【全国百强校】江苏省华罗庚中学、江都中学和仪征中学2018-2019学年高二上学期12月联考数学试题

试卷第1页，总5页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前【全国百强校】江苏省华罗庚中学、江都中学和仪征中学2018-2019学年高二上学期12月联考数学试题试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题)请点击修改第I卷的文字说明试卷第2页，总5页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分一、填空题1．命题“∀𝑥∈[0,+∞)，𝑥3+𝑥≥0”的否定是______.2．平行于直线2𝑥+𝑦+1=0且与圆𝑥2+𝑦2=5相切的直线的方程是________.3．若抛物线22(0)ypxp的准线经过双曲线221xy的一个焦点，则p．4．若“∀𝑥∈[0,𝜋4],tan𝑥≤𝑚”是真命题，则实数𝑚的最小值为．5．设𝑛∈𝑁∗，一元二次方程𝑥2−4𝑥+𝑛=0有正整数根的充要条件是𝑛=________.6．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是_________.7．执行右侧的程序框图，若输入3n，则输出T.试卷第3页，总5页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………8．已知直线𝑙：𝑥+𝑎𝑦−1=0(𝑎∈𝑅)是圆𝐶：𝑥2+𝑦2−4𝑥−2𝑦+1=0的对称轴，过点𝐴(−4,𝑎)作圆𝐶的一条切线，切点为𝐵，则|𝐴𝐵|＝_________.9．已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0)的一条渐近线平行于直线𝑙:𝑦=2𝑥+10双曲线的一个焦点在直线𝑙上，则双曲线的方程为________.10．设𝑃,𝑄分别为圆𝑥2+(𝑦−6)2=2和椭圆𝑥210+𝑦2=1上的点，则𝑃,𝑄两点间的最大距离是_________.11．若曲线lnyxxP上点处的切线平行于直线210,xyP则点的坐标是_______.12．设双曲线的左准线与两条渐近线交于𝐴、𝐵两点，左焦点在以𝐴𝐵为直径的圆内,则该双曲线的离心率的取值范围为________.13．已知定义[1,4]在函数𝑓(𝑥)的导函数𝑓′(𝑥)，满足𝑥𝑓′(𝑥)+2𝑓(𝑥)0，且𝑓(32)=23，则不等式2𝑓(𝑥)−3𝑥20的解集为______.14．已知函数𝑓(𝑥)={−3𝑥2+6𝑥,𝑥≥0,−𝑥3−3𝑥2+4,𝑥0,设A={𝑥∈𝑍｜𝑥(𝑓(𝑥)−𝑎)≥0}，若𝐴中有且仅有4个元素，则满足条件的整数𝑎的个数为________.评卷人得分二、解答题试卷第4页，总5页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………15．设𝑝：函数𝑓(𝑥)=13𝑥3+12(𝑚−1)𝑥2+𝑥+1在𝑅是增函数；𝑞：方程𝑥2𝑚−1−𝑦2𝑚+2=1表示焦点在𝑥轴上的双曲线．(1)若𝑝为真，求实数𝑚的取值范围；(2)若“𝑝且𝑞”为假命题，“𝑝或𝑞”为真命题，求实数𝑚的取值范围．16．已知曲线𝐶上任意一点𝑀(𝑥,𝑦)到直线𝑙:𝑥=4的距离是它到点𝑁(1,0)的距离的2倍.(1)求曲线𝐶的方程；(2)过点𝑃(0,3)的直线𝑚与曲线𝐶交于𝐴,𝐵两点.若𝐴是𝑃𝐵的中点,求直线𝑚的斜率.17．据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为𝑘(𝑘0)．现已知相距18𝑘𝑚的𝐴,𝐵两家化工厂（污染源）的污染强度分别为𝑎,𝑏，它们连线上任意一点𝐶处（异于𝐴,𝐵两点）的污染指数𝑦等于两化工厂对该处的污染指数之和．设𝐴𝐶=𝑥(𝑘𝑚)．（1）试将𝑦表示为𝑥的函数；（2）若𝑎=1，且𝑥=6时，𝑦取得最小值，试求𝑏的值．18．（14分）（2011•福建）已知a，b为常数，且a≠0，函数f（x）=﹣ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2.71828…是自然对数的底数）．（I）求实数b的值；（II）求函数f（x）的单调区间；（III）当a=1时，是否同时存在实数m和M（m＜M），使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=f（x）（x∈[，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由．19．已知椭圆𝑥22+𝑦24=1两焦点分别为𝐹1、𝐹2,𝑃是椭圆在第一象限弧上一点，并满足𝑃𝐹1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑·𝑃𝐹2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=1，过P作倾斜角互补的两条直线𝑃𝐴,𝑃𝐵分别交椭圆于𝐴,𝐵两点．(1)求𝑃点坐标；(2)求证：直线𝐴𝐵的斜率为定值；试卷第5页，总5页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………(3)求𝛥𝑃𝐴𝐵面积的最大值．20．已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2−8𝑥+𝑎ln𝑥(𝑎∈𝑅)．(1)当𝑥=1时，𝑓(𝑥)取得极值，求𝑎的值．(2)当函数𝑓(𝑥)有两个极值点𝑥1,𝑥2(𝑥1𝑥2)，且𝑥1≠1时，总有𝑎ln𝑥11−𝑥1(𝑚−2)(4+3𝑥1−𝑥12)成立，求m的取值范围．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第1页，总13页参考答案1．∃𝑥0∈[0,+∞).𝑥03+𝑥00【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出结论.【详解】原命题是全称命题，故其否定是特称命题，所以原命题的否定是“∃𝑥0∈[0,+∞).𝑥03+𝑥00”.【点睛】本小题主要考查全称命题的否定是特称命题，除了形式上的否定外，还要注意否定结论，属于基础题.2．2𝑥+𝑦+5=0或2𝑥+𝑦−5=0【解析】【分析】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可得到直线方程【详解】设所求直线为2𝑥+𝑦+𝑏=0则|𝑏|√5=√5，解得𝑏=±5则所求直线为2𝑥+𝑦+5=0或2𝑥+𝑦−5=0故答案为2𝑥+𝑦+5=0或2𝑥+𝑦−5=0【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系以及直线与圆的位置关系，要注意本题中的半径是√5，属于基础题。3．22【解析】试题分析：由题设可得双曲线的一个焦点是,故,故应填22.考点：抛物线和双曲线的几何性质及运用．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第2页，总13页4．【解析】试题分析：，，当时，的最大值是1，故，即实数的最小值是1．考点：全称命题的应用5．3或4【解析】【分析】首先判别式要为非负数，结合𝑛是正整数，求得𝑛的所有可能取值，然后求得相应的实数根，从而求得所求𝑛的值.【详解】由于一元二次方程由实数根，故𝛥=16−4𝑛≥0，解得1≤𝑛≤4.当𝑛=1时，方程为𝑥2−4𝑥+1=0，两根为2±√3不合题意.当𝑛=2时，方程为𝑥2−4𝑥+2=0，两根为2±√2不合题意.当𝑛=3时，方程为𝑥2−4𝑥+3=0，两根为1,3，合题意.当𝑛=4时，方程为𝑥2−4𝑥+4=0，根为2，合题意.故填3或4.【点睛】本小题考查一元二次方程根的分布，考查一元二次方程求根公式以及判别式，属于基础题.6．140【解析】【分析】先计算出22.5∼30的频率，然后用200乘以这个频率得出所求的人数.【详解】由图象可知，22.5∼30的频率之和为2.5×(0.16+0.08+0.04)=0.7，故所求人数为200×0.7=140人.【点睛】本小题主要考查利用频率分布直方图求频率以及频数，考查阅读和理解能力，属于基础题.7．20【解析】本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第3页，总13页试题分析：输入n3，在程序执行过程中，,,iST的值依次为0,0,0iST；1,1,iS1T；2,3,4iST；3,6,10iST；4,10,20iST，程序结束．输出20T．考点：程序框图．8．6【解析】试题分析：利用配方法求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．解：由圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0得，（x﹣2）2+（y﹣1）2=4，所以C（2，1）为圆心、半径为2，由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），故有2+a﹣1=0，得a=﹣1，则点A（﹣4，﹣1），即|AC|==，所以切线的长|AB|===6，故答案为：6．考点：直线与圆的位置关系．9．𝑥25−𝑦220=1【解析】试题分析：由双曲线的渐近线方程𝑦=±𝑏𝑎𝑥可知𝑏=2𝑎；又由题意𝑐=5，那么𝑎=√5，双曲线方程为𝑥25−𝑦220=1.考点：双曲线的渐近线10．6√2【解析】【分析】求得圆心坐标𝐶和半径𝑟，设出椭圆上任意一点的坐标𝑄，利用|𝑄𝐶|+𝑟，表示椭圆上的点到圆上点的最大距离的表达式，再利用三角函数与二次函数结合，求得这个表达式的最大值.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第4页，总13页【详解】依题意可知圆心𝐶(0,6)，半径是𝑟=√2.设椭圆上任意一点的坐标为𝑄(√10cos𝜃,sin𝜃)，此时𝑄点到圆上的点的最大距离为|𝑄𝐶|+𝑟，即√(√10cos𝜃)2+(sin𝜃−6)2+√2，化简得√−9sin2𝜃−12sin𝜃+46+√2，对称轴sin𝜃=−−122×(−9)=−23时，取得最大值为√−9×(−23)2−12×(−23)+46+√2=5√2+√2=6√2.【点睛】本小题主要考查圆和椭圆的位置关系，考查圆外一点到圆上的点的最大距离的表示，考查三角换元的思想方法以及化归与转化的数学思想方法.圆的标准方程给定，那么圆心和半径就确定下来.圆外一点和圆上点的距离的最大值和最小值，转化为圆外的点到圆心的距离加上半径和减去半径来表示.11．,ee【解析】试题分析：因为ln1yx，设切点,ab，则ln12,,kaae又ln,baae,.Pee考点：利用导