线性代数―解线性方程组的消元法

1第三章2本章讨论关于线性方程组的两个问题：一、探讨n个未知数m个方程的线性方程组的解法（即下面介绍的高斯消元法）。二、从理论上探讨线性方程组解的情况：何时有解，何时无解。若有解，则有多少组解；若有无穷多解，如何表示。运用n维向量的理论可全面地解决第二个方面的问题。3第一节解线性方程组的消元法例1)1(用高斯消元法解线性方程组,97963,42264,42,224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx1342解)1(2312,97963,232,22,424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx1342432213314,424321xxxx1342,97963,232,22,424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx1342,0222432xxx,6355432xxx,3433432xxx5,3433,6355,0222,424324324324321xxxxxxxxxxxxx1342221532342,424321xxxx1342,0432xxx,624x,34x6,0,424324321xxxxxxx134234243用“回代”的方法求出解：,3,62,0,42444324321xxxxxxxxx1342,34x,00.3为任意取值其中x34x332xx431xx7小结：1．上述解方程组的方法称为高斯消元法。2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（1）交换方程次序；（2）以不等于０的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．ij（与相互替换）（以替换）ikij（以替换）iki83．上述三种变换都是可逆的．由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．ji)(A若),(B)(B则);(Ajik)(A若),(Bji)(A若),(Bik)(B则);(Aik)(B则).(Akji9因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．若记97963422644121121112)(bAA称为方程组(1)的增广矩阵．对方程组的变换完全可以转换为对增广矩阵的行变换．10用矩阵的初等行变换解方程组(1)：97963422644121121112B9796321132211124121121rr23r1132rr97963211322111241211132rr143rr4121102220635503433022r243rr235rr00041211011162003100123100062000011104121143rr342rr00000310000111041211,304244324321xxxxxxxx对应的方程组为.3为任意取值，其中x由下到上逐个解得34x332xx431xx13例2解线性方程组.2875342622321321321xxxxxxxxx解2817534216122),(bA3421096031911703421032031810342131810621300解得唯一解.23x,32x,11x14例3解线性方程组解322122351311321),(bA.3222,2353,132432143214321xxxxxxxxxxxx113212000010450113211045010450最后一个为矛盾方程组,20故方程组无解.15线性方程组.,,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa,212222111211mnmmnnaaaaaaaaaA系数矩阵增广矩阵,),(21222221111211mmnmmnnbaaabaaabaaabAA16利用矩阵的初等行变换将A化为阶梯形,000000000000000001222221111211rrrnrrnrnrddccdcccdccccA其中0iic(ri,,1),方程组有解的充分必要条件是.01rd17实际上r即为系数矩阵A的秩,)(Arr,若01rd,则rArAr)()(,若01rd,则1)()(ArAr,线性方程组解的判定定理线性方程组bAx有解的充分必要条件是.)()(ArAr在有解的情况下，当nAr)(时有唯一解；当nAr)(时有无穷多解；这时自由未知量个数为)(Arn.18例4t为何值时线性方程组解324622432132131txxxtxxxtxx有解?并求解.324162214101tttA,100023210101ttt3421023210101ttt当1t时，2)()(ArAr,方程组有无穷多解。19称下面形式的线性方程组为齐次线性方程组.0,0,0221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa显然零向量必为它的解,称为零解.若nAr)(,则只有零解；若nAr)(,则有非零解.若nm,则必有非零解,因为此时必有nmAr)(.20例5解线性方程组解.033450622032305432154325432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx这是一个齐次线性方程组，且方程个数小于未知个数，故必有非零解。只需对系数矩阵施以初等行变换。13345622103112311111A143253rrrr622106221062210111112162210622106221011111,000000000062210111112332rrrr24rr.321为任意取值、、，其中ccc求得全部解为35cx3212622cccx24cx13cx32115cccx22例6下面的线性方程组当a、b为何值时有解？在有解解的情况下，求出全部解。bxxxxaxxxxxxxxxxxx4321432143214321574227212baA5117422721111111121426601439903133021111ba231426601439903133021111ba,800005000013111021111ba当8,5ba时，有解。此时一般解为241321221311321cxcxccxcx.21任意、，其中cc24例7当a、b为何值时，线性方程组解4234321321321xbxxxbxxxxax无解?有唯一解?有无穷多解?有无穷多解时求出全部解。1211111bbaA,)1(ab12010111bba当1a且0b时，方程组有唯一解；当0b时，41013101411aA,10003101411a无解;25当1a时，41213114111bbA0012010104111bb201010104111b,2100020104111b如果21b，原方程无解；如果21b时，原方程组有无穷多解，,22321kxxkx其中k为任意常数。26练习：P141习题三