2012高三数学二轮复习 第一篇 专题3 第1课时等差数列、等比数列课件 理

•第1课时等差数列、等比数列1．等差数列(1)定义式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．(2)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(3)前n项和公式：Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－1d2.(4)等差中项公式：2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)．(5)性质：①an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．②若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．•(4)等比中项公式：an2＝an－1an＋1(n∈N*，n≥2)．•(5)性质：①an＝amqn－m(n，m∈N*)．•②若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq(p，q，m，n∈N*).2．等比数列(1)定义式：an＋1an＝q(n∈N*，q为非零常数)．(2)通项公式：an＝a1qn－1.(3)前n项和公式：Sn＝na1，q＝1，a11－qn1－q，q≠1.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N*.(1)证明：{an－1}是等比数列；(2)求Sn.解析：(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝1－5a1－85，解得a1＝－14，则a1－1＝－15.当n≥2时，Sn－1＝(n－1)－5an－1－85，∴an＝Sn－Sn－1＝1－5an＋5an－1，∴6an＝5an－1＋1，即an－1＝56(an－1－1)，∴{an－1}是首项为－15，公比为56的等比数列．(2)an－1＝－15·56n－1，∴Sn＝n－51－15·56n－1－85＝n＋75·56n－1－90.判定或证明数列{an}为等差数列或等比数列的两种基本方法：(1)定义法an＋1－an＝d(d为常数)⇔{an}为等差数列；an＋1an＝q(q为非零常数)⇔{an}为等比数列．(2)中项公式法2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列；an＋12＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)⇔{an}为等比数列．1．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋an＋12，n∈N*.令bn＝an＋1－an，证明：数列{bn}是等比数列．证明：b1＝a2－a1＝1，当n≥2时，bn＝an＋1－an＝an－1＋an2－an＝－12(an－an－1)＝－12bn－1，∴数列{bn}是首项为1，公比为－12的等比数列．设数列{an}是一等差数列，数列{bn}的前n项和为Sn＝23(bn－1)，若a2＝b1，a5＝b2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和Sn.解析：(1)∵S1＝23(b1－1)＝b1，∴b1＝－2，又S2＝23(b2－1)＝b1＋b2＝－2＋b2，∴b2＝4，∴a2＝－2，a5＝4，∵数列{an}为一等差数列，∴公差d＝a5－a23＝63＝2，即an＝－2＋(n－2)·2＝2n－6.(2)∵Sn＋1＝23(bn＋1－1)①，Sn＝23(bn－1)②，①－②得Sn＋1－Sn＝23(bn＋1－bn)＝bn＋1，∴bn＋1＝－2bn，∴数列{bn}是一等比数列，公比q＝－2，b1＝－2，即bn＝(－2)n.∴Sn＝23[(－2)n－1]．在等差数列或等比数列中，已知五个元素a1、an、d(q)、n、Sn中的任意三个，运用方程的思想，便可求出其余的两个，即“知三求二”问题．在解题中应本着“化多为少”的原则，抓住首项a1和公差d(或公比q)．在求首项a1和公差d(或公比q)时，定义是经常用到的，即an－an－1＝d或anan－1＝q(n≥2)．•2．已知等差数列{an}的前4项的和为10，且a2，a3，a7成等比数列．•(1)求通项公式an；•(2)设bn＝2an，求数列{bn}的前n项的和Sn.解析：(1)由已知4a1＋6d＝10，a1＋2d2＝a1＋da1＋6d，解得a1＝－2，d＝3，或a1＝52，d＝0.∴an＝3n－5或an＝52.(2)当an＝3n－5时，数列{bn}是首项为14，公比为8的等比数列，Sn＝141－8n1－8＝8n－128；当an＝52时，Sn＝252·n，综上，当an＝3n－5时，Sn＝8n－128；当an＝52时，Sn＝252·n.•(1)在等差数列{an}中，若a1，a2011为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a2＋a1006＋a2010＝()•A．10B．15•C．20D．40(2)在等比数列{an}中，若a5＋a6＝a(a≠0)，a15＋a16＝b，则a25＋a26的值是()A.baB.b2a2C.b2aD.ba2•答案：(1)B(2)C解析：(1)由题意，知a1＋a2011＝a2＋a2010＝2a1006＝10，所以a2＋a1006＋a2010＝15，故选B.(2)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，依题意，得a15＋a16＝a5q10＋a6q10＝q10(a5＋a6)，即q10＝a15＋a16a5＋a6＝ba(a≠0)．于是，a25＋a26＝q20(a5＋a6)＝(ba)2·a＝b2a.故选C.•1．等差数列{an}的常用性质•(1)an＝am＋(n－m)d(当m＝1时，即为等差数列的通项公式)．•(2)若m＋n＝p＋q，即am＋an＝ap＋aq.•(3)当m＋n＝2p，即am＋an＝2ap.•(4)若am＝n，an＝m，则am＋n＝0；•若Sm＝n，Sn＝m，则Sm＋n＝－(m＋n)．•(5)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，仍成等差数列•2．等比数列{an}的常用性质•(1)an＝amqn－m(m＝1时即为等比数列的通项公式)．•(2)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq.•(3)若m＋n＝2p，则aman＝ap2.•(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，仍成等比数列，且公比为qn.•3．(1)已知等差数列{an}满足2a2－a72＋2a12＝0，且数列{bn}是等比数列，若b7＝a7，则b5b9＝()•A．2B．4•C．8D．16•(2)设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是()•A．X＋Z＝2YB．Y(Y－X)＝Z(Z－X)•C．Y2＝XZD．Y(Y－X)＝X(Z－X)•解析：(1)∵2a2－a72＋2a12＝0，•∴2(a2＋a12)－a72＝4a7－a72＝0，•∴a7＝4或a7＝0.•又b7＝a7，数列{bn}是等比数列，•∴b7＝a7＝4，•∴b5b9＝b72＝16，故选D.•(2)由题意知Sn＝X，S2n＝Y，S3n＝Z.•又∵{an}是等比数列，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n为等比数列，•即X，Y－X，Z－Y为等比数列，•∴(Y－X)2＝X·(Z－Y)，•即Y2－2XY＋X2＝ZX－XY，•∴Y2－XY＝ZX－X2，•即Y(Y－X)＝X(Z－X)，•∴选D.答案：(1)D(本小题共12分)(2011·湖北卷)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列Sn＋54是等比数列．解析：(1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.1分所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)．故{bn}的第3项为5，公比为2.3分由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝54.4分所以{bn}是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝54·2n－1＝5·2n－3.6分(2)证明：数列{bn}的前n项和Sn＝541－2n1－2＝5·2n－2－54，8分即Sn＋54＝5·2n－2.9分所以S1＋54＝52，Sn＋1＋54Sn＋54＝5·2n－15·2n－2＝2.11分因此Sn＋54是以52为首项，为公比2的等比数列.12分•1．易错提示•考生在解答本题中，其错误为：•(1)计算出错；•(2)把b3，b4，b5误认为b1，b2，b3；•(3)未舍去d＝－13.•2．正确引导•解决数列解答题，要注意以下几个方面：•(1)规范审题，明确条件和结论，杜绝思维定势；•(2)语言叙述，解题过程要规范，必要的步骤必须有，可有可无的不要有.课时作业返回目录