高中数学 精讲优练课型 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换(一)课件 新人教版必修4

3.2简单的三角恒等变换(一)【知识提炼】1.半角公式_____________._____________._____________(无理形式)__________(有理形式).sin2cos2tan2sin1cos1cos21cos21cos1cos1cossin2.常见的三角恒等变换(1)其中tanφ=，φ所在象限由a和b的符号确定.(2)22asinxbcosxabsin(x)(ab0)，ba221cos2xsinxcosx__________2，，1cos2x2sinxcosx__________.1sin2x2【即时小测】1.思考下列问题(1)半角公式对任意角都适用吗？提示：不是对任意角都适用.半角的正切公式中角的终边不能落在x轴的负半轴上.所以α≠2kπ+π，k∈Z.(分母不为零即：1+cosα≠0，cosα≠-1，α≠2kπ+π，k∈Z).1costan21cos(2)半角公式可以应用于任何类型的题目中，这种说法对吗？提示：这种说法是不正确的.半角公式的根式形式一般用于求值，有理式的形式可用来化简或证明，当然也可以用来求值.(3)半角公式与倍角公式二者有什么关系？提示：半角公式与倍角公式的实质是一样的.因为两边同时平方得即符合倍角公式.半角公式从左到右起到一个扩角降幂的作用；从右到左起到一个缩角升幂的作用.1cossin2221cossin22，2cos12sin22.若且α∈(0，π)，则的值为()【解析】选A.因为所以1cos(0)3，且，，cos26663A.BCD3333．．．(0)(0).22，，所以，1cos26cos.22333.已知则等于()【解析】选B.因为所以所以43cos(2)52，，，sin2101033AB.C.3D1010105．．3(2)2，，3()24，，411cos105sin222104.已知则________.【解析】可以运用半角公式，对本题进行求解.因为180°α270°，所以所以所以答案：-23cos1802705，且，tan2901352，tan02，1costan21cos31()5231()55.化简________.【解析】答案：sinsin2coscos122sinsin2sincossin2222coscos12cos1cos1222sin(2cos1)22tan.2cos(2cos1)22tan2【知识探究】知识点半角公式观察如图所示内容，回答下列问题：问题1：如何确定半角的正弦、余弦、正切无理表示式前的符号？问题2：应用半角公式可以解决哪些问题？【总结提升】1.确定半角的正弦、余弦、正切无理表示式前符号的原则(1)如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号.(2)若给出角α的具体范围(即某一区间)时，则先求所在范围，然后再根据所在范围选用符号.(3)如果给出的角α是某一象限角时，则需要根据具体情况确定.222.对半角公式的理解(1)半角公式的正弦、余弦公式是由二倍角公式变形得到的.(2)半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cosα的值及相应α的条件，便可求出.(3)由于及不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件.(4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目时，常用和.2sincostan222，，sintan21cos1costan2sin21cossin2221coscos22【题型探究】类型一三角恒等式求值问题【典例】1.已知则________.2.已知且求的值.52sincos555，，tan28sin17，32，sincostan222，，【解题探究】1.典例1中，应如何确定的象限，从而确定tan的正负？提示：由题中条件可知所以α的终边落在第一象限，的终边落在第一、三象限.而在第一、三象限中的角的正切值均为正值，所以tan0.2.典例2中的求解思路是什么？提示：利用平方关系求出cosα，根据α与之间的关系求解.2252sin0cos5055，，222【解析】1.方法一：所以α的终边落在第一象限，的终边落在第一、三象限.所以故答案：52sin0cos5055，，2tan02，2511cos5tan52.21cos251552方法二：答案：sin2sinsin1cos222tan2sincos2sincos222215552.55522.因为所以因为又所以83sin172，＜＜，15cos.1722cos12sin2cos122，3224＜＜，1511cos41717sin22217，1511cos1717cos22217，sin2tan4.2cos2【方法技巧】解决给值求值问题的思路已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：(1)先化简已知或所求式子.(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手).(3)将已知条件代入所求式子，化简求值.【变式训练】已知α为钝角，β为锐角，且则_________.412sinsin513，，cos2【解析】因为α为钝角，β为锐角，且所以所以又因为所以所以答案：412sinsin513，，35coscos513，，3541233cos()coscossinsin.513513650022，所以，022，3311cos()76565cos.2226576565类型二三角恒等式的化简【典例】1.化简的结果是________.2.化简(-πα0).24cos26sin8sin22(1sincos)(sincos)2222cos【解题探究】1.典例1中，所求的式子次数不同，如何将进行降次运算？提示：利用倍角公式分别逐次降幂.2.是第几象限的角？提示：是第四象限角.24sinsin22和221sincos2sin2sincos222，222cos22sin22，，【解析】1.=cos2α+3(1-cosα)-2(1+cos2α-2cosα)=2cos2α-1+3-3cosα-2-2cos2α+4cosα=cosα答案：cosα24cos26sin8sin2221cos1cos2coscos268242.原式=因为-πα0，所以所以所以原式22(2sin2sincos)(sincos)2222222sin22sin(sincos)(sincos)222222sin222sin(sincos)222sin2sincos2sin2，022，sin02，sincos2cos.sin2【延伸探究】1.(变换条件)若典例2中的式子变为则化简后的值是什么？1sincos(sincos)2222cos（）()22，【解析】原式=所以原式=22(2cos2sincos)(sincos)2222222cos22cos(cossin)(sincos)222222cos222cos(cossin)coscos2222|cos|cos22，cos0224242因，所以，所以，为coscoscoscos22cos.coscos222.(变换条件)若典例2中式子变为则化简后的值为什么？(1sincos)(sincos)22()2222cos＜＜，【解析】原式=因为故原式2222(sincos)(cossin)(sincos)22222222cos22cos(sincos)(sincos)222222cos2cos(cos)2cos2，cos0.224242，所以，所以cos(cos)cos(cos)22cos.coscos22【方法技巧】化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式.(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切.(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等.【补偿训练】1.化简：【解析】原式1sinxcosx.1sinxcosx22xxx2sin2sincos222xxx2cos2sincos222xxx2sin(sincos)222xxx2cos(cossin)222xtan.22.化简【解析】原式222sincos.52tan()cos()442cos22tan()cos()44cos22sin()cos()44cos2cos21.cos2sin(2)2类型三三角恒等式的证明【典例】1.证明：2.若，证明21sin4cos41sin4cos4.2tan1tan321sin1sin2cos.21cos1cos1cos1cos【解题探究】1.典例1中，所证式子左右两边没有任何规律可言，我们在证明时首先应该做什么？提示：运用比例的基本性质，可以发现原式等价于此式右边就是tan2θ.1sin4cos41sin4cos422tan1tan，2.典例2中，角是第几象限角？1+cosα，1-cosα，1+sinα，1-sinα分别如何变形？提示：角是第二象限角.1+cosα=2cos2，1-cosα=2sin2，222221sin(sincos)22，21sin(sincos).22【证明】1.原等式等价于求证而上式左边可见左边等于右边.所以上式成立，即原等式得证.21sin4cos42tantan2.1sin4cos41tan1sin4cos4sin4(1cos4)1sin4cos4sin4(1cos4)222sin2cos22sin22sin2cos22cos22sin2(cos2sin2)2cos2(sin2cos2)tan2，2.因为所以所以左边所以原式得证.332224，所以，cos0sin0.22，22(sincos)(sincos)22222cos2sin2cos2sin222222(sincos)(sincos)22222(cossin)2(sincos)2222sincossincos2222222cos.2右边【方法技巧】三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简.(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子.(3)