对系统做功位移固定边界单位面积表面能如何计算弹性应变能的改变dUe？计算弹性应变能Ue（有限板情形），采用叠加原理为什么可以用叠加原理?上下的叠加哪个正确?为什么?/EL(a)(b)(c)/EL(a)(b)(c)宏微观断裂力学其实只要边界和外载处满足叠加条件即可，为什么？若系统由线弹性和非线弹性部分组成，可否用叠加原理?/EL(a)(b)(c)()()()abc()()()abc()()()abcuuu()()()abcttt()()()abcfff如何检查叠加是否正确？线性系统（线弹性、小变形、小转动）检查以下等式是否都满足假设(b)为应变能零状态,要求解(a)状态能量,先转换成求(c)状态能量，及裂纹张开所需的应变能。对于一般的问题能用叠加来计算能量吗？若不能,为什么这里可以？/EL(a)(b)(c)计算弹性应变能Ue（有限板情形），采用叠加原理对于无限大板（La），参见随后的作业题3/EL(a)(b)(c)计算弹性应变能Ue（有限板情形），采用叠加原理通过计算做功来计算能量差异2u2u状态（a）和（b）之间的差异（让裂纹闭合所做的功）状态（b）和（c）之间的差异/EL(a)(b)(c)计算弹性应变能Ue（有限板情形），采用叠加原理上面是位移边界作业题4.如果采用力边界，如何采用叠加原理计算带有中心裂纹板的能量？仿照课程讲义关于位移边界的情况，讨论有限板和无限大板的情况。gaB42218eUaBedUddada22gEacraEcrg2平面应变平面应力，,1/2EEE最一般形式对于位移固定加载的系统临界裂纹长度临界应力eGBdaWdUd裂纹扩展的临界状态对应于0W考虑Griffith裂纹（如右图）的情况，平面应力，平面应变－1343结合作业题，简单讨论尺度效应最一般形式eGBdaWdUdedUddada对于位移固定加载的系统裂纹扩展的临界状态对应于0W对于位移固定加载的系统，可以用总能量＝表面能＋弹性应变能作为状态函数来确定系统演化的方向，系统朝总能量减小方向演化。裂纹扩展需满足edUddada+0edUda+etotUU0edUdaedUddada位移固定边界下裂纹扩展的临界状态裂纹扩展的驱动力＝裂纹扩展的阻力随裂纹扩展释放的应变能＝生成新表面需要能量A代表面积，G量纲为J/m2(N/m)，代表广义能量力A是裂纹的投影面积，是新增表面积的一半1eeUUGABa