高中数学 第五章5.2 平面向量基本定理及坐标表示(共71张PPT)

§5.2平面向量基本定理及坐标表示数学RA（文）第五章平面向量基础知识题型分类思想方法练出高分1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量a，一对实数λ1，λ2，使a＝.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组．只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．基础知识·自主学习1.基底的不唯一性难点正本疑点清源要点梳理不共线有且只有a＝λ1e1＋λ2e2基底基础知识题型分类思想方法练出高分2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝，a－b＝，λa＝，|a|＝.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．基础知识·自主学习1.基底的不唯一性难点正本疑点清源要点梳理(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)x21＋y21基础知识题型分类思想方法练出高分②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝，|AB→|＝.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔.在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA→＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量a＝OA→＝(x，y)．当平面向量OA→平行移动到O1A1→时，向量不变即O1A1→＝OA→＝(x，y)，但O1A1→的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化．基础知识·自主学习2.向量坐标与点的坐标的区别难点正本疑点清源要点梳理(x2－x1，y2－y1)x2－x12＋y2－y12x1y2－x2y1＝0基础知识题型分类思想方法练出高分题号答案解析12345BB基础知识·自主学习基础自测043(－3，－5)基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一平面向量基本定理的应用【例1】已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且AM→＝xAB→，AN→＝yAC→，求1x＋1y的值．解析探究提高思维启迪基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一平面向量基本定理的应用【例1】已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且AM→＝xAB→，AN→＝yAC→，求1x＋1y的值．以AB→，AC→为基底来表示向量，建立x，y的关系．解析探究提高思维启迪基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一平面向量基本定理的应用【例1】已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且AM→＝xAB→，AN→＝yAC→，求1x＋1y的值．故AG→＝13(AB→＋AC→)，MG→＝AG→－AM→＝13(AB→＋AC→)－xAB→＝13－xAB→＋13AC→，GN→＝AN→－AG→＝yAC→－AG→＝yAC→－13(AB→＋AC→)＝y－13AC→－13AB→，由于MG→与GN→共线，根据共线向量定理知解根据题意知G为三角形的重心，解析探究提高思维启迪基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一平面向量基本定理的应用【例1】已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且AM→＝xAB→，AN→＝yAC→，求1x＋1y的值．＝λy－13AC→－13AB→，∵AB→，AC→不共线，∴13－x＝－13λ13＝λy－13⇒13－x－13＝13y－13⇒x＋y－3xy＝0，MG→＝λGN→⇒13－xAB→＋13AC→两边同除以xy得1x＋1y＝3.解析探究提高思维启迪基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一平面向量基本定理的应用【例1】已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且AM→＝xAB→，AN→＝yAC→，求1x＋1y的值．利用基底表示未知向量，实质就是利用向量的加、减法及数乘进行线性运算；向量的表示是向量应用的前提．解析探究提高思维启迪基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练1如图，在△ABC中，AN→＝13NC→，P是BN上的一点，若AP→＝mAB→＋211AC→，则实数m的值为________．解析设|BP→|＝y，|PN→|＝x，题型分类·深度剖析则AP→＝AN→＋NP→＝14AC→－xx＋yBN→，①AP→＝AB→＋BP→＝AB→＋yx＋yBN→，②①×y＋②×x得AP→＝xx＋yAB→＋y4x＋yAC→，令y4x＋y＝211，得y＝83x，代入得m＝311.311基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，且CM→＝3c，CN→＝－2b，(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M、N的坐标及向量MN→的坐标．题型分类·深度剖析题型二向量坐标的基本运算解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，且CM→＝3c，CN→＝－2b，(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M、N的坐标及向量MN→的坐标．题型分类·深度剖析题型二向量坐标的基本运算解由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴－6m＋n＝5，－3m＋8n＝－5，解得m＝－1，n＝－1.解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，且CM→＝3c，CN→＝－2b，(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M、N的坐标及向量MN→的坐标．题型分类·深度剖析题型二向量坐标的基本运算∴OM→＝3c＋OC→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20)．又∵CN→＝ON→－OC→＝－2b，∴ON→＝－2b＋OC→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，(3)设O为坐标原点，∵CM→＝OM→－OC→＝3c，∴N(9,2)．∴MN→＝(9，－18)．解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二向量坐标的基本运算向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．【例2】已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，且CM→＝3c，CN→＝－2b，(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M、N的坐标及向量MN→的坐标．解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练2已知平行四边形的三个顶点分别是A(4,2)，B(5,7)，C(－3,4)，则第四个顶点D的坐标是____________________________．题型分类·深度剖析解析设顶点D(x，y)．若平行四边形为ABCD，则由AB→＝(1,5)，DC→＝(－3－x,4－y)，得－3－x＝1，4－y＝5，所以x＝－4，y＝－1；若平行四边形为ACBD，则由AC→＝(－7,2)，DB→＝(5－x,7－y)，得5－x＝－7，7－y＝2，所以x＝12，y＝5；若平行四边形为ABDC，则由AB→＝(1,5)，CD→＝(x＋3，y－4)，得x＋3＝1，y－4＝5，所以x＝－2，y＝9.综上所述，第四个顶点D的坐标为(－4，－1)或(12,5)或(－2,9)．(－4，－1)或(12,5)或(－2,9)基础知识题型分类思想方法练出高分【例3】平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，请解答下列问题：(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；(3)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝5，求d.题型分类·深度剖析题型三共线向量的坐标表示思维启迪解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型三(1)向量相等对应坐标相等，列方程解之．(2)由两向量平行的条件列方程解之．(3)设出d＝(x，y)，由平行关系列方程，由模为5列方程，联立方程组求解．思维启迪解析探究提高【例3】平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，请解答下列问题：(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；(3)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝5，求d.共线向量的坐标表示基础知识题型分类思想方法练出高分【例3】平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，请解答下列问题：(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；(3)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝5，求d.题型分类·深度剖析题型三思维启迪解析探究提高解(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，所以－m＋4n＝32m＋n＝2，得m＝59n＝89.(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，∵(a＋kc)∥(2b－a)，共线向量的坐标表示∴2×(3＋4k)－(－5)(2＋k)＝0，∴k＝－1613.基础知识题型分类思想方法练出高分【例3】平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，请解答下列问题：(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；(3)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝5，求d.题型分类·深度剖析题型三思维启迪解析探究提高(3)设d＝(x，y)，d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，由题意得4x－4－2y－1＝0x－42＋y－12＝5，解得x＝3y＝－1或x＝5y＝3，∴d＝(3，－1)或d＝(5,3)．共线向量的坐标表示基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型三(1)运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合．(2)根据平行的条件建立方程求参数，是解决这类题目的常用方法，充分体现了方程思想在向量中的应用．思维启迪解析探究提高【例3】平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，请解答下列问题：(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；(3)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝5，求d.共线向量的坐标表示基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练3(2011·北京)已知向量a＝(3，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，3)．若(a－2b)与c共线，则k＝________.解析a－2b＝(3，1)－2(0，－1)＝(3，3)，题型分类·深度剖析1又∵(a－2b)与c共线，∴(a－2b)∥c，∴3×3－3×k＝0，解得k＝1.基础知识题型分类思想方法练出高分典例：(12分)已知OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OD→＝