【全国百强校】福建省厦门外国语学校高中数学全国卷数列复习建议(二) (共47张PPT)

全国卷数列复习建议（下）名师简介肖骁，厦门外国语学校数学教师，曾获福建省杰出人民教师，国务院特殊津贴，福建省首届名师，福建省特级教师，福建省优秀教师等称号,厦门市拔尖人才，厦门市杰出教师，中国数学奥林匹克高级教练，中国特色教育优秀教师。四、数列运算的基本思想方法倒序相加法，叠加法，连乘法，列项法，待定系数法，错项相加法，放缩法，数学归纳法等。（一）叠加法和错项相加法111212nnnnnnnaafnaanaa,,nnnnabab其中数列为等差数列数列为等比数列11nnafnanfnn如223naaana1+12121=0++0nnnfxxfxfxnaafffffnnna函数对任意R，都有数列满足求证：数列为等差数列。1112=01+++01111==244nnnnnaffffffnnnnaaa（二）倒序相加法（三）拆项法1112231111111111111ninnnnnaadaaaaaadaa11111ninii1!1!!niiinn111!1!niiin2221111,,,12222.4nn数列，的例前n项和。1111,,,12123.12n数列，例1的前n项和。21nann22nann1212ln212213ninnNi（天津）例11112222221ln21ln212121222ln1212121222+=2ln3212321112ln3232112ln31221nniinniinniiniiniiifiiiffiiiiin2211ln1,ln122xxxxxx即例422111322ln23ln3ln22nnnnnn2n21211ln111xxxxx11111111111112ln23ln3ln32435211nnnnnn111121nn223222nnnn211ln01,ln222xxxxxxx1ln2ln3ln3414nnnnNn证明：111242nnn2ln111ln1222xxxxxx例5131,,0nnnmaaa当时12211111,23112(1)111nnnnnnnnnaccaamaaama设01,1mmnnnnncaaac21)1(21)1(2121)2(21212121,21111122111nccccacnnnnn)2(211211)211(212121212132321nccccnnnn12111111112nnaaa（三）分类讨论思想1111.1,nnnanaSSnnN111111nnnnaqaSaqqq2.已知为等比数列，1233.||||||||naaaa4.n为奇数和偶数讨论21.,nnSAnBnCa是否为等差数列？2.2,nnnSma是否为等比数列？221=11+C2nnnaSSAnBnCAnBnAnAB111222nnnnnnaSSmm例6)121121()1(4)1(111nnaanbnnnnn12,11naan)121121()121321()7151()5131()311(nnnnTnn为偶数时，当1221211nnnTn)121121()121321()7151()5131()311(nnnnTnn为奇数时，当12221211nnnTn等差数列的前项和为，已知，为整数，且①求的通项公式；②求的值{}nannS110a4nSS||||||||321naaaa2ana例71111354(1)200,2270nnnnnnnnnaaannNaaSananSaan在数列中，若求通项（）设为的前项和，证明：当时，存在自然数，使得和均取得最小值，并求出此时的值。例81122+1135420(1),335131nnnnnnaanaaaaana13432031;22368313122nnnnanna当n是奇数时，当n是偶数时，212231min123341211min11+1327418243+310527++4417192162721624318=354nnnnnnnnnnnaaaaaannnaaaaaaannanaaanaan（2）当n是偶数时，S当时，S当n是奇数时，S当或时，S当时,当时，S和都取最小值。LL11,1,.42,nnnnnaaSaa已知数列的前n项和为S求数列的例9通项公式.112112121211421.1,,4424222nnnnnnnnnnnnnnnSaaSSaaSaaaaaaaa法1212112.1,4222nnnnnnnaaaaaaaa法（四）退项相减法1+1+1+11111nnnnnnnnnaSSSSSSSS2015（Ⅱ）111(06..22){}4122,1,2,3,,333();23(),1,2,3,,:.2nnnnnnnniinanSanaaTnTS年理设数列的前项和求首项与通1项设证明例0.2,3223134)(111111aaSaⅠ得由解：得由①naSnnn3,2,1,32231341得由②naSnnn4,3,2,322313411)2312(31)(34111nnnnnnnaaSSa①②得因此整理得),2(4211nnnnaa,4,41}2{1的等比数列公比为是首项为aannnnnnnnaa24,4421得代入将①aⅡnnn24)()12)(12(3232231)24(3411nnnnnnS)121121(23)12)(12(223211nnnnnnnnST11211(21)(21)2121nnnnn灵活运用23)121121(23)121121(23111iniiininT（五）放缩法2111(1)(1)nnnnn11112nnnnn11212nnln1nn1nen*1112311,ln(1)22nnnnnaaaaanNaaaa已知数列中，已知求.证：例111111231112311ln(1)111ln(1)22211111()()()()222221()2nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa211231111()()22211[1()]1222()21212nnnnaaaa111(07..21).{}(0,1),3,2,3,4,.2(1){};(2)32,,.nnnnnnnnnaaaanabaabbn年理设数列的首项求的通项公式设证明其中例1为正整数2解：)1(211:,4,3,2,23)1(11nnnnaanaa得由1111)21)(1(1,)21)(1(1nnnnaaaa即,21,1}1{1的等比数列公比为是首项为而aan(Ⅱ)证明1（“作差法”）,0)21)(1(1,10111nnaaa,0nb)23()23(2121221nnnnnnaaaabb.23na且)23()2323()23(22nnnnaaaa.0)1(492nnaa,1nnbb证明2（均值不等式法）:,1,230)1(nnaa知由:23231得及由nnnnnaaaab22)23(]2)23([)23(,1nnnnnnaaaaaa时nnnnnnnnaaaaaaaa23)23(,)23()23(22即nnnnnaaaab2323111,1nnbb(Ⅰ)证明:xxxxxfln)1(ln1)(/,0ln,)1,0(xx时当.)1,0()(上是增函数在区间xf1111111(08..22)()ln,{}01,().():()(0,1);():1;()(,1),.4.ln.:nnnnnkfxxxxaaafafxaaabbakabab年全国设函数数列满足证明函数在区间是增函数证明设整数证明例1(Ⅱ)证明（数学归纳法）:（i）当n=1时,0a11,a1lna10,a2=f(a1)=a1-a1lna1a1,由函数f(x)在区间(0,1)上是增函数,且f(x)在x=1处连续,则函数f(x)在区间(0,1]上是增函数,a2=f(a1)=a1-a1lna1a1(1-lna1),即a1a21.（ⅱ）假设当x=k,(k∈N*)时,akak+1成立,即0a1≤akak+11那么当n=k+1时，由f(x)在区间(0,1]是增函数,0a1≤akak+11得ak+2=ak+1-ak+1lnak+1ak+1ak+1ak+21,也就是说当n=k+1时,anan+11也成立.根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n,anan+11恒成立.ak+2=ak+1-ak+1lnak+1ak+1(1-lnak+1)1(Ⅲ)证明:可得由)(.ln)(1nnafaxxxxfkkkkkkkkkaaaaaaaaalnlnln1111否则知则由满足若,:)(,.11baaⅡbakiiki存在某bak1.0lnlnln11baaaaaiii,0lnln,)(10),(.21bakibaakibaiii知则由若,0)ln(ln11bakaakiiibababakaak)(|ln|11111于是kiiiaaa11lnbabakln11而已知211234112(02..22){}1,1,2,3,,(1)214.,,,,;(2)3,1,2,1111:.1112nnnnnnnaaananaaaaaananaaa年全国理设数列满足当时求并由此猜想出的一个通项公式当时证明对所有有证明例解:(1)由a1=2,an