2014 步步高 数学 大一轮 第四章4.5 两角和与差的正弦、余弦、正切

§4.5两角和与差的正弦、余弦、正切数学RA（理）第四章三角函数、解三角形基础知识题型分类思想方法练出高分1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(Cα－β)cos(α＋β)＝(Cα＋β)sin(α－β)＝(Sα－β)sin(α＋β)＝(Sα＋β)tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ(Tα－β)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ(Tα＋β)(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．基础知识·自主学习三角变换中的“三变”难点正本疑点清源要点梳理cosαcosβ－sinαsinβsinαcosβ－cosαsinβsinαcosβ＋cosαsinβ基础知识题型分类思想方法练出高分2．二倍角公式sin2α＝；cos2α＝＝＝；tan2α＝.(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．基础知识·自主学习三角变换中的“三变”难点正本疑点清源要点梳理2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α2tanα1－tan2α基础知识题型分类思想方法练出高分3．在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如Tα±β可变形为tanα±tanβ＝，tanαtanβ＝＝.(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．基础知识·自主学习三角变换中的“三变”难点正本疑点清源要点梳理tan(α±β)(1∓tanαtanβ)1－tanα＋tanβtanα＋βtanα－tanβtanα－β－1基础知识题型分类思想方法练出高分4．函数f(α)＝acosα＋bsinα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝或f(α)＝，其中φ可由a，b的值唯一确定．(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．基础知识·自主学习三角变换中的“三变”难点正本疑点清源要点梳理a2＋b2sin(α＋φ)a2＋b2cos(α－φ)基础知识题型分类思想方法练出高分题号答案解析12345基础知识·自主学习基础自测17250713－π8＋kπ，3π8＋kπ(k∈Z)BA基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一三角函数式的化简、求值问题思维启迪解析探究提高【例1】(1)化简：1tanα2－tanα2·1＋tanα·tanα2；(2)求值：[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin280°.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一切化弦；注意角之间的联系及转化．思维启迪解析探究提高三角函数式的化简、求值问题【例1】(1)化简：1tanα2－tanα2·1＋tanα·tanα2；(2)求值：[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin280°.基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】(1)化简：1tanα2－tanα2·1＋tanα·tanα2；(2)求值：[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin280°.题型分类·深度剖析题型一解(1)1tanα2－tanα2·1＋tanα·tanα2＝cosα2sinα2－sinα2cosα2·1＋sinαcosα·sinα2cosα2思维启迪解析探究提高三角函数式的化简、求值问题＝cos2α2－sin2α2sinα2cosα2·cosαcosα2＋sinαsinα2cosαcosα2＝2cosαsinα·cosα2cosαcosα2＝2sinα.基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】(1)化简：1tanα2－tanα2·1＋tanα·tanα2；(2)求值：[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin280°.题型分类·深度剖析题型一(2)原式＝2sin50°＋sin10°×cos10°＋3sin10°cos10°·2sin80°＝2sin50°＋2sin10°×12cos10°＋32sin10°cos10°×2cos10°思维启迪解析探究提高三角函数式的化简、求值问题＝22[sin50°·cos10°＋sin10°·cos(60°－10°)]＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝6.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有①化为特殊角的三角函数值；②化为正、负相消的项，消去求值；③化分子、分母出现公约数进行约分求值．思维启迪解析探究提高三角函数式的化简、求值问题【例1】(1)化简：1tanα2－tanα2·1＋tanα·tanα2；(2)求值：[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin280°.基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练1在△ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tanA2＋tanC2＋3tanA2tanC2的值为________．题型分类·深度剖析解析因为三个内角A，B，C成等差数列，且A＋B＋C＝π，所以A＋C＝2π3，A＋C2＝π3，tanA＋C2＝3，所以tanA2＋tanC2＋3tanA2tanC2＝tanA2＋C21－tanA2tanC2＋3tanA2tanC2＝31－tanA2tanC2＋3tanA2tanC2＝3.3基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】(1)已知0βπ2απ，且cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．题型分类·深度剖析题型二三角函数的给角求值与给值求角问题思维启迪解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二(1)拆分角：α＋β2＝α－β2－α2－β，利用平方关系分别求各角的正弦、余弦．(2)2α－β＝α＋(α－β)；α＝(α－β)＋β.思维启迪解析探究提高三角函数的给角求值与给值求角问题【例2】(1)已知0βπ2απ，且cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】(1)已知0βπ2απ，且cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．题型分类·深度剖析题型二解(1)∵0βπ2απ，∴－π4α2－βπ2，π4α－β2π，思维启迪解析探究提高三角函数的给角求值与给值求角问题∴cosα2－β＝1－sin2α2－β＝53，sinα－β2＝1－cos2α－β2＝459，∴cosα＋β2＝cosα－β2－α2－β＝cosα－β2cosα2－β＋sinα－β2sinα2－β＝－19×53＋459×23＝7527，基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】(1)已知0βπ2απ，且cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．题型分类·深度剖析题型二∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.思维启迪解析探究提高三角函数的给角求值与给值求角问题(2)∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝12－171＋12×17＝130，∴0απ2，又∵tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－132＝340，∴02απ2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ＝34＋171－34×17＝1.∴π2βπ，－π2α－β0，∴2α－β＝－3π4.∵tanβ＝－170，基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二思维启迪解析探究提高三角函数的给角求值与给值求角问题【例2】(1)已知0βπ2απ，且cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．(1)注意变角α－β2－α2－β＝α＋β2，可先求cosα＋β2或sinα＋β2的值．(2)先由tanα＝tan[(α－β)＋β]，求tanα的值，再求tan2α的值，这种方法的优点是可确定2α的取值范围．(3)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦较好．(4)解这类问题的一般步骤：①求角的某一个三角函数值；②确定角的范围；③根据角的范围写出所求的角．基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练2已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0βαπ2，求β.题型分类·深度剖析解∵0βαπ2，∴0α－βπ2.又∵cos(α－β)＝1314，cosα＝17，0βαπ2，∴sinα＝1－cos2α＝437，∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝3314，∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.∵0βπ2，∴β＝π3.基础知识题型分类思想方法练出高分【例3】已知f(x)＝1＋1tanxsin2x－2sinx＋π4·sinx－π4.(1)若tanα＝2，求f(α)的值；(2)若x∈