第二讲 交变电场下电介质的损耗

交变电场中电介质的损耗由于具有慢极化的电介质在交变电场作用下所表现出的介质特性(极化与损耗)与电场频率有关，故引入复介电常数ε*的概念，并在此基础上导出以松弛极化为典型例征的德拜松弛极化、损耗理论。重点在于联系松弛极化机构，讨论ε’、ε’’及tgδ与频率的关系。在讨论中，需要计及电场强度E与电位移D、电流I(或电流密度j)与电压U(或电场强度E)之间的相位关系，从而引出了有功功率损耗的概念。研究在交变电场作用下电介质的特性，需要引入复介电常数，并进而引出tgδ2.l复介电常数和复折射率1复介电常数考虑一个平行平板式静电容量为C0＝εoS／d的真空电容器。如果在该电容器上加上角频率为ω＝2πf的交流电压：2-1则在电极上出现电荷Q＝CoV，并且与外加电压同相位。在外电路上的电流为电荷Q对时间的导数：2-2由此可见，电路中电流与外加电压差90o相位，如图2-1所示。图2-1理想电容器电流与电压的关系下面接着分析电极间不是真空而是充满相对介电常数为εr的电介质，显然，此时的电容量具有新的值C＝εrC0，相应的电流变为2-3它比上述的电流要大εr倍。但是式(2-3)仅适用于理想的电介质，即假设所填充的电介质是理想绝缘的非极性电介质，此时，电流与电压仍然相差90o相位。如果所填充的电介质是弱电导性的，或是一种极性的，或者兼有这两种特性的材料，那么，电容器就不再是理想的电容器，于是，电流对电压的相位就不会恰好相差90o。因为此时增加了一个与电压具有相同相位的电导分量GV，故总的电流为两部分电流的和：2-4此时电流与电压的关系如图2-2所示图2-2非理想电容器电流与电压的关系但由于G＝γS/d及C＝εrεoS/d(s-极板面积，d-介质厚度)当代入式(2-4)后，即可求出电流密度j为：2-5此式中的第一项iωεrεoE实际上就是位移电流密度jd，而其第二项γE亦即传导电流密度。式(2-5)可写成2-6根据式(2-6)，可以由j＝γ*E引出复电导率(complexconductivity)γ*：2-7或者引入由j＝iωε*E定义的复介电常数(complexdielectricconstant)ε*：2-8由式(2—7)和式(2—8)可以看出，在交变电场中电介质的特性参数为ε*和γ*，它们都与电场频率有关，这一点与电介质处于恒定电场中的静介电常数和稳态电导率有着本质上的差别。为了便于考察在交变电场作用下电解质的性质，我们就引入复介电常数，并且通常将复介电常数ε*分成实部与虚部，且引入两个实数ε’和ε’’，于是ε*可表示成2-9其中，第一项(包含ε’)和第二项(包含ε’’)分别为复介电常数的实部和虚部。当引入复相对介电常数(complexrelativedielectricconstant)ε*r时，相应地有2-102-11从相位关系上分析式(2—9)或式(2—l0)可知，ε’’或ε’’r对应于损耗项，ε’或ε’r对应于电容项。再由图2—2看出，由于存在与电压同相位的损耗电流分量(I=GV)，使合成电流I与电容电流分量(Ic＝iωCV)之间形成一个δ角，此角称为介质损耗角(dielectriclossangle)，显然，该角的正切值tgδ可表示为或表示为2-12常把ε’’称为损耗因子(dielectriclossfactor)，把ε’’r称为相对损耗因子(relativedielectriclossfactor)；ε’和ε’r通常意义的介电常数和相对介电常数，但它们都依赖于频率，只有当ω→0，ε’才是静态介电常数。由于j＝iωε*E，当把式(2—9)代入后，即得到下列表达式2-13式中，含ε’’的项与电场强度同相位，含ε’的项与电场强度差900相位。由式(2-l3)并联系式(2-7)后可知：2-142电磁波在介质中的传播及复折射率电磁波在介质中的传播，是以麦克斯韦方程为基础的：消去H，得出电磁波的传播方程：2-152-16在笛卡儿坐标系中，电介质中沿着x方向传播的平面波的波动方程可表示为：式中电场强度矢量E和磁场强度矢量H在对x轴垂直的y—z平面内互相正交。方程(2—16)的通解是：2-17将式(2—17)代入式(2—l6)得，2-18式中，σ为传播常数，α为衰减常数，β为相位常数。将式(2—18)代入式(2—17)便得到，2-19或引入f＝ω/2π，式(2—19)可换写成，2-20可以看出，电磁波在介质中的传播具有如下一些特性：(1)当x一定时，电磁场强度对时间(t)呈周期性变化，其周期T为(f为频率)(2)如考虑某一瞬间(例如t＝t1)，则电磁场的强度在X方向呈周期性变化，其波长为(3)在(ft-βx/2π)＝常数时，解出x对t的微分，便可得到电磁波在x方向的前进速度，亦就是电磁波的传播速度:(4)电磁场的绝对值以e-αx的比例衰减。这里的α表示吸收。我们注意到以方程(2—16)表示的电磁波，在以ε*和μ*表征的介质材料中的传播，具有一个复速度v*＝(ε*μ*)-1/2。电磁波在以εo和μo表征的真空中的传播速度则为C＝(εoμo)-1/2。折射率(refractiveindex)是电磁波在真空中的传播速度vo和在介质中传播速度v*之比：2-21式中n与k分别为复折射率的实部与虚部中的两个实数。对于非磁性材料(一般电介质均为非磁性材料)，μ*＝μ0，则式(2—21)可简化为，2-22式中ε*r为复相对介电常数，根据上一节所述，ε*r＝ε’r–ε’’r。这个复数关系式(式3—22)就是著名的麦克斯韦关系式。由式(2—22)和式(2—21)可以看出，麦克斯韦关系式与下面的方程组是等价的：2-23由此，可解出n和k：2-24因为根据上一节定义，有tgδ=ε’’r/ε’r，即ε’’r＝ε’rtgδ，将此关系代入式(2-24)便得到：2-262-25在没有损耗的电介质中，则有.即：相对介电常数等于折射率的平方。但在交变电场中的电介质，由于复相对介电常数εr’与频率有关，故折射率n亦随频率变化，折射率随频率变化的现象，被称为“色散现象”，相应地，交流电场中电介质介电常数随频率变化的现象，在介质理论中常称为“弥散现象”或简称“弥散”(dispersion)，这种现象的本质，就在于电极化的建立需要一个过程，换句话说，由于极化的惯性或滞后性，在不同频率电场中，极化可能来不及响应或完全来不及响应电场的变化。2.2介质损耗研究介质损耗问题，实质上就是研究能量转换问题。根据介质理论中关于介质损耗的定义，它是指电介质在单位时间内每单位体积中，将电能转化为热能(以发热形式)而消耗的能量。电介质在直流电场中，单位时间内每单位体积所消耗的能量为w＝γvE2。而静介电常数为εs的电介质在静电场中所储存的静电能密度常用下面的方程来表示：由此可见，无论是储存的能量密度还是消耗的能量密度，其大小。均与直流静电场的电介质特性参数有关，因此，不必考虑与电场变化频率的关系。然而，在交变电场中，必需引入与频率有关的介质特性参数——复电导率与复介电常数。根据前一节所述，复电导率与复介电常数的引入，是由于在交变电场中，各相关矢量(I、j、V、E)可能出现相位差的关系，因此，在讨论交变电场的介质损耗问题，必然应从研究电介质的动态行为入手。考虑到介质极化的滞后性，最一般的情况是D与E在时间上有一个明显的相位差。此时，D＝εE的关系式不再适用。此外，对正弦交变电场而言，电容电流超前于电压的相角小于π/2，电容器的电容量也不能再用C＝εrC0的简单公式。设在平行平板介质电容器上，加上正弦交变电场：2-28根据介质损耗的定义，现在计算单位时间内每单位体积中所损失的能量。这部分能量以w表示，那么2-29式中T为周期。由ω＝2πf＝2π/T，可得到1/T＝ω/2π。于是2-30式中，j为电流密度，其大小与电容器极板上真实电荷(turecharge)密度σ有下列关系：2-31设D与E在时间上相差一个δ相位角，那么，在电场以式(2-28)变化时，电位移D应有如下形式：2-322-33或者式中D0cosδ应与E具有相同相位；而D0sinδ应与E具有π／2相位差。由式(2-31)可得2-34第一部分与电场E的相位差是π／2，根据上一节的讨论，这部分不会引起介质中的能量损耗；但是，第二部分是与电场E同相位的，因此，我们就可将这部分代入式(2—30)中，来计算每秒钟介质单位体积中的能量损耗：即2-35sinδ＝cosφ，因此，常称sinδ或cosφ为功率因数。其中，δ为介质损耗角，φ为功率因数角。特殊地，若D与E之间在时间上没有可观察的相位差，即δ＝0，于是由式(2-35)可见，w=0这一结果说明，极化强度与交变电场同相位，极化过程不存在滞后现象，亦就是极化完全来得及跟随电场变化，此时不存在交流电场下的由极化引起的损耗。现在引用复介电常数ε*来表示介质在正弦交变电场中的介质损耗。若D与E之间的相位相差δ角，D与E的关系只能表达为：2-36或2-37显然，由式(2-9)可见，复介电常数的实部与虚部分别为2-38由式(2-31)计及式(2-9)，电流密度j可以写成：2-39电流密度的第一个分量与电场相差90o相位，为无功分量；其第二个分量与电场同相位，为损耗分量，或有功分量。σ=ωε’’可视为等效的介质电导率。将式(2-38)关于ε’’的表达式代入式(2-35)，即可得到交流电场下介质每秒钟每单位体积内所耗散的能量：2-40由此可知，在交流电场振幅一定的情形下，所消耗的能量与ε”成正比，这也就是将ε”称为损耗因子的原因。应当指出的是，在一般的电介质物理教科书中，或在实际工程应用中，介质损耗通常都是用介质损耗角的正切(tangentofdielectriclossangle)tgδ来表示的，因此研究介质损耗的重点,就自然地集中于能表征电介质在交变电场中损耗特性的参数tgδ上，并且我们注意到用tgδ值来研究电介质的损耗，还具有如下两个明显的优点，即：(1)tgδ值可以和介电常数ε同时直接测量得到，且一般只需要采用通用的电桥法和谐振法测量。(2)tgδ值与测量试样大小与形状均无关，为电介质自身属性，并且在许多情形下，tgδ值比ε值对介质特性的改变敏感得多。在D与E之间形成相位差而引起的介质损耗的机构，主要有以下三种：1．电介质不是理想绝缘体，不可避免地存在漏电导，要产生漏导损耗。如前所述，由这种损耗机构决定的tgδ值为tgδ＝G/ωC。考虑到平行平板电容器的情形，介质的漏电导G＝γs/d，电容量C＝8.85×10-12εrs/d，而角频率ω＝2πf，于是有2-412．电介质中发生的慢极化(例如,与热运动密切有关的热离子极化及热转向极化等)，由于其建立时间较长(约l0-4~10-9秒)，当电场变化频率超过一定限度时，这些慢极化来不及建立而产生极化滞后现象，亦即介质的极化强度P滞后于电场强度E，此时将消耗一部分能量，形成介质损耗。这部分由慢极化产生的介质损耗是电介质在交变电场中使用时产生的介质损耗的主要部分，且有着自身的特殊规律。如式(2-41)所示，由漏导引起的介质损耗tgδ与频率f成反比关系，即：随电场频率f的增高，tgδ成倒数关系下降，见图2-3。按图示变化规律，电介质不会出现高频下发热严重的问题。电导在电介质中引起的介质损耗w（即图中P）和tgδ与电场频率的关系图2-4rtg但是，事实上，当电场频率增高时，电介质的tgδ并非经常满足这种关系，而可能在一定频率下，tgδ非但不减小反而增大，且可能出现最大值，这种反常现象常称为“反常分散”现象，见图2-4。为了便于全面比较，图中同时画出了P＝f(ω)曲线。“反常分散”现象的出现，正是由于某些慢极化所致。慢极化引起的介质损耗w（即图中P）和tgδ与电场频率的关系图2-43．原子、离子或电子的振动所产生的共振效应。这种效应产生在红外到紫外的光频范围内。按照古典场论的观点，光是一种电磁波，它在介质中传播的相速及介质的折射率n均依赖于频率．n随频率而变化的现象，正如前面所述即为色散现象，根据电磁场理论，可以证明色散的存在同时将伴随有能量的耗散，色散总是同时存在