线性代数 ch03_复旦大学(周勇)课件

第三章向量组的线性相关性§1n维向量定义1.1：n个有顺序的数a1,a2,…,an所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数ai称为第i个分量（或坐标）．分量全为实数的向量称为实向量．分量全为复数的向量称为复向量．行向量，列向量，，当时，分量全是零的向量，称为零向量，维数不同的零向量不相等。一、n维向量的概念12(,,,)naaa12naaa12(,,,)naaa12(,,,)nbbb(1,2,)iiabin定义1.2：设，，那么向量称为两向量的和，记为．向量的差，12(,,,)naaa12(,,,)nbbb1122(,,,)nnababab1122()(,,,)nnababab定义1.3：向量的数乘，12(,,,)naaa运算规律：()()O()O1()()()()定义1.5：设有m个n维向量：α1,α2,…,αm，对于任何一组实数c1,c2,…,cm，表达式c1α1+c2α2+…+cmαm称为向量α1,α2,…,αm的一个线性组合．c1,c2,…,cm称为这个线性组合的系数．对于n维向量α，如果存在一组实数1,2,…,m，使得α=1α1+2α2+…+mαm则称向量α能由α1,α2,…,αm线性表示（或α是α1,α2,…,αm的线性组合）．例：设123100,,010001E100203170001123237237那么线性组合的系数ε1,ε2,ε3的线性组合一般地，对于任意的n维向量β，必有1231000010000100001nbbbb123nbbbbn阶单位矩阵En的列向量叫做n维单位向量．1231000010000100001nbbbb123nbbbb1000010000100001nE§2向量组的线性相关性定义：若干个同维数的向量所组成的集合称为向量组．一、n维向量组的线性相关性定义2.1：给定向量组：α1,α2,…,αm，如果存在不全为零的实数c1,c2,…,cm，使得c1α1+c2α2+…+cmαm=0（零向量）则称向量组α1,α2,…,αm是线性相关的，否则称它是线性无关的．当向量组线性无关时，也称这个向量组是线性无关（向量）组。1、线性相关性的概念例1：证明（1）n维单位坐标向量组ε1,ε2,…,εn的线性相关性．（2）若为任一n维向量，则ε1,ε2,…,εn,α线性相关。12(,,,)naaa例2：讨论下列向量组的线性相关性：12(1)(1,2,0),(2,1,1)123(2)(1,1,1),(2,1,1),(1,4,)p（p为实数）解：(1)设有实数λ1，λ2：使得1122O则12122(2,2,)(0,0,0)由此得1212220200此方程组有唯一解：120所以α1,α2线性无关例3：已知向量组α1,α2,α3线性无关，且β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α1，试证明向量组β1,β2,β3线性无关．解：设有x1，x2，x3使得：即：整理得：由α1,α2,α3线性无关得：方程组系数行列式不为零，齐次线性方程组只有零解从而向量组β1,β2,β3线性无关．112233xxxO112331223)()()(xxxO132122331)))(((xxxxxxO131223000xxxxxx备注：零向量是线性相关的．任一非零向量线性无关．包含零向量的向量组是线性相关．两个向量线性相关的充分必要条件是它们的对应分量成比例．定理2.1：向量组α1,α2,…,αm（m≥2）线性相关的充分必要条件是至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示．于是就有32123111mm即α1能由α2,…,αm线性表示.使m21,,,.01不妨令11220mm证明：如果向量组α1,α2,…,αm(m≥2)线性相关，不全为零，因为m,,,21则有不全为零的数2、相关性判定定理如果向量组A中有一个向量能由其余向量线性表示.设αm能由α1,α2,…,αm-1线性表示:1m1m2211maaaa于是0a1aaam1m1m2211所以向量组线性相关.定理2.2：若向量组：α1,α2,…,αm线性相关，则向量组α1,α2,…,αm,αm+1也线性相关．其逆否命题也成立，即若向量组：α1,α2,…,αm,αm+1线性无关，则向量组α1,α2,…,αm也线性无关．定理2.3：设向量组：α1,α2,…,αm线性无关，而向量组α1,α2,…,αm,β线性相关，则向量β必能由向量组A线性表示，且表示式是唯一的．构成一个矩阵可以，维行向量组),,,2,1(,,,21miaaaniniiimmnmjmmnjnjaaaaaaaaaaaaA2121222221111211个行向量。的第称为矩阵成的矩阵所构维行向量组称为由iAnAim,,,,213、向量组与矩阵维列向量个维行向量，同时又有个有矩阵mnnmAnmnjaaamjjjj,,2,121可记为从而AnmAA,,,2121或可见矩阵与向量组在形式上能够互相转化，因此可用矩阵讨论向量组的有关问题．结论：一个矩阵可以看做由有限个行向量(或列向量)所构成的向量组．一个含有限个向量的向量组可构成矩阵．nmAA,,,2121或.,,,.)(0,,2,1,0,,,212121TnmimxxxxxAxxmixnA其中不一定唯一有非零解即程组充要条件是齐次线性方线性相关的维行向量组的矩阵.,,,.,,,,,,2121221121TnnnnnxxxxxbAxbxbxxxmbm其中（不一定唯一）有解或方程组表示的充要条件是线性线性维向量组能由维列向量.,,,.)(00,,,21221121TnnnnxxxxxAxxxxmA其中不一定唯一有非零解或程组充要条件是齐次线性方线性相关的维列向量组的矩阵定义：设有向量组A：α1,α2,…,αr及B：β1,β2,…,βs，若向量组A中的每个向量都能由向量组B线性表示，则称向量组A能由向量组B线性表示．若向量组A与向量组B能互相线性表示，则称这两个向量组等价．对于α1，存在一组实数k11,k12,…,k1s，使得α1=k11β1+k12β2+…+k1sβs；对于α2，存在一组实数k21,k22,…,k2s，使得α2=k21β1+k22β2+…+k2sβs；……对于αr，存在一组实数kr1,kr2,…,krs，使得αr=kr1a1+kr2a2+…+krsβs设有向量组A：α1,α2,…,αr及B：β1,β2,…,βs，若向量组A能由向量组B线性表示，即11112221122112211222ssrsrrsssrkkkkkkkkk1111222121122122rrrrssssrskkkkkkkkk线性表示的系数矩阵即：A=KB若α1,α2,…,αr及β1,β2,…,βs为行向量时，11112221122112211222ssrsrrsssrkkkkkkkkk1112221121212221ssssrrsrrrkkkkkkkkk即：A=BK若α1,α2,…,αr及β1,β2,…,βs为列向量时，定理2.4设有两个向量组mjaaamjaaaTjpjpjpjTnjjjjn,,2,1,),,(:)II(,,2,1,),,(:)I(2121.)II()I(,,21,,,21有相同的线性相关性与量组的一个全排列，则向，是其中npppn二、向量组线性相关性的矩阵判别法定理2.5设有两个向量组12()(,,,)(1,2,)TjjjrjIjmαLL121()(,,,,)(1,2,)TjjjrjrjIIjmβLLjα即βi是αi添加一个分量而得．若(Ⅰ)组向量线性无关，则(Ⅱ)组向量也线性无关．说明：定理2.5是对增加一个分量而言的，若增加多个分量，结论也成立推论：r维向量组的每个向量在相应位置添上n-r个分量，成为n维向量组．若r维向量组线性无关，则n维向量组亦线性无关．反之，若n维向量组线性相关，则r维向量组亦线性相关．定理2.6n维向量组（I）:α1,α2,…,αr构成矩阵11121121222212nnrrrnraaaaaaAaaa当r≤n时，向量组（I）线性无关的充分必要条件是矩阵A中存在不等于零的r阶子式。方阵行列式不等于零。要条件是它们所构成的性无关的充维向量组成的向量组线个推论nn1相关。构成的向量组一定线性维向量个时当推论mnnmnm,,,,,,321。数方阵行列式的充要条件是它们的系有非零解元齐次线性方程组个推论0||02AAxnn.)(,,,:2.6'21阶非零子式中没有的矩阵的充要条件是它所构成线性相关维行向量组定理rAnrAnr。个列行向量也线性相关任意个行向量线性相关意的任则阶子式全为零中所有的线性无关。反之个列向量的含有个行向量线性无关的那么含有阶子式中有一个矩阵如果在推论rrArArDrDDrAnm,,,,,0||4组的线性相关性：讨论下列矩阵的行向量例4510231202231;343122321;201332CBA维行向量线性无关。个的故因33,0||(2)BB进行初等行变换）对（C3000031202231~536031202231~C维行向量线性相关。个的故知43,32)(CCR维行向量，线性相关。个中，有）在（解231A向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组A：a1,a2,…,am线性相关存在不全为零的实数k1,k2,…,km，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）．m元齐次线性方程组Ax=0有非零解．矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的个数m．向量组A中至少有一个向量能由其余m－1个向量线性表示．向量组线性无关性的判定（重点、难点）向量组A：a1,a2,…,am线性无关如果k1a1+k2a2+…+kma