线性代数 第六章

第六章、二次型二次型就是二次齐次多项式,它的研究起源于解析几何中化二次曲线与二次曲面方程为标准形式的问题。不仅在几何中,而且在数学的其它分支及物理、力学和网络计算中也常会碰到二次型问题。在本章中,我们将利用矩阵工具讨论二次型的化简、惯性定理及正定二次型等基本理论。第一节二次型定义1n个变量x1，x2，…，xn的二次齐次多项式nnnxxaxxaxxaxaxxxf1131132112211121222),,,(222223232222nnaxaxxaxx称为一个n元二次型，简称二次型。2nnnax(6.1)当所有系数aij为复数时,称f为复二次型；当所有系数aij为实数时,称f为实二次型。取(,,1,2,,)jiijaaijijn，则有2ijijijijjijiaxxaxxaxx从而(6.1)式可写成12,1(,,,)nnijijijfxxxaxx12121211111313nnaaxxxxaxxax21212222232322nnaaxxxxxxaax31312323333233nnaxxxxxxaaxa2312132nnnnnnnnnxxxxaaxaxax11111221()nnxaxaxax12(,,,)nfxxx即22112222()nnxaxaxax1122()nnnnnnxaxaxax11112212112222121122(,,,)nnnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxfxxxaxaxax1112112122221212(,,,)nnnnnnnnaaaxaaaxfxxxaaax令11121121222212nnnnnnnaaaxaaaxAXaaax则用矩阵将二次型(6.1)可写成12(,,,)nfxxxXAX（6.2）其中矩阵A为实对称矩阵。由于矩阵A的主对角线元素aii是二次型f中平方项xi2的系数，其余元素aij=aji(i≠j)正是中交叉项xixj系数的一半。因此，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系。我们称对称阵A为二次型f的矩阵,称矩阵A的秩为二次型f的秩。例1将二次型212311213(,,)42fxxxxxxxx表示为矩阵形式,并写出f的矩阵和f的秩。解:212311213(,,)42fxxxxxxxx112323121(,,)200100xxxxxx因此，f的矩阵为121200100A由于矩阵A的秩为2，从而二次型f的秩为2。定义2设变量x1,x2,...,xn能用变量y1,y2,...,yn线性地表示,即存在常数cij(i,j=1,2,…,n),使11111221221122221122nnnnnnnnnnxcycycyxcycycyxcycycy(6.3)成立。则称此关系式为由变量x1,x2,...,xn到变量y1,y2,...,yn的一个线性变换，或简称线性变换。设nnnnijyyyYxxxXcC2121,,)(则(6.3)可以写成以下矩阵形式XCY（6.4）当|C|≠0时,称X=CY为可逆(或非退化)线性变换.显然,可逆线性变换是一一对应的1(6.5)XCYYCX在处理许多问题时,常常希望通过变量的线性变换来简化有关二次型。如果对二次型(6.1)进行可逆线性变换X=CY,则()()()fXAXCYACYYCACY记ACCB,上式为fYBY因为A是对称矩阵,所以BACCCACACCB)(即B也是对称矩阵,从而BYYf是一个关于变量nyyy,,,21的n元二次型,于是得到下面的定理后,仍然是一个二次型,且新的二次型的矩阵为CAC。定理1二次型AXXf经可逆线性变换CYX之定义3对于两个n阶矩阵A、B，若存在n阶可逆矩阵C，使，则称矩阵A与B合同。ACCB矩阵的合同关系与相似关系类似,也是一种特殊的等价关系，具有自身性、对称性和传递性。由定理1可知,经过可逆线性变换后,新旧二次型的矩阵彼此合同，又合同矩阵具有相同的秩，所以可逆线性变换不改变二次型的秩。第二节化二次型为标准形定义1只含平方项而不含交叉项的二次型:2221122nnkykyky称为标准形式的二次型,简称为标准形。显然,标准形是最简单的一种二次型。下面介绍化二次型为标准形的二种常用方法：正交变换法和配方法。一、正交变换法定理1任意一个n元二次型AXXxxxfn),,,(21(A实对称)总可以经过正交变换X=QY(Q为正交矩阵)化为标准形2222211nnyyyf(6.6)其中1,2,...,n是矩阵A的全部特征值。式(6.6)称为二次型在正交变换下的标准形。证：因为矩阵A是实对称阵，一定存在正交矩阵Q，使得121nQAQQAQ其中1,2,...,n是矩阵A的全部特征值。作正交变换X=QY，则12(,,,)nfxxxXAX()YQAQYYY2211nnyy在解析几何中，在进行二次曲线或二次曲面的化简时，经常用到定理1，通常称为主轴定理。可以证明,正交变换保持线段的长度不变,所以用正交变换化二次型为标准形,具有保持几何形状不变的优点,因此正交变换法无论在理论上还是在实际应用中都十分重要。例1用正交变换化下面的二次型为标准形：323121321222),,(xxxxxxxxxf并判断二次曲面1),,(321xxxf的类型。解:二次型的矩阵为011101110A在第五章§3例1中,我们已求得A的特征值为2,1321并求出使A相似于对角矩阵的正交矩阵11126311126321063Q根据定理1,作正交变换X=QY，就可以使二次型化为标准形222123123(,,)2fxxxyyy二次曲面1),,(321xxxf,经正交变换QYX化为标准形2223122112yyy因此二次曲面f=1表示旋转双曲面。二、配方法用正交变换法化二次型为标准形,通常计算量比较大。如果不要求作正交变换,而只要求作一般的可逆线性代换的话，那么化二次型为标准形可用一种简便的方法——配方法。下面我们用具体例子来说明这种方法。第三节惯性定理任何一个二次型都可以经过可逆线性变换化为标准形，但是，如果所用的变换不同，那么所得到的二次型的标准形也可能不相同，即二次型的标准形是不唯一的。2221231231213(,,)242fxxxxxxxxxx经可逆线性变换：112233121011001xyxyxy化为标准形22122fyy另一方面221231213(,,)2()()fxxxxxxx作可逆线性变换11221333zxxzxxzx即112233011111001xzxzxz则原二次型f又可化为标准形22122fzz比较f的二个标准形，可以发现f的标准形虽然不唯一，但是f的不同标准形中不但系数不为零的平方项的个数是一样的，而且正平方项、负平方项的个数也相同，这不是偶然的，它就是下面的惯性定理。定理1(惯性定理)对于秩为r的n元二次型fXAX不论用什么可逆线性变换，把f化为标准形，其中正平方项的个数p和负平方项的个数q都是唯一确定的，且p+q=r.定义1在二次型f(x1,x2,...,xn)=X'AX的标准形中，正平方项的个数p称为二次型f的正惯性指数，负平方项的个数q=r-p称为二次型f的负惯性指数，它们的差p-q称为二次型f的符号差。推论1对于任何二次型12(,,,)nfxxxXAX都存在可逆线性变换X=CY，使222211(6.15)pppqfyyyy其中p、q分别为f的正、负惯性指数。（6.15）式右端称为二次型f的规范形，显然，它是唯一的。由惯性定理可得下面的推论:第四节正定二次型与正定矩阵定义1实二次型f(x1,x2,...,xn)=X'AX，如果对任意的非零向量X=(x1,x2,...,xn)',都有f(x1,x2,...,xn)0(或f(x1,x2,...,xn)0),则称二次型f为正定（或负定）二次型，其对应的矩阵A称为正定（或负定）矩阵，记为A0（或A0）例如实二次型222123123(,,)23fxxxxxx显然为正定二次型，而222123123(,,)25gxxxxxx和2212312(,,)2hxxxxx就不是正定二次型，因为(0,0,1)50g(0,0,1)0h根据定义1，可得以下两个结论：(结论1)标准形实二次型222121122(,,,)nnnfxxxkxkxkx正定的充要条件是0(1,2,,)ikin(结论2)实二次型12(,,,)nfxxxXAX经可逆线性交换后其正定性不变。证（结论1）充分性12,,,0nkkk120nX(x,x,,x)对于任意，必有222121122(,,,)0nnnfxxxkxkxkx∴f为正定二次型。必要性∵f为正定二次型。(0,,0,1,0,,0)i对非零向量有：(0,,0,1,0,,0)0(1,2,,)ifkin证:（结论2）设为f正定二次型,在经过可逆线性变换X=CY后，变为：12(,,,)nfxxx即f变为g，下面证明g为正定二次型。()XAXYCACYYBY12(,,,)ngyyy对于任意非零向量12(,,,)0nYyyy由于C可逆，从而对应的X=CY是非零向量。反证,若X=0,则CY=0,从而C-1CY=Y=0,矛盾!1212(,,,)(,,,)nngyyyYBYXAXfxxx又由于：且f是正定二次型，所以：1212(,,,)(,,,)0nngyyyfxxx12(,,,).ngyyy即是正定的根据以上二个结论可以得到判别二次型是否正定的几个等价条件。定理1对于n元实二次型12(,,,)nfxxxXAX以下命题等价。(1)f是正定二次型（或A是正定矩阵）；(2)f的正惯性指数p=n,（或A合同单位矩阵E)(3)A的n个1,2,…,n特征值全大于零。最后，介绍一个直接从二次型的矩阵A本身判别它是否正定的方法。定理2n元实二次型f=X’AX正定的充分必要条件是A的各阶顺序主子式都大于0，即0111aA0222112112aaaaA，…，，1112111121212222122212120,...,0knknknkkkknnnnaaaaaaaaaaaaAAaaaaaa例1判断下列二次型是否正定2221231231223(,,)56444fxxxxxxxxxx解:二次型f的矩阵为520262024AA的各阶主子式为150A25226026A3520262840024AA根据定理2，f是正定的。