2014届中考数学查漏补缺第一轮基础复习第31讲 与圆有关的计算

第31讲┃与圆有关的计算第31讲┃考点聚焦考点聚焦考点1正多边形和圆正多边形和圆的关系正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆正多边形和圆的有关概念一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的________正多边形外接圆的半径叫做正多边形的________正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的________正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的________中心半径中心角边心距第31讲┃考点聚焦(1)边长：an＝2Rn·sin180°n(2)周长：Pn＝n·an(3)边心距：rn＝Rn·cos180°n(4)面积：Sn＝12an·rn·n(5)内角度数为：（n－2）×180°n(6)外角度数为：360°n正多边形的有关计算(7)中心角度数为：360°n第31讲┃考点聚焦考点2圆的周长与弧长公式圆的周长若圆的半径是R，则圆的周长C＝________弧长公式若一条弧所对的圆心角是n°，半径是R，则弧长l＝________.在应用公式时，n和180不再写单位2πRnπR180考点3扇形的面积公式第31讲┃考点聚焦扇形面积(1)S扇形＝______(n是圆心角度数，R是半径)；(2)S扇形＝______(l是弧长，R是半径)弓形面积S弓形＝S扇形±S△nπR236012lR考点4圆锥的侧面积与全面积第31讲┃考点聚焦图形第31讲┃考点聚焦圆锥简介(1)h是圆锥的高；(2)a是圆锥的母线，其长为侧面展开后所得扇形的________；(3)r是底面半径；(4)圆锥的侧面展开图是半径等于________长，弧长等于圆锥底面________的扇形圆锥的侧面积S侧＝________圆锥的全面积S全＝S侧＋S底＝πra＋πr2半径母线周长πra第31讲┃归类示例归类示例►类型之一正多边形和圆命题角度：1.正多边形和圆有关的概念；2.正多边形的有关计算．A例1[2013·安徽]为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图31－1所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为()A．2a2B．3a2C．4a2D．5a2第31讲┃归类示例[解析]∵某小区将原来正方形地砖更换为如题图所示的正八边形植草砖，正八边形与其内部小正方形的边长都为a，∴AB＝a，且∠CAB＝∠CBA＝45°，∴sin45°＝BCAB＝BCa＝22，∴AC＝BC＝22a，∴S△ABC＝12×22a×22a＝a24.∵正八边形周围是四个全等三角形，面积和为：a24×4＝a2，正八边形中间是边长为a的正方形，∴阴影部分的面积为：a2＋a2＝2a2，故选A.圆的内接正n边形（n≥3）的每条边所对的圆心角都相等，为第31讲┃归类示例（n－2）·180°n►类型之二计算弧长命题角度：1．已知圆心角和半径求弧长；2．利用转化思想求弧长．第31讲┃归类示例例2[2013·广安]如图31－2，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC＝√3，∠ACB＝90°，∠A＝30°，若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)．图31－2(4＋3)π第31讲┃归类示例[解析]根据含30°角的直角三角形三边的关系得到BC＝1，AB＝2BC＝2，∠ABC＝60°.点A先是以B点为旋转中心，顺时针旋转120°到A1，再以点C1为旋转中心，顺时针旋转90°到A2，然后根据弧长公式计算两段弧长，从而得到点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长．第31讲┃归类示例∵Rt△ABC中，AC＝3，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴BC＝1，AB＝2BC＝2，∠ABC＝60°.∵Rt△ABC在直线l上无滑动地翻转，且点A第3次落在直线l上时，有3个AA1的长，2个A1A2的长，∴点A经过的路线长＝120π×2180×3＋90π×3180×2＝(4＋3)π.►类型之三计算扇形面积例3[2013·泰州]如图31－3，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上．将△ABC向下平移4个单位、再向右平移3个单位得到△A1B1C1，然后将△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B2C2.(1)在网格中画出△A1B1C1和△A1B2C2；(2)计算线段AC在变换到A1C2的过程中扫过区域的面积(重叠部分不重复计算).第31讲┃归类示例命题角度：1.已知扇形的半径和圆心角，求扇形的面积；2.已知扇形的弧长和半径，求扇形的面积．第31讲┃归类示例图31－3[解析](1)根据图形平移及旋转的性质画出△A1B1C1及△A1B2C2即可；(2)将△ABC向下平移4个单位，AC所扫过的面积是以4为底，以2为高的平行四边形的面积；再向右平移3个单位，AC所扫过的面积是从3为底，以2为高的平行四边形的面积；当△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°到△A1B2C2时，A1C1所扫过的面积是以A1为圆心，以2为半径，圆心角为90°的扇形的面积，再减去重叠部分的面积．第31讲┃归类示例解：(1)如图；(2)由平移，得A1C1∥B1E∥AC，A1C1＝B1E＝AC，∴四边形ACEB1、四边形A1C1EB1都是平行四边形，∴线段AC扫过区域的面积为S▱ACEB1＋S▱A1C1EB1＋S扇形C2A1B1＝4×2＋3×2＋45×π×（22）2360＝14＋π.第31讲┃归类示例变式题[2013·徐州]如图31－4，菱形ABCD的边长为2cm，∠A＝60°，BD是以点A为圆心、AB长为半径的弧，CD是以点B为圆心、BC长为半径的弧，则阴影部分的面积为________cm2.图31－43第31讲┃归类示例[解析]连接BD.在菱形ABCD中，∵∠C＝∠A＝60°，CB＝CD＝2cm，∴△BCD是等边三角形．由题意可知，线段CD和CD组成的弓形与线段BD与BD组成的弓形面积相等，所以阴影部分的面积就等于等边三角形BCD的面积．∴S阴影＝S△BCD＝12×3×2＝3(cm2)．故填3.求不规则图形的面积，常转化为易解决问题的基本图形，然后求出各图形的面积，通过面积的和差求出结果．第31讲┃归类示例►类型之四和圆锥的侧面展开图有关的问题命题角度：1.圆锥的母线长、底面半径等计算；2.圆锥的侧面展开图的相关计算．第31讲┃归类示例例4[2013·无锡]已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是()A．20cm2B．20πcm2C．15cm2D．15πcm2D[解析]∵圆锥的侧面积S＝πra,r＝3cm，a＝5cm，∴S＝15π(cm2)，故选D.►类型之五用化归思想解决生活中的实际问题命题角度：1.用化归思想解决生活中的实际问题；2.综合利用所学知识解决实际问题．第31讲┃归类示例例5[2013·山西]如图31－6是某公园的一角，∠AOB＝90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区(阴影部分)的面积是()图31－6C第31讲┃归类示例[解析]先根据半径OA长是6米，C是OA的中点可知OC＝12OA＝3，再在Rt△OCD中，利用勾股定理求出CD的长，根据锐角三角函数的定义求出∠DOC的度数，由S阴影＝S扇形AOD－S△DOC即可得出结论．第31讲┃归类示例∵弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，∴OC＝12OA＝12×6＝3(米)，∵∠AOB＝90°，CD∥OB，∴CD⊥OA.在Rt△OCD中，∵OD＝6米，OC＝3米，∴CD＝OD2－OC2＝62－32＝33(米)．∵sin∠DOC＝CDOD＝336＝32，∴∠DOC＝60°.∴S阴影＝S扇形AOD－S△DOC＝60×π×62360－12×3×33＝6π－923(米2)．第31讲┃回归教材用“转化思想”求图形的面积回归教材教材母题江苏科技版九上P146例2如图31－6，正三角形ABC边长为a，分别以A、B、C为圆心，0.5a的半径的圆两两相切于点O1、O2、O3，求O1O2、O2O3、O3O1围成的图形面积S(图中阴影部分)．图31－6第31讲┃回归教材解：S＝S△ABC－3S扇形AO1O3.∵S△ABC＝12a·32a＝34a2，S扇形AO1O3＝60πa22360＝πa224，∴S＝34a2－3×πa224＝23－π8a2.第31讲┃回归教材[点析]不规则图形的面积通常是转化成规则图形的面积的和差关系求解．[2013·绵阳]如图31－7，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留两位有效数字，参考数据：π≈3.14)第31讲┃回归教材图31－7中考变式7[解析]阴影部分的面积＝正方形的面积－4π2－1＝4－2π＋4≈8－6.28≈1.7.