搜索
指数函数、对数函数、幂函数单元复习与巩固撰稿：刘杨审稿：严春梅责编：丁会敏一、知识框图二、目标认知学习目标1.指数函数(1)通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景；(2)理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.(3)理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；(4)在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。2.对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；(2)通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3.反函数知道指数函数与对数函数互为反函数(a＞0，a≠1).4.幂函数(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数的图象，了解它们的变化情况.重点指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理.难点指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质.三、知识要点梳理知识点一：指数及指数幂的运算1.根式的概念的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.2.n次方根的性质：(1)当为奇数时，；当为偶数时，(2)3.分数指数幂的意义：；注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.4.有理数指数幂的运算性质：(1)(2)(3)知识点二：指数函数及其性质1.指数函数概念一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.2.指数函数函数性质：函数名称指数函数定义函数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小.知识点三：对数与对数运算1.对数的定义(1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数.(2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：.2.几个重要的对数恒等式，，.3.常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).4.对数的运算性质如果，那么①加法：②减法：③数乘：④⑤⑥换底公式：知识点四：对数函数及其性质1.对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.2.对数函数性质：函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.知识点五：反函数1.反函数的概念设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子.如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成.2.反函数的性质(1)原函数与反函数的图象关于直线对称.(2)函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域.(3)若在原函数的图象上，则在反函数的图象上.(4)一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数.3.反函数的求法(1)确定反函数的定义域，即原函数的值域；(2)从原函数式中反解出；(3)将改写成，并注明反函数的定义域.知识点六：幂函数1.幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.2.幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点.(3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数.如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.(4)奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数.当(其中互质，和)，若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数.(5)图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方.四、规律方法指导思维总结1．（其中）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同底；2．要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验；3．解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识；4．指数、对数函数值的变化特点是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析；5．含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类；6．在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力.指数函数、对数函数、幂函数综合练习撰稿：江用科审稿：严春梅责编：丁会敏综合练习基础达标一、选择题1．下列函数与有相同图象的一个函数是()A．B．C．D．2．下列函数中是奇函数的有几个()①②③④A．1B．2C．3D．43．函数与的图象关于下列那种图形对称()A．轴B．轴C．直线D．原点中心对称4．已知，则值为()A．B．C．D.5．（2011江西文3）若，则的定义域为()A．B．C．D．6．三个数的大小关系为()A.B.C．D.7．若，则的表达式为()A．B．C．D．二、填空题8．从小到大的排列顺序是________________________.9．化简的值等于__________.10．计算：=____________.11．已知，则的值是_____________.12．方程的解是_____________.13．函数的定义域是______；值域是______.14．判断函数的奇偶性____________.三、解答题15．已知求的值.16．计算的值.17．已知函数,求函数的定义域，并讨论它的奇偶性、单调性.18.(1)求函数的定义域；(2)求函数的值域.综合训练一、选择题1．若函数在区间上的最大值是最小值的倍，则的值为()A．B．C．D．2．若函数的图象过两点和，则()A．B．C．D．3．已知，那么等于()A．B．8C．18D．4．函数()A．是偶函数，在区间上单调递增B．是偶函数，在区间上单调递减C．是奇函数，在区间上单调递增D．是奇函数，在区间上单调递减5．（2011辽宁理9）设函数f(x)＝则满足的的取值范围是（）A．B．C．D．6．函数在上递减，那么在上()A．递增且无最大值B．递减且无最小值C．递增且有最大值D．递减且有最小值二、填空题7．若是奇函数，则实数=_________.8．函数的值域是__________.9．已知则用表示____________.10．设,,且，则____________；____________.11．计算：____________.12．函数的值域是__________.三、解答题13．比较下列各组数值的大小：(1)和；(2)和；(3).14．解方程：(1)；(2).15．已知当其值域为时，求的取值范围.16．已知函数，求的定义域和值域.能力提升一、选择题1．函数上的最大值和最小值之和为，则的值为()A．B．C．2D．42．已知在上是的减函数，则的取值范围是()A.B.C.D.3．对于，给出下列四个不等式①②③④其中成立的是()A．①与③B．①与④C．②与③D．②与④4．设函数，则的值为()A．1B．-1C．10D．5．定义在上的任意函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数之和，如果，那么()A．，B．，C．，D．，6．若,则()A．B．C．D．二、填空题7．若函数的定义域为，则的范围为__________.8．若函数的值域为，则的范围为__________.9．函数的定义域是______；值域是______.10．若函数是奇函数，则为__________.11．求值：__________.三、解答题12．解方程：(1)(2)13．求函数在上的值域.14．已知，,试比较与的大小.15．已知，⑴判断的奇偶性；⑵证明．答案与解析基础达标一、选择题1.D，对应法则不同；；.2.D对于，为奇函数；对于，显然为奇函数；显然也为奇函数；对于，，为奇函数.3.D由得，即关于原点对称.4.B.5.C.6.D当范围一致时，；当范围不一致时，注意比较的方法，先和比较，再和比较.7.D由得.二、填空题8．，而.9.16.10.-2原式.11.0，.12.-1.13.；.14.奇函数三、解答题15．解：.16．解：原式17．解：且，且，即定义域为；为奇函数；在上为减函数.18．解：(1)，即定义域为；(2)令，则，，即值域为.综合训练一、选择题1.A.2.A且.3.D令.4.B令，即为偶函数；令时，是的减函数，即在区间上单调递减.5.D不等式等价于或，解不等式组，可得或，即，故选D.6.A令，是的递减区间，即，是的递增区间，即递增且无最大值.二、填空题7..(另法)：，由得，即.8.而.9..10.-1，-1∵∴又∵∴，∴.11..12.，.三、解答题13．解：(1)∵，∴；(2)∵，∴；(3)∴14．解：(1)；(2)15．解：由已知得即得即，或∴，或.16．解：，即定义域为；，即值域为.能力提升一、选择题1.B当时与矛盾；当时.2.B令是的递减区间，∴而须恒成立，∴，即，∴.3.D由得②和④都是对的.4.A.5.C.6.C.二、填空题7.恒成立，则，得.8.须取遍所有的正实数，当时，符合条件；当时，则，得，即.9.；10.2.11.19.三、解答题12．解：(1)，得或，经检验为所求；(2)，经检验为所求.13．解：而，则当时，；当时，∴值域为.14．解：，当，即或时，；当，即时，；当，即时，.15．解：(1)，为偶函数；(2)，当，则，即；当，则，即，∴.高考题萃1.(北京文、理)函数的反函数的定义域为()A.B.C.D.2.(全国2理)以下四个数中的最大者是()A.(ln2)2B.ln(ln2)C.lnD.ln23.（2011湖北理2）已知，则＝A．B．C．D．4.(江苏)设是奇函数，则使的的取值范围是()A.B.C.D.5.(天津理)设均为正数，且则()A.B.C.D.6.（2011北京文3）如果，那么A.B.C.D.7.(山东理)设a{－1，1，，3}，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为()A.1，3B.－1，1C.－1，3D.－1，1，38.(江苏)设函数定义在实数集上，它的图象关于直线=1对称，且当时，=，则有()A.B.C.D.9.(湖南文、理)函数的图象和函数的图象的交点个数是()A.4B.3C.2D.110.(四川文、理)函数=与=在同一直角坐标系下的图象大致是()11.(全国Ⅰ文、理)设，函数=在区间上的最大值与最小值之差为，则=()A.B.2C.2D.412.(山东临沂模拟理)