线性代数与空间解析几何(哈工大)8

第八章二次型与二次曲面二次型讨论的对象是多元二次齐次函数，这种函数在物理、统计、规划、极值等问题中有广泛的应用．例如在三维空间的几何问题中，一般二次曲面在直角坐标系下表示为三元二次函数，通过对二次型的讨论，可以研究二次曲面的分类.本章主要讨论：1．二次型的理论；2．空间曲面与曲线；3.二次曲面的分类．8.1实二次型8.1.1二次型的定义及矩阵表示1．定义8.1个变量的二次齐次函数称为元二次型，简称二次型.n12,,,nxxx1211(,,,)nnnijijijfxxxaxx2111121211nnaxaxxaxx2212122222nnaxxaxaxx21122nnnnnnnaxxaxxax211112121122nnaxaxxaxx2222223232222nnnnnaxaxxaxxaxn当为实数时，称为实二次型，为复数时为复二次型，本书只讨论实二次型．ijafijaf2．矩阵形式：11121121222212,nnijjinnnnnaaaxaaaxaaaaaxAX则二次型的矩阵形式为为二次型的矩阵,为二次型的秩．12(,,,),nfxxxXAXAf()rAf3．二次型对称阵注：讨论二次型问题，首要的问题是给定二次型能准确地写出二次型的矩阵，反之，给定一个对称阵，会写出以它为矩阵的二次型.这里的关键概念是二次型的矩阵是一个对称矩阵.|~|f对应A例1设二次型试写出二次型的矩阵.（为三元二次型）221212132324fxxxxxxxxff2解：将交叉项的系数即平均分配给及的二次型的系数矩阵为.ijxxijxx()jiijjixxxxxxA11121121202A例２将二次型写成矩阵形式.解：是一个四元二次型，先写出二次型的矩阵1234fxxxxf12341000210002,1000210002xxxxAX121234341000210002(,,,)1000210002xxfxxxxxxXAX例３设，试写出以为矩阵的二次型.分析：是一个3阶对称阵，对应的三元二次型，把与合并后写出二次型.110101011AAAijajia解：设T123(,,)xxxX1T2212321122333110(,,)10122011xfxxxxxxxxxxxXAX8.1.2合同矩阵1．定义8.2（合同）二个阶方阵和，可逆阵，使，则称与合同（Congruent）记成.矩阵合同的定义与矩阵相似的定义很相似，也是阶方阵之间的一种等价关系.即2．合同等价，合同等秩，反之都不成立．但不等秩，则一定不合同.nABCTCACBABABn3．合同关系具有以下性质：（1）自反性：.（2）对称性：则.（3）传递性：，则.（4）与合同，则.可逆，.AAABBA,ABBCACAB()()rrABCTCACB4．（二次型的变换）合同二次型设二次型，经可逆线性变换（可逆）其中，即与合同，仍是对称阵.所以经可逆线性变换后，二次型的对应矩阵是合同的.也可以说：合同的矩阵是同一二次型关于不同变量的矩阵[我们教材是将变量看成个基下的坐标，是一个基到另一个基的过渡矩阵，合同阵是不同基下的矩阵].TfXAXXCYCTTTT()fCYACYYCACYYBYTBCACABBnRC5．实对称阵（不但和对角阵相似，也与对角阵合同）.由于实对称可正交相似对角化.所以存在正交阵，使所以实对称阵都与对角阵合同.换句话说，就是任意实二次型都可通过一个适当的可逆线性变换化成只有平方项而没有混合项.这就引出了二次型的标准形的概念.ΛP1T,PAPPAPΛA2()ixijxx230例4.与矩阵既相似又合同的矩阵是（）（A）.（B）.（C）.（D）.202030202A110340230分析：是实对称矩阵，所以正交阵，使它和一个对角阵既相似又合同，对角阵的对角元恰是的特征值.AA解：的特征值是，与既相似又合同的矩阵是，所以应选（D）.202||030(3)(4)202EAA0,3,4A4308.2化实二次型为标准1．标准二次型：只含有平方项的二次型称为元二次型的一个标准型.不惟一.线性变换为2221122nnyyyαααn设（1）令（1）可变为.但不惟一.（2）当是可逆阵时.（1）式是可逆线性变换.11111221221122221122nnnnnnnnnnxcycycyxcycycyxcycycy1111121222122212,,nnnnnnnnxycccxycccxycccXYCXCYC注1º的秩的标准形中系数不为0的平方项的个数.2º任一个实二次型都可通过可逆线性变换化为标准形.元二次型的标准形不惟一，有三种方法化标准形.n8.2.1用正交变换化实二次型为标准形对于实二次型，最实用的方法是正交变换法，即所作的可逆线性变换中可逆矩阵不只是可逆，还是正交矩阵.这个正交阵的存在是由实对称矩阵的性质决定的，值得注意的是这种方法仅限于实二次型.C定理8.1对元实二次型，正交线性变换：（不惟一），使二次型化为标准形.是的个特征值.nTfXAXXPYf222112212,,,,nnnfyyyAnT()()(),rrrfACACΛf例5用正交线性变换化实二次型为标准形.化成标准形.解：（1）二次型的矩阵为222123121323255448fxxxxxxxxxf222254245A（2）由，得的特征值为.2222||254(1)(10)0245EAA1231,1,10（3）对时，解.即121(1)0EAX122122244000244000所以得同解方程组为得基础解系为.正交化：123223322xxxxxxx12221,00111210βξ∥21221112522(,)4401(,)55101ξββξβββ245单位化：111252111||5500ββ2222452144||45455545ββ当时，由方程组310(10)EAX0即5112108222542225401818011011245099000000得基础解系为，单位化为.13233312xxxxxx3122333132||323得正交阵.22135451423545520345P则注：正交变换不惟一，但正交变换得到的标准形是惟一的.（不考虑对角元的次序时）1T1110PAPPAP8.2.2用配方法化二次型为标准形如果不考虑正交变换，可以用可逆线性变换把二次型化为标准形，得到标准形不是惟一的.f例6用配方法将二次型化为标准形分析：这是只有交叉项没有平方项的二次型，先对用平方差公式.解：令（1）123122313(,,)234fxxxxxxxxx12,xx11221233xyyxyyxy1110110001C则221213231323223344fyyyyyyyyyy22121323227yyyyyy222222113322333377114912(())2(())2224241616yyyyyyyyyy22213233712()2()644yyyyy再令（2）113223337414zyyzyyzy则222123226fzzz所作可逆线性变换为（2）代入（1）得113223337414yzzyzzyz271041014001C可逆.为可逆线性变换.1123212333322xzzzxzzzxz123112112,||0001CCCCC1212()XCYccZccZ8.2.3用初等变换法化二次型为标准形矩阵的初等变换法是对二次型矩阵，构造一个的矩阵，对交替作初等行变换和相应的初等列变换，对作列变换时，同时对作相同的列变换，当化作标准形时，就化作了.这就是作可逆线性变换那个可逆矩阵.对角阵.A2nnAEAAEAECTACACEC例7用初等变换法将下列二次型化为标准形，并求可逆线性变换分析：由于左上角的元素为0，而主对角线上第二个元素不为0，将第一列和第二列变换，同时将第一行和第二行交换，使得左上角元素不为0.T010111011fXX解：010111100100111100011010011101010001100010010011010100111110001001001001由此得标准形所用的可逆线性变换为所以222123fyyy011,110001XCYCT222123fyyyYCY8.3正定实二次型8.3.1实二次型的惯性定律我们知道元二次型都可以通过一个可逆线性变换化为标准形，标准形不唯一，因为用不同的可逆线性变换把同一个实二次型化为标准形时，这些标准形中的系数一般说是不同的.nf但在实可逆线性变换下，同一个实二次型的标准形中的正系数、负系数及零系数的个数是不变的，（实可逆线性变换可以不同），这就是实二次型的惯性定律.定理8.2设元实二次型经实可逆线性变换分别化成标准形nTfXAX12,XCYYCZ及2221122nnfkykyky2221122nnflzlzlz则中正数的个数，负数的个数及0的个数都与中正数的个数，负数的个数及0的个数相同，正数的个数称为的正惯性指数，记为负数的个数称为的负惯性指数，记为.12,,,nkkk12,,,nlllfPf,()rPrrA8.3.2正定二次型对于实二次型有一个特别重要的性质——正定性.1．定义8.3设有元实二次型，如果对且，都有，则称为正定（负定、半正定、半负定）二次型.的矩阵称为正定（负定、半正定、半负定）矩阵.nTfXAXX0nRXT0(0,0,0)fXAXff2．正定阵实对称阵，但反之不一定.3．二次型正定的充要条件：定