2014 步步高 数学 大一轮 第四章4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数

§4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数数学RA（理）第四章三角函数、解三角形基础知识题型分类思想方法练出高分1.角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内的绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的；②分类：角按旋转方向分为、和．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是．(3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限．(1)不少同学往往容易把“小于90°的角”等同于“锐角”，把“0°～90°的角”等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0°α90°}，第一象限角的集合为{α|k·360°αk·360°＋90°，k∈Z}．(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．基础知识·自主学习1.对角概念的理解要准确难点正本疑点清源要点梳理一条射线图形正角负角零角S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}基础知识题型分类思想方法练出高分2.弧度制(1)定义：把长度等于长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是，负角的弧度数是，零角的弧度数是．(2)角度制和弧度制的互化:180°＝rad,1°＝rad,1rad＝.(3)扇形的弧长公式：l＝，扇形的面积公式：S＝＝.三角函数也是一种函数，它可以看成是从一个角(弧度制)的集合到一个比值的集合的函数，也可以看成是以实数为自变量的函数，定义域为使比值有意义的角的范围．如tanα＝yx有意义的条件是角α终边上任一点P(x，y)的横坐标不等于零，也就是角α的终边不能与y轴重合，故正切函数的定义域为α|α≠kπ＋π2，k∈Z.基础知识·自主学习2.对三角函数的理解要透彻难点正本疑点清源要点梳理半径正数负数零π180π180π°|α|·r12lr12|α|·r2基础知识题型分类思想方法练出高分三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sinαR＋＋－－cosαR＋－－＋tanα＋－＋－3.任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sinα＝，cosα＝，tanα＝yx.三个三角函数的初步性质如下表：(1)正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下为负．(2)余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负．(3)当角α的终边在x轴上时，点T与点A重合，此时正切线变成了一个点，当角α的终边在y轴上时，点T不存在，即正切线不存在．(4)在“数”的角度认识任意角的三角函数的基础上，还可以从图形角度考察任意角的三角函数，即用有向线段表示三角函数值，这是三角函数与其他基本初等函数不同的地方．基础知识·自主学习3.三角函数线是三角函数的几何表示难点正本疑点清源要点梳理yx{α|α≠kπ＋π2，k∈Z}基础知识题型分类思想方法练出高分4.三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.(1)正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下为负．(2)余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负．(3)当角α的终边在x轴上时，点T与点A重合，此时正切线变成了一个点，当角α的终边在y轴上时，点T不存在，即正切线不存在．(4)在“数”的角度认识任意角的三角函数的基础上，还可以从图形角度考察任意角的三角函数，即用有向线段表示三角函数值，这是三角函数与其他基本初等函数不同的地方．基础知识·自主学习3.三角函数线是三角函数的几何表示难点正本疑点清源要点梳理三角函数线(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ)有向线段为正弦线；有向线段为余弦线；有向线段为正切线MPOMAT动画展示基础知识题型分类思想方法练出高分题号答案解析12345-8CC基础知识·自主学习基础自测C(－1，3)基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】(1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；(2)若角θ的终边与67π角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角；(3)已知角α是第一象限角，试确定2α、α2所在的象限．题型分类·深度剖析题型一角的有关问题思维启迪解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一角的有关问题利用终边相同的角进行表示或判断；根据角的定义可以把角放在坐标系中确定所在象限．思维启迪解析探究提高【例1】(1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；(2)若角θ的终边与67π角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角；(3)已知角α是第一象限角，试确定2α、α2所在的象限．基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】(1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；(2)若角θ的终边与67π角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角；(3)已知角α是第一象限角，试确定2α、α2所在的象限．题型分类·深度剖析题型一角的有关问题解(1)终边在直线y＝3x上的角的集合为{α|α＝kπ＋π3，k∈Z}．(2)所有与67π角终边相同的角的集合是{θ|θ＝67π＋2kπ，k∈Z}，∴所有与θ3角终边相同的角可表示为θ3＝27π＋23kπ，k∈Z.思维启迪解析探究提高∴在[0,2π)内终边与θ3角终边相同的角有27π，2021π，3421π.(3)∵2kπα2kπ＋π2，k∈Z，∴4kπ2α4kπ＋π，kπα2kπ＋π4，k∈Z.∴2α在第一或第二象限或终边在y轴非负半轴上，α2角终边在第一或第三象限．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一角的有关问题所有与α角终边相同的角(连同角α在内)，可以表示为β＝k·360°＋α，k∈Z；在确定α角所在象限时，有时需要对整数k的奇、偶情况进行讨论．思维启迪解析探究提高【例1】(1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；(2)若角θ的终边与67π角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角；(3)已知角α是第一象限角，试确定2α、α2所在的象限．基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练1已知角α＝45°，(1)在区间[－720°，0°]内找出所有与角α有相同终边的角β；(2)设集合M＝x|x＝k2×180°＋45°，k∈Z，N＝x|x＝k4×180°＋45°，k∈Z，那么两集合的关系是什么？解(1)所有与角α有相同终边的角可表示为题型分类·深度剖析β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°≤0°，得－765°≤k×360°≤－45°，解得－765360≤k≤－45360，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.(2)因为M＝{x|x＝(2k＋1)×45°，k∈Z}表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合N＝{x|x＝(k＋1)×45°，k∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：MN.基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】已知角α的终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cosα＝36x，求sinα＋1tanα的值．题型分类·深度剖析题型二三角函数的定义思维启迪解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二三角函数的定义先根据任意角的三角函数的定义求x，再求sinα＋1tanα的值．思维启迪解析探究提高【例2】已知角α的终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cosα＝36x，求sinα＋1tanα的值．基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】已知角α的终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cosα＝36x，求sinα＋1tanα的值．题型分类·深度剖析题型二三角函数的定义解∵P(x，－2)(x≠0)，∴点P到原点的距离r＝x2＋2.思维启迪解析探究提高又cosα＝36x，∴cosα＝xx2＋2＝36x.∵x≠0，∴x＝±10.∴r＝23.当x＝10时，P点坐标为(10，－2)，由三角函数的定义，有sinα＝－223＝－66，1tanα＝10－2＝－5，∴sinα＋1tanα＝－66－5＝－65＋66；当x＝－10时，同理可求得sinα＋1tanα＝65－66.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二三角函数的定义任意角的三角函数值与终边所在的位置有关，与点在终边上的位置无关，故要首先判定P点所在的象限，确定r，最后根据定义求解．思维启迪解析探究提高【例2】已知角α的终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cosα＝36x，求sinα＋1tanα的值．基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练2已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上,求sinα，cosα，tanα的值．题型分类·深度剖析解∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，则x＝4t，y＝－3t，r＝x2＋y2＝4t2＋－3t2＝5|t|，当t0时，r＝5t，sinα＝yr＝－3t5t＝－35，cosα＝xr＝4t5t＝45，tanα＝yx＝－3t4t＝－34；当t0时，r＝－5t，sinα＝yr＝－3t－5t＝35，cosα＝xr＝4t－5t＝－45，tanα＝yx＝－3t4t＝－34.综上可知，sinα＝－35，cosα＝45，tanα＝－34或sinα＝35，cosα＝－45，tanα＝－34.基础知识题型分类思想方法练出高分【例3】(1)若θ是第二象限角，试判断sincosθcossin2θ的符号；(2)已知cosα≤－12，求角α的集合．题型分类·深度剖析题型三三角函数线、三角函数值的符号思维启迪解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型三由θ所在象限，可以确定sinθ、cosθ的符号；解三角不等式，可以利用三角函数线．思维启迪解析探究提高三角函数线、三角函数值的符号【例3】(1)若θ是第二象限角，试判断sincosθcossin2θ的符号；(2)已知cosα≤－12，求角α的集合．基础知识题型分类思想方法练出高分【例3】(1)若θ是第二象限角，试判断sincosθcossin2θ的符号；(2)已知cosα≤－12，求角α的集合．题型分类·深度剖析题型三思维启迪解析探究提高解(1)∵2kπ＋π2θ2kπ＋π(k∈Z)，∴－1cosθ0,4kπ＋π2θ4kπ＋2π(k∈Z)，三角函数线、三角函数值的符号－1≤sin2θ0，∴sin(cosθ)0，cos(sin2θ)0.∴sincosθcossin2θ0.∴sincosθcossin2θ的符号是负号．(2)作直线x＝－12交单位圆于C、D两点，连接OC、OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋23π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z}．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型三(1)熟练掌握三角函数在各象限的符号．(2)利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤：①用边界值定出角的终边位置；②根据不等式(组)定出角的范围；③求交集，找单位圆中公共的部分；④写出角的表达式．思维启迪解析探究提高三角函数线、三角函数值的符号【例3】(1)若θ是第二象限角，试判断sincosθcossin2θ的符号；(2)已知cosα≤－12，求角α的集合．基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练3(1)y＝sinx－32的定义域为_______________________．(2)已知sin2θ0，且|cosθ|＝－cosθ，则点P(tanθ，cosθ)在第几象限？(1)解析∵sinx≥32，作直线y＝32交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为{x|2kπ＋π3≤x≤2kπ＋23π，k∈Z}．题型分类·深度剖析{x|2kπ＋π