高中数学 导数及其应用章末复习学案新人教A版

1专题课件第一章导数及其应用章末复习学习目标1.理解导数的几何意义，并能解决有关切线的问题.2.能熟练应用求导公式及运算法则.3.掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值，并能应用其解决一些实际问题.4.了解定积分的概念及其简单的应用．1．导数的概念(1)定义：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx，称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．(2)几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，表示为f′(x0)，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．基本初等函数的导数公式(1)c′＝0.(2)(xα)′＝αxα－1.(3)(ax)′＝axlna(a0)．(4)(ex)′＝ex.(5)(logax)′＝lnxlna′＝1xlna(a0，且a≠1)．(6)(lnx)′＝1x.(7)(sinx)′＝cosx.(8)(cosx)′＝－sinx.3．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．(3)fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)．4．复合函数的求导法则2(1)复合函数记法：y＝f(g(x))．(2)中间变量代换：y＝f(u)，u＝g(x)．(3)逐层求导法则：yx′＝yu′·ux′.35．函数的单调性、极值与导数(1)函数的单调性与导数在某个区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．(2)函数的极值与导数①极大值：在点x＝a附近，满足f(a)≥f(x)，当xa时，f′(x)0，当xa时，f′(x)0，则点a叫做函数的极大值点，f(a)叫做函数的极大值；②极小值：在点x＝a附近，满足f(a)≤f(x)，当xa时，f′(x)0，当xa时，f′(x)0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．(3)求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．6．微积分基本定理如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃbaf(x)dx＝F(b)－F(a)．7．定积分的性质(1)ʃbakf(x)dx＝kʃbaf(x)dx(k为常数)．(2)ʃba[f1(x)±f2(x)]dx＝ʃbaf1(x)dx±ʃbaf2(x)dx.(3)ʃbaf(x)dx＝ʃcaf(x)dx＋ʃbcf(x)dx(其中acb)．1．f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(×)2．函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cosx．(×)3．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒正，则ʃbaf(x)dx0.(√)类型一导数几何意义的应用例1设函数f(x)＝13x3＋ax2－9x－1(a0)，直线l是曲线y＝f(x)的一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10x＋y＝6平行．(1)求a的值；(2)求f(x)在x＝3处的切线方程．考点求函数在某点处的切线方程题点求曲线的切线方程4解(1)f′(x)＝x2＋2ax－9＝(x＋a)2－a2－9，f′(x)min＝－a2－9，由题意知－a2－9＝－10，∴a＝1或－1(舍去)．故a＝1.(2)由(1)得a＝1，∴f′(x)＝x2＋2x－9，则k＝f′(3)＝6，f(3)＝－10.∴f(x)在x＝3处的切线方程为y＋10＝6(x－3)，即6x－y－28＝0.反思与感悟利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种：一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由y0－y1x0－x1＝f′(x1)和y1＝f(x1)，求出x1，y1的值，转化为第一种类型．跟踪训练1直线y＝kx＋b与曲线y＝x3＋ax＋1相切于点(2,3)，则b＝.考点求曲线在某点处的切线方程题点曲线的切线方程的应用答案－15解析由题意知f(2)＝3，则a＝－3.f(x)＝x3－3x＋1，f′(x)＝3x2－3，f′(2)＝3×22－3＝9＝k，又点(2,3)在直线y＝9x＋b上，∴b＝3－9×2＝－15.类型二函数的单调性、极值、最值问题例2设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln2－1且x0时，exx2－2ax＋1.考点利用导数研究函数的单调性题点利用导数证明不等式(1)解由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋5f(x)↘极小值↗故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．(2)证明设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.由(1)知当aln2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)0.于是对任意x∈R，都有g′(x)0，所以g(x)在R内单调递增．于是当aln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)g(0)．而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)0，即ex－x2＋2ax－10，故exx2－2ax＋1.反思与感悟本类题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性，求函数的极值和证明不等式，考查运算能力、分析问题、解决问题的能力．跟踪训练2已知函数f(x)＝xlnx.(1)求f(x)的最小值；(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求实数a的取值范围；(3)若关于x的方程f(x)＝b恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．考点函数极值的综合应用题点函数零点与方程的根解(1)f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝1＋lnx，令f′(x)0，解得x1e，令f′(x)0，解得0x1e，故f(x)在0，1e上单调递减，在1e，＋∞上单调递增，故f(x)min＝f1e＝1eln1e＝－1e.(2)∵f(x)＝xlnx，当x≥1时，f(x)≥ax－1恒成立，等价于xlnx≥ax－1(x≥1)恒成立，等价于a≤lnx＋1x(x≥1)恒成立，令g(x)＝lnx＋1x，则a≤g(x)min(x≥1)恒成立；6∵g′(x)＝1x－1x2＝x－1x2，∴当x≥1时，g′(x)≥0，∴g(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝1，∴a≤1，即实数a的取值范围为(－∞，1]．(3)若关于x的方程f(x)＝b恰有两个不相等的实数根，即y＝b和y＝f(x)在(0，＋∞)上有两个不同的交点，由(1)知当0x1e时，f(x)0，f(x)在0，1e上单调递减，在1e，＋∞上单调递增，f(x)min＝f1e＝1eln1e＝－1e；故当－1eb0时，满足y＝b和y＝f(x)在(0，＋∞)上有两个不同的交点，即若关于x的方程f(x)＝b恰有两个不相等的实数根，则－1eb0.类型三定积分及其应用例3求由曲线y＝sinx与直线x＝－π2，x＝54π，y＝0所围成的图形的面积．考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点需分割的图形的面积求解解所求面积S＝5π04ππ22sind=sindxxxx＋ʃπ0sinxdx5π4πsindxx＝－(－cosx)0π2|＋(－cosx)|π0－(－cosx)5π4π|＝1＋2＋1－22＝4－22.反思与感悟由定积分求曲边梯形面积的方法步骤(1)画出函数的图象，明确平面图形的形状．(2)通过解方程组，求出曲线交点的坐标．(3)确定积分区间与被积函数，转化为定积分计算．(4)对于复杂的平面图形，常常通过“割补法”来求各部分的面积之和．78跟踪训练3如图所示，直线y＝kx将抛物线y＝x－x2与x轴所围图形的面积分为相等的两部分，求k的值．考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点已知曲线所围成图形的面积求参数解抛物线y＝x－x2与x轴的两交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1，所以抛物线与x轴所围图形的面积S＝ʃ10(x－x2)dx＝x22－x3310＝12－13＝16.抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标分别为x1′＝0，x2′＝1－k，所以S2＝ʃ1－k0(x－x2－kx)dx＝1－k2x2－x331－k0＝16(1－k)3，又知S＝16，所以(1－k)3＝12，于是k＝1－312＝1－342.1.如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)等于()A．－1B．0C．2D．4考点导数的几何意义的应用题点导数的几何意义9答案B解析∵直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，∴f(3)＝1.又点(3,1)在直线l上，∴3k＋2＝1，从而k＝－13，∴f′(3)＝k＝－13.∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，则g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1＋3×－13＝0.2．函数F(x)＝ʃx0t(t－4)dt在[－1,5]上()A．有最大值0，无最小值B．有最大值0，最小值－323C．有最小值－323，无最大值D．既无最大值也无最小值考点微积分基本定理的应用题点微积分基本定理的综合应用答案B解析F′(x)＝()ʃx0tt－4dt′＝x2－4x，令F′(x)＝0，解得x＝0或4，当F′(x)0时，x4或x0，当F′(x)0时，0x4.∴F(x)在[0,4]上单调递减，在[－1,0]和[4,5]上单调递增．又F(0)＝0，F(－1)＝－73，F(4)＝－323，F(5)＝－253，所以当x＝0时，F(x)取最大值0，当x＝4时，F(x)取最小值－323.故选B.3．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图，则函数y＝ax2＋32bx＋c3的单调递增区间是()A．(－∞，2]B.12，＋∞C．[－2,3]D.98，＋∞考点函数极值的综合应用题点函数极值在函数图象上的应用10答案D解析不妨取a＝1，又d＝0，∴f(x)＝x3＋bx2＋cx，∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c.由题图可知f′(－2)＝0，f′(3)＝0，∴12－4b＋c＝0,27＋6b＋c＝0，∴b＝－32，c＝－18.∴y＝x2－94x－6，y′＝2x－94，当x98时，y′0，即单调递增区间为98，＋∞，故选D.4．体积为16π的圆柱，当它的半径为时，圆柱的表面积最小．考点利用导数求几何模型的最值问题题点利用导数求面积的最值问题答案2解析设圆柱底面半径为r，母线长为l.∴16π＝πr2l，即l＝16r2.则S表面积＝2πr2＋2πrl＝2πr2＋2πr×16r2＝2πr2＋32πr，由S′＝4πr－32πr2＝0，得r＝2.∴当r＝2时，圆柱的表面积最小．5．已知函数f(x)＝ex＋bx过点(1，e)．(1)求y＝f(x)的单调区间；(2)当x0时，求fxx的最小值；(3)试判断方程f(x)－mx＝0(m∈R且m为常数)的根的个数．考点函数极值的综合应用题