数列极限教案

课题：数列的极限一、教育目标(一)知识教学点：（1）理解数列极限的定义，即“ε—N定义”；能说出ε、N的涵义；懂得n与N的区别；会把数列中的某些项画在数轴上，并能从图上看出这个数列的变化趋势。(二)能力培养点：培养学生由具体到抽象、从有限到无限的思维能力，训练类比思维方法，会依据“ε—N定义”及求数列的极限及证明．(三)学科渗透点：通过数列极限概念的教学，使学生懂得无限问题可以转化为有限问题来解决，通过对变量有限过程的研究，来认识变量无限变化过程的辩证思想观点．二、教学分析1．重点：数列极限“ε—N定义”．解决方法：画图、列表，进行直观的“定性描述”；运用类比方法，引进ε、N，用不等式来进行定量描述．2．难点：ε与N的涵义，n与N的区别．解决方法：分析、思考、问答的形式解决．3．疑点：ε的任意性与确定性．解决方法：分析、举例说明．三、活动设计1．活动方式：画图、列表、分析、思考、问答、练习．2．教具：投影仪(或小挂图．)四、教学过程1．数列变化趋势的定性描述：考察两个实例：即两个无穷数列；0.9，0.99，0.999,…,1-n101,…,(1)1,21,41,…,n21,…,(2)容易看出：当项数n无限增大时，数列(1)中的项无限趋近于1，数列(2)中的项无限趋近于0．．数列(1)中各项与1的差的绝对值如下表：出示投影仪(或小挂图)项号n项an该项与1的差绝对值∣an-1∣10.9∣0.9-1∣=0.120.99∣0.99-1∣=0.0130.999∣0.999-1∣=0.00140.9999∣0.9999-1∣=0.000150.99999∣0.99999-1∣=0.0000160.999999∣0.999999-1∣=0.00000170.9999999∣0.9999999-1∣=0.0000001………………………2．数列(1)变化趋势的定量描述：投影1．引进ε、N，即怎样定量描述“数列（1）中的项无限趋近与1,请看：对数列｛1-n101｝（1），无论预先给定的ε多么小，总能在数列（1）中找到这样的一项，使得这一项后面的所有项与1的差的绝对值都小于ε．如给定ε=0.001，数列(1)中存在一项，从投影表中可以看出，即为第三项，对这一项后面的所有项，不等式：︱（1-4101）-1︱=41010.001，︱（1-5101）-1︱=51010.001…皆成立，换句话说，对于任意给定的ε＝0.001，存在自然数N=3，当n＞N时，不等式︱(1-n101)-1︱=n1010.001恒成立。再给定ε=0.000001，情形怎样呢？学生回答:此时，存在自然数N＝6，当n＞N时，不等式︱(1-n101)-1︱=n1010.000001恒成立。类比分析，从具体到抽象，得出：“无论预先给多么小的正数ε，总存在着这样的自然数N，当n＞N时，不等式︱(1-n101)-1︱=n101ε恒成立．”事实上，无论预先给定多么小的正数ε，确实存在着这样的自然数N．这时，可以说数列(1)的极限是1.3．数列极限的定义：设有数列{an}，如果存在常数A,使得预先给定的无论怎样小的正数ε，总存在正整数N，只要n＞N,所对应的an就都满足不等式：︱an-A︱ε，此时，就把常数A叫着数列{an}的极限．记作nliman=A,读作“当n趋向于无穷大时，an的极限等于A”上述定义可简述为：任给ε＞0，如果总存在自然数N，当n＞N时，不等式︱an-A︱ε恒成立，就说数列{an}的极限是A，注：nliman=A有时也可以记作当n→∞时，an→A.从数列的极限定义可以看出，数列{an}以A为极限，当n无限增大时，数列{an}中的项无限趋近于A，即an与A的差的绝对值无限趋近于零。4．举例例1．已知数列：21，32，43，…,1nn,…（1）计算∣an-1∣.（2）第几项后面所有项与1的差的绝对值都小于1001？什么时候都小于任意给定的正数ε？(3)确定这个数列的极限．解：（1）∣an-1∣=︱1nn-1︳=︱11n︱=11n（2）要使11n100，就要使n+1＞100,即n＞99,就是说，第99项后面的所有项与1的差的绝对值都小于1001。要使∣an-1∣ε，即要11nε，即n＞1-1,取N=[1-1]，那么第N项后面的所有项与1的差的绝对值都小于ε．（3）因为ε＞0，存在N，当n＞N时，∣an-1∣ε恒成立所以nliman=1，即这个数列的极限为1.例2．求证常数数列，－a，－a，－a，…的极限．解：任意给定ε＞0，总存在自然数N(不妨取N＝1)，当n＞N时，不等式：|－a－(－a)|=0＜ε恒成立所以nlim（-a）=-a例3.已知an=2)1()1(nn，证明数列an的极限是零.证任意给定ε＞0（设0＜ε＜1）因为∣an-0∣=︱2)1()1(nn-0︱=2)1(1n＜11n要使∣an-1∣ε，只要11n＜ε即n＞1-1.因此可取N=[1-1]，则当n＞N时就有，︱2)1()1(nn-0︱＜ε即nlim2)1()1(nn=0例3.求证：数列{121nn}的极限时21证︱121nn-21︱=︱)12(2)12(22nnn︱=241n欲使︱121nn-21︱＜ε，只需解不等式241n＜ε，即4n+2＞1，解得n＞2141,取N=[2141]，当n＞N时就有：︱121nn-21︱＜ε恒成立。数列的极限是21，即nlim121nn=215．关于“ε—N定义”的两点说明(1)ε与N的关系：从例1、例3可以看出：对于预先任意给定ε＞0，为找到这样的自然数，使当n＞N时，︱an-A︱ε恒成立，把ε看作已知数，从解不等式︱an-A︱ε入手，然后再确定N，如要确定数列{1-n101}的第几项后面的所有项与1的差的绝对值小于任意给定的正数ε，解不等式︱(1-n101)-1︱=n101＜ε可得n＞㏑1(可令ε＜1)取N=[㏑1]，当n＞N是时，︱(1-n101)-1︱＜ε恒成立.即：如果已知数列{an}的极限是A，对任意给定的ε＞0，总可以求出N，从这个意义上说，可以把N看作ε的函数，所以有时把N记作N(ε)．（2）an与A的关系：数列{an}的极限是A，an可能比A小而无限趋近于A，如数列{1-n101}；an也可能比A大而无限趋近于A，如数列{(-1)nn21}；an也可能等于A；如常数数列{－7}．6．消除疑点ε的绝对任意性和相对的确定性：(1)就极限的全过程来说，ε必须具有绝对的任意性.只有这样，当n＞N时，︱an-A︱ε恒成立，才能表明{an}无限趋近于A，（2）就极限全过程的某一阶段来说，ε又是具体给定的，即相对确定性，如取ε＝0.1，ε=0.01，ε=0.001,…这样有不等式︱an-A︱0.1，︱an-A︱0.01，︱an-A︱0.001；等等都成立。表明数列{an}趋近A的无限过程。Ε的绝对任意性是通过无限多个相对确定性表示出来的．7．数列极限的存在性并不是每个数列都有极限．反例：①如数例{n}不存在极限，因为当项数n无限增大时，数列中的项n也无限增大，反例：（2）如数例{(-1)n}，当项数n无限增大时，即n→∞，数列中的项(-1)n时而为（-1），时而为1，所以这个数列不存在极限。9．总结对照板书的设计内容，强调讲述：(1)数列极限的“ε—N定义”．（2）ε与N的关系：当{an}极限存在时，对任意给定ε＞0，总可以通过解不等式︱an-A︱ε，来确定N，从这点而言，可以把ε的函数(3)ε的绝对任意性和相对确定性的辩证关系的理解(4)会依据“ε—N”定义，求证简单数列的极限．五、布置作业1.已知数列4-101，4-201，4-301，…,4-n101,…（1）计算∣an-4∣.(2)第几项后面所有项与4的差绝对值都小于0.01？都小于任意指定的正数ε？(3)确定这个数列的极限．解（1）∣an-4∣=I4-n101-4I=n101（2）解不等式∣an-4∣0.01，即In101I0.01，解得n＞10，所以，第10向后面的所有项与4的差的绝对值都小于0.01；解不等式∣an-4∣ε，即n101ε可得n＞101.取N为101的整数部分，N=[101]，所以，第N项后面的所有项与4的差的绝对值都小于任意指定的正数ε．(3)由(2)可知，这个数列的极限为4．2.证明：等比数列1,q,q2,…,q1n,…当∣q∣1时的极限是0.证任意给定ε＞0设（0ε1）因为∣an-0∣=∣q1n-0∣=∣q∣1n，要使∣an-0∣ε，只要∣q∣1nε取自然对数得（n-1）㏑∣q∣㏑ε，因∣q∣1则㏑∣q∣0，故n＞1+(㏑ε)/㏑∣q∣.取N=[1+(㏑ε)/㏑∣q∣],当n＞N时，就有∣q1n-0∣ε，即nlimq1n=03．求证：数列{2312nn}的极限是32证任意给定ε＞0，因为∣an-32∣=∣2312nn-32∣=∣)23(3)23(236nnn∣=∣691n∣=691n，要使∣an-32∣ε，只需解不等式691nε，即9n+61,解得n91-32取N=[91-32]所以，对任意给定ε＞0，总存在自然数N=[91-32]，当nN时，不等式∣2312nn-32∣ε恒成立.所以，数列数列{2312nn}的极限是32，即nlim2312nn=324.先求数列{0.11…1}的极限，再用“ε—N定义”证明．解：na=101+2101+…+n101=)1011(91n,由上式可知数列的极限为91，即nlimna=nlim)1011(91n=91下面用ε－N定义证明之任给定ε＞0，︱na-91︱=︱)1011(91n-91︱=n1091，要使︱na-91︱ε，只需n1091ε解不等式n10＞91，即n=㏑91取N=[91]，当n＞N时，︱na-91︱ε恒成立所以nlimna=nlim)1011(91n=91.六、板书设计数列的极限数列极限的定义例题解答1.无穷数列变化趋势的定性描述与定量描述2.“ε—N定义3.“ε—N定义”的两点说明4.ε的任意性与确定性的辩证关系5.数列极限不存在的反例总结1.数列极限的定义2.ε与N的关系3.ε的任意性与确定性4.用定义验证数列的极限张香丽