高中数学 正弦定理和余弦定理课件 新人教A版必修5

第7课时正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容__________________＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝________________，b2＝________________，c2＝____________________．b2＋c2－2bc·cosAc2＋a2－2ca·cosBa2＋b2－2ab·cosCasinA＝bsinB＝csinC变形形式①a＝_______，b＝_______，c＝________；②sinA＝___，sinB＝___，sinC＝____；③a∶b∶c＝___________________；cosA＝_______；cosB＝_______；cosC＝_______.2RsinA2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinCa2Rb2Rc2Rb2＋c2－a22bcc2＋a2－b22caa2＋b2－c22ab变形形式④a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝asinA.【思考探究】在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的什么条件？提示：充要条件．因为sinA＞sinB⇔a2R＞b2R⇔a＞b⇔A＞B.1．已知△ABC，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，a＝2，b＝3，B＝60°，则A等于()A．30°B．45°C．45°或135°D．30°或150°解析：由正弦定理得asinA＝bsinB，∴sinA＝asinBb＝2sin60°3＝22，又∵2＜3，即a＜b，∴A＜B＝60°，∴A＝45°.答案：B2．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cosB等于()A.14B.34C.24D.23解析：由已知得b2＝ac，c＝2a，∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝5a2－2a24a2＝34.答案：B3．在△ABC中，若tanA＝34，C＝120°，BC＝23，则AB＝()A．3B．4C．5D．6解析：因为tanA＝34，所以sinA＝35，由正弦定理ABsinC＝BCsinA，可得AB＝BC·sinCsinA＝23×3235＝5.答案：C4．在△ABC中，如果A＝60°，c＝2，a＝6，则△ABC的形状是________．解析：由正弦定理asinA＝csinC，∴sinC＝12∴C＝30°(ac，C只能是锐角)．答案：直角三角形5．在△ABC中，如果A＝60°，c＝4，a＝6，则三角形解的情况是________．解析：∵csinA＝4sin60°＝23＞6，∴三角形无解．答案：无解利用正、余弦定理解三角形1．利用正弦定理可解决以下两类三角形：一是已知两角和一角的对边，求其他边角；二是已知两边和一边的对角，求其他边角．2．利用余弦定理可解两类三角形：一是已知两边和它们的夹角，求其他边角；二是已知三边求其他边角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．(2010·浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C＝－14.(1)求sinC的值；(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，求b及c的长．解析：(1)∵cos2C＝1－2sin2C＝－14及0＜C＜π，所以sinC＝104.(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，由正弦定理asinA＝csinC，得c＝4.由cos2C＝2cos2C－1＝－14及0＜C＜π，得cosC＝±64.由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得b2±6b－12＝0(b＞0)，解得b＝6或26.所以b＝6，c＝4，或b＝26，c＝4.【变式训练】1.已知a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边，且a2＋c2－b2＝ac.(1)求角B的大小；(2)若c＝3a，求tanA的值．解析：(1)由余弦定理，得cosB＝a2＋c2－b22ac＝12.∵0＜B＜π，∴B＝π3.(2)方法一：将c＝3a代入a2＋c2－b2＝ac，得b＝7a.由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝5714.∵0＜A＜π，∴sinA＝1－cos2A＝2114.∴tanA＝sinAcosA＝35.方法二：将c＝3a代入a2＋c2－b2＝ac，得b＝7a.由正弦定理，得sinB＝7sinA.∵B＝π3，∴sinA＝2114.又b＝7a＞a，则B＞A，∴cosA＝1－sin2A＝5714.∴tanA＝sinAcosA＝35.方法三：∵c＝3a，由正弦定理，得sinC＝3sinA.∵B＝π3，∴C＝π－(A＋B)＝2π3－A.∴sin2π3－A＝3sinA.∴sin2π3cosA－cos2π3sinA＝3sinA.∴32cosA＋12sinA＝3sinA.∴5sinA＝3cosA.∴tanA＝sinAcosA＝35.利用正、余弦定理判断三角形形状依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．解析：(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.①由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－12，A＝120°.(2)由①得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.又sinB＋sinC＝1，得sinB＝sinC＝12.因为0°B90°，0°C90°，故B＝C.所以△ABC是等腰的钝角三角形．【变式训练】2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足(2b－c)cosA－acosC＝0.(1)求角A的大小；(2)若a＝3，S△ABC＝334，试判断△ABC的形状，并说明理由．解析：(1)方法一：∵(2b－c)cosA－acosC＝0，由正弦定理得(2sinB－sinC)cosA－sinAcosC＝0.∴2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，sinB(2cosA－1)＝0，∵0＜B＜π，∴sinB≠0，cosA＝12.∵0＜A＜π，∴A＝π3.方法二：∵(2b－c)cosA－acosC＝0，由余弦定理，得(2b－c)·b2＋c2－a22bc－a·a2＋b2－c22ab＝0.整理，得b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝12.∵0＜A＜π，∴A＝π3.(2)∵S△ABC＝12bcsinA＝334，即12bcsinπ3＝334，∴bc＝3.∵a2＝b2＋c2－2bccosA，∴b2＋c2＝6，由①②得b＝c＝3，∴△ABC为等边三角形．与三角形面积有关的问题常用的三角形面积公式(1)S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB；(2)S＝12ah.在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝π3.(1)若△ABC的面积等于3，求a，b；(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．解析：(1)由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4，又因为△ABC的面积等于3.所以12absinC＝3，得ab＝4，联立方程组a2＋b2－ab＝4ab＝4，解得a＝2b＝2.(2)由题意得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA，当cosA＝0时，A＝π2，B＝π6，a＝433，b＝233.所以△ABC的面积S＝12absinC＝12×433×233×32＝233；当cosA≠0时，得sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，联立方程组a2＋b2－ab＝4b＝2a，解得a＝233b＝433，所以△ABC的面积S＝12absinC＝12×233×433×32＝233.综上：△ABC的面积为233.【变式训练】3.已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＝2，cosB＝35.(1)若b＝4，求sinA的值；(2)若△ABC的面积为4，求b、c的值．解析：(1)由cosB＝35，得sinB＝45，根据正弦定理有：sinA＝25.(2)依题意：4＝12acsinB＝c×45，故c＝5.由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accosB＝4＋25－2×2×5×35＝17，b＝17.1．判断三角形的形状在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角的关系或边边的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解．2．判定三角形解的个数的方法在△ABC中，已知边a，b和角A时，判断三角形解的情况有以下两种方法：方法一：可依据下表方法进行判断：A为锐角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＜bsinA解个数一解两解一解无解A为直角A为钝角图形关系式a＞ba≤ba＞ba≤b解个数一解无解一解无解方法二：可依据正弦函数的有界性和三角形的性质进行判断：由正弦定理可得，sinB＝bsinAa，则三角形解的个数与sinB的大小有如下关系：sinB的范围三角形解的个数sinB＞10个sinB＝11个0＜sinB＜11个或2个对于当sinB∈(0,1)的情形，需依据“大边对大角”及“三角形内角和等于180°”作更进一步的判断．从近两年的高考试题来看，正弦定理、余弦定理是高考的热点．主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题，常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式，甚至三角函数的图象和性质等交汇命题，多以解答题的形式出现，属解答题中的低档题．(本小题满分12分)(2010·安徽卷)设△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对边长，并且sin2A＝sinπ3＋B·sinπ3－B＋sin2B.(1)求角A的值；(2)若AB—→·AC—→＝12，a＝27，求b，c(其中b＜c)．【规范解答】(1)因为sin2A＝32cosB＋12sinB32cosB－12sinB＋sin2B＝34cos2B－14sin2B＋sin2B＝34，4分所以sinA＝±32.又A为锐角，所以A＝π3.6分(2)由AB—→·AC—→＝12可得cbcosA＝12.①由(1)知A＝π3，所以cb＝24.②8分由余弦定理知a2＝c2＋b2－2cbcosA，将a＝27及①代入，得c2＋b2＝52,③③＋②×2，得(c＋b)2＝100，所以c＋b＝10.10分因此，c，b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的两个根．解此方程并由c＞b知c＝6，b＝4.12分【阅后报告】解答本题的难点为：一是不会利用(1)中A＝π3，求bc＝24，b＋c＝10；二是计算出错，把b、c看作t2＋10t＋24＝0的根；三是不注意b＜c这一条件．1．(2010·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：由sinC＝23sinB，根据正弦定理，得c＝23b，把它代入a2－b2＝3bc得a2－b2＝6b2，即a2＝7b2.由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝b2＋12b2－7b22b·23b＝6b243b2＝32，又∵0°＜A＜180°，∴A＝30°.答案：A2．(2010·北京卷)在△ABC中，若b＝1，c＝3，∠C＝2π3，则a＝________.解析：由正弦定理，有3sin2π3＝1sinB，∴sinB＝12.∵∠C为钝角，∴∠B必为锐角，∴∠B＝π6，∴∠A＝π6.∴a＝b＝1.答案：13．(2010·