高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入学案苏教版选修2-2

第3章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充一、学习内容、要求及建议知识、方法要求建议数系的扩充了解在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．复数的概念理解学习复数的相关概念；体会复数a＋bi是实数、虚数和纯虚数的条件．复数的相等理解理解两个复数相等的充要条件．二、预习指导1．预习目标了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的充要条件．2．预习提纲(1)回忆、归纳数系扩充的过程，体会实际需要与数学内部的矛盾对数系扩充的作用，感受数与现实世界的联系．(2)对引入的新数i有哪两项规定?①______________；②______________．(3)a=0是复数z=a＋bi为纯虚数的充分条件吗?(4)两个复数相等的充要条件是_____________．(5)阅读课本第103页至第105页内容，并完成课后练习．(6)结合课本第104页的例1，学习复数的相关概念；结合课本第104页的例2，进一步体会复数a＋bi是实数、虚数和纯虚数的条件；结合课本第105页的例3，感悟和体会两个复数相等的充要条件．3．典型例题(1)复数的相关概念实数(b=0)复数a＋bi(a，b∈R)纯虚数(a=0，且b≠0)虚数(b≠0)非纯虚数(a≠0，且b≠0)例1实数x分别取什么值时，复数z=x2＋x–6＋(x2–2x–15)i是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)零?分析：先明确复数的实部、虚部分别是什么，然后利用复数的相关概念即可．解：由xR知：复数的实部为x2＋x–6，虚部为x2–2x–15．(1)要使z是实数，则x2–2x–15=0，从而当x=－3或5时，z是实数；(2)要使z是虚数，则x2–2x–150，从而当35xx且时，z是虚数；(3)要使z是纯虚数，则2260,2150.xxxx从而当x=5时，z是纯虚数；(4)要使z是0，则2260,2150.xxxx从而当x=－3时，z是0．点评：一般地，对于复数a＋bi(a，b∈R)．当b=0时，a＋bi为实数；当0b时，a＋bi为虚数；当a=0且0b时，a＋bi为纯虚数．对复数的分类要严格按照上述规律进行．在讨论z为纯虚数时，不仅要考虑x2＋x–6=0而且要考虑x2–2x–150，当然a，b是实数的条件是必不可少的．(2)复数相等的充要条件两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等．一般地，两个复数只能说它们相等或不相等，而不能比较大小，只有当两个复数都是实数时，才能比较大小．例2求适合下列方程中的x与y(x，y∈R)的值．(1)x2＋2＋(x–3)i=y2＋9＋(y–2)i；(2)2x2–5x＋3＋(y2＋y–6)i=0．分析：先明确复数的实部、虚部，然后利用两个复数相等即实部、虚部分别相等．解：(1)由x2＋2＋(x–3)i=y2＋9＋(y–2)i得：222932xyxy即：224731xxyyxy解得(2)由2x2–5x＋3＋(y2＋y–6)i=0得：22253060xxyy即：31223xxyy或或从而12xy或322xy或13xy或323xy点评：两个复数相等的定义是实部、虚部分别相等，必须当心的是形如a＋bi中的a，b是否为实数，否则容易引起错解．例3求使不等式m2–(m2–3m)i＜(m2–4m＋3)i＋10成立的实数m的值．分析：本题抓住“复数能够比较大小，必须都为实数”这一规则来求解．解：由题意：22230,430,10.mmmmm解得03,13,1010.mmmmm或或所以m=3．4．自我检测(1)若实数集记为R，纯虚数集记为I，复数集记为C，则下列各式中：①R∩I={0}；②R∩I=；③C=R∩I；④CRCI，正确的序号有___________________．(2)若x、y是实数，且2x–1＋i=y–(3－y)i，则x=___________，y=___________．(3)设复数z=ab＋(a2＋b2)i(a、b∈R)，则a、b满足_____________________时，z是纯虚数．三、课后巩固练习A组1．若a、b是实数，则a=0是复数a＋bi为纯虚数的__________________条件．2．设,abR,i是虚数单位,则“0ab”是“复数bai为纯虚数”的______条件.3．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则a的取值范围是______________．B组4．满足方程x2–2x–3＋(9y2–6y＋1)i=0的实数对(x，y)表示的点的个数是______．5．下列命题：①–1的平方根只有一个；②i是1的四次方根；③设复数z1=a＋bi，z2=c＋di，则z1=z2的充要条件是a=c且b=d；④若2221zz=0，则z1=z2=0；⑤若a、b∈R且a=b，则(a–b)＋(a＋b)i是纯虚数．其中正确的个数为______________．6．当实数m分别取何值时，复数z=(1＋i)m2＋(5–2i)m＋6–15i是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零．7．已知a是实数，b是纯虚数，且满足(2–2a)＋(1–3b)i=b–i，求a、b．8．已知x，y，t∈R，t≠－1，且t≠0，求满足1ii1ttxytt时，点(x，y)的轨迹方程．C组9．已知关于x的方程x2＋(1＋2i)x－(3m－1)i=0有实根，求纯虚数m的值．10．设复数z1=1＋sinx＋(1–cosx)i，z2=13()ixxy，(x，y∈R)，若z1z2，求x、y的值．知识点题号注意点复数的概念1-3，6注意体会复数a＋bi是实数、虚数和纯虚数的条件．复数的相等5，7，9应用两个复数相等的充要条件时，注意各个字母的虚实．综合问题4，8，10注意复数与其它知识的联系．四、学习心得五、拓展视野16世纪意大利米兰学者卡当(JeromeCardan1501－1576)在1545年发表的《重要的艺术》一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”．他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，并且讨论是否可能把10分成两部分使它们的乘积等于40，这需要解方程x(10－x)=40．尽管他写出了两个表达式，但却认为自己写的两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的．给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔(1596－1650)，他在《几何学》(1637年发表)中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来．学完了本节，你会解x(10－x)=40这个方程了吗?3．2复数的四则运算一、学习内容、要求及建议知识、方法要求建议复数的四则运算理解结合多项式的四则运算法则，理解并掌握复数代数形式的四则运算法则，并能比较两者的异同；能熟练地运用复数的四则运算法则进行运算．共轭复数理解弄清共轭复数的实部、虚部之间的关系．二、预习指导1．预习目标(1)了解复数的代数表示法；(2)能进行复数代数形式的四则运算．2．预习提纲(1)复数四则运算法则：①加法法则：______________；②减法法则：______________；③乘法法则：______________；复数的乘法满足交换律、结合律和分配律吗?④除法法则：______________．(2)复数的正整数指数幂的运算律：①____________________；②____________________；③____________________．(3)我们把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫做互为________；_____数的共轭复数仍是它本身．(4)你能总结出i的正整数指数幂的规律吗?(5)你能写出方程x3=1的三个根吗?(6)阅读课本第106页至第110页内容，并完成课后练习．(7)结合课本第107页的例1，学习复数的加法法则和减法法则；结合课本第107页的例2，学习复数的乘法法则，体会复数的乘法满足结合律；结合课本第107页的例3，进一步运用复数的乘法法则，体会在复数范围内，对x2＋y2进行分解因式；结合课本第108页的例4，体会方程x3=1的三个根的相互关系；对于课本第109页的例5，解法1是运用复数的除法法则，解法2是使分母“实数化”，将复数除法化归为复数乘法，请仔细体会，并将两种解法作比较．3．典型例题(1)复数的加减运算两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．复数的加法运算是一种规定，减法是加法的逆运算．复数的加减运算可类比多项式的加减运算，但不是多项式运算的合情推理，而是一种新的规定，它是数学建构过程中的重要组成部分，运算时可类比多项式合并同类项法则来理解和记忆．例1计算(2＋3i)＋(4－5i)－(－2－i)的值．解：原式=(2＋4＋2)＋(3－5＋1)i=8－i．(2)复数的乘法与乘方复数的乘法运算法则：(i)(i)()()iabcdacbdbcad乘法运算律：1221123123(1);(2)()()zzzzzzzzzz；(3)1231213()zzzzzzz；(4)mnmnzzz；(5)()mnmnzz；(6)1212()mmnzzzz例2计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；(2)(13i22)3；(3)(3i2)6＋(3i2)6．分析：复数的乘法运算与多项式的乘法运算相类似，先两两结合展开，利用ni化简后，在再将复数的实部与虚部合并；而乘方运算应注意合理利用一些常用且有效的结论来处理．解：(1)原式=(11－2i)(－2＋i)=2015i；(2)原式=3313(1)(i)22=－1；(3)原式=6613(i)(i)22＋6613(i)(i)22=－2．点评：在运算过程中，注意运用常用技巧及规律，如有关复数的方幂：①i的周期性：i4n＋1=i；i4n＋2=－1；i4n＋3=－i；i4n=1(nZ)；②若13i22，则213i22，31，1＋20．(3)共轭复数共轭复数的定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复数称为共轭复数．共轭复数的性质：①zz；②1212zzzz；③对于复数z，z是实数zz；④若z为纯虚数，则0zz．例3已知复数22121()i2(13)i()zmmmzmmR与是共轭复数，求m的值．分析：根据共轭复数的定义知：两个共轭复数的实部相同，虚部互为相反数．解：由22121()i2(13)i()zmmmzmmR与是共轭复数得：2212,(13).mmmm解得：1,1.mm从而m=1．即m=1时，12,zz是共轭复数．点评：共轭复数是复数集中比较重要且具有独特性质的复数，应准确把握它的代数特征：虚部互为相反数．例4已知f(z)=2z＋z－3i，f(z＋i)=6–3i，求f(－z)的值．分析：先利用f(z)=2z＋z－3i，f(z＋i)=6–3i，得到复数z满足的等式，然后设z=a＋bi(,abR)，利用复数相等得到关于实数a，b的方程组，解方程组即可．解：f(z)=2z＋z－3i，f(z＋i)=2()()3zizii=22zzi．又f(z＋i)=6–3i，22zzi=6–3i，即2zz=6－i．设(,)zabiabR，则zabi，2()()6abiabii，即3a－bi=6－i．由复数相等的定义知：36,1.ab解得：2,1.abz=2＋i．f(－z)=2(－2－i)＋(－2＋i)－3i=－6－4i．点评：本题中要求f(－z)的值关键先