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黑龙江省绥化市重点中学2015届高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1．已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|0≤x≤2}，则A∩B=()A．C．D．（﹣∞，1）∪上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为M函数：（i）对任意的x∈，恒有f（x）≥0；（ii）当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．则下列四个函数中不是M函数的个数是()①f（x）=x2②f（x）=x2+1③f（x）=ln（x2+1）④f（x）=2x﹣1．A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13．函数y=的单调递增区间是__________．14．将2014-2015学年高一9班参加社会实践编号分别为：1，2，3，…48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是__________．15．已知定义在R上的偶函数f（x）在（Ⅲ）过椭圆C上一点P向圆x2+y2=1引两条切线，切点分别为A，B，当直线AB分别与x轴、y轴交于M，N两点时，求|MN|的最小值．21．已知函数f（x）=x3﹣ax2，常数a∈R．（Ⅰ）若a=1，过点（1，0）作曲线y=f（x）的切线l，求l的方程；（Ⅱ）若函数y=f（x）与直线y=x﹣1只有一个交点，求实数a的取值范围．二.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22．如图所示，AB为圆O的直径，CB，CD为圆O的切线，B，D为切点．（1）求证：AD∥OC；（2）若圆O的半径为2，求AD•OC的值．二.23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．二.24．（1）已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2；（2）已知a，b，c都是正数，求证：≥abc．黑龙江省绥化市重点中学2015届高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1．已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|0≤x≤2}，则A∩B=()A．C．D．（﹣∞，1）∪考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由A与B，求出A与B的交集即可．解答：解：∵A=，B=，∴A∩B=，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．设复数z=1+i（i是虚数单位），则=()A．1﹣iB．1+iC．﹣1﹣iD．﹣1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：==1﹣i，故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3．已知||=1，||=，且⊥，则|+|为()A．B．C．2D．2考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件便得到，所以可求出，所以得出．解答：解：∵；∴；∴||=．故选B．点评：考查两非零向量垂直的充要条件，数量积的运算，求的方法：||=．4．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=4，则△ABC的面积为()A．B．1C．D．2考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由已知及余弦定理可求cosA，从而可求sinA的值，结合已知由三角形面积公式即可得解．解答：解：∵a2=b2+c2﹣bc，∴由余弦定理可得：cosA===，又0＜A＜π，∴可得A=60°，sinA=，∵bc=4，∴S△ABC=bcsinA==．故选：C．点评：本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式的应用，解题时要注意角范围的讨论，属于基本知识的考查．5．x＜2是x2﹣3x+2＜0成立的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：解不等式x2﹣3x+2＜0，然后利用集合法，可得答案．解答：解：解x2﹣3x+2＜0得：1＜x＜2，∵{x|x＜2}⊋{x|1＜x＜2}，故x＜2是x2﹣3x+2＜0成立的必要不充分条件，故选：A点评：本题考查的知识点是充要条件，熟练掌握充要条件的定义是解答的关键．6．已知双曲线（a＞0）的离心率为，则a的值为()A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：直接利用双曲线求出半焦距，利用离心率求出a即可．解答：解：双曲线，可得c=1，双曲线的离心率为：，∴，解得a=．故选：B．点评：本题考查双曲线的离心率的求法，双曲线的简单性质的应用．7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是()A．n=6B．n＜6C．n≤6D．n≤8考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n=8时，S=，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为，故判断框中填写的内容可以是n≤6．解答：解：模拟执行程序框图，可得S=0，n=2满足条件，S=，n=4满足条件，S==，n=6满足条件，S==，n=8由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为，故判断框中填写的内容可以是n≤6，故选：C．点评：本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的S的值是解题的关键，属于基础题．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为()A．B．64C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知，该多面体是一个四棱锥，且由一个顶点出发的三条棱两两垂直，长度都为4，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：解：由三视图可知，该多面体是一个四棱锥，且由一个顶点出发的三条棱两两垂直，长度都为4，∴其体积V=×4×4×4=，故选D．点评：本小题主要考查立体几何中的三视图问题，并且对考生的空间想象能力及利用三视图还原几何体的能力进行考查，同时考查简单几何体的体积公式．9．函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω≠0），对任意x都有f（+x）=f（﹣x），则f（）等于()A．2或0B．﹣2或2C．0D．﹣2或0考点：余弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可得函数f（x）的图象关于直线x=对称，从而求得f（）的值．解答：解：由函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω≠0），对任意x都有f（+x）=f（﹣x），可得函数f（x）的图象关于直线x=对称，故f（）=±2，故选：B．点评：本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．10．在平面直角坐标系中，若P（x，y）满足，则x+2y的最大值是()A．2B．8C．14D．16考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即A（4，2），此时z的最大值为z=4+2×2=8．故选：B．点评：本小题主要考查二元一次不等式组所表示的可行域的获取以及目标函数的几何意义，是线性规划的一种简单应用，对学生的数形结合思想提出一定要求．11．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=（x﹣1）与C交于A，B（A在x轴上方）两点，若=m，则m的值为()A．B．C．2D．3考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意画出图形，联立方程组求出A，B的坐标，进一步得到|AF|，|BF|的长度，结合=m把m转化为线段的长度比得答案．解答：解：如图，联立，解得，∵A在x轴上方，∴，则|AF|=xA+1=4，|BF|=，由=m，得．故选：D．点评：本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，是中档题．12．对定义在上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为M函数：（i）对任意的x∈，恒有f（x）≥0；（ii）当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．则下列四个函数中不是M函数的个数是()①f（x）=x2②f（x）=x2+1③f（x）=ln（x2+1）④f（x）=2x﹣1．A．1B．2C．3D．4考点：函数与方程的综合运用．专题：函数的性质及应用．分析：利用已知条件函数的新定义，对四个选项逐一验证两个条件，判断即可．解答：解：（i）在上，四个函数都满足；（ii）x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1；对于①，，∴①满足；对于②，=2x1x2﹣1＜0，∴②不满足．对于③，=而x1≥0，x2≥0，∴，∴，∴，∴，∴，∴③满足；对于④，=，∴④满足；故选：A．点评：本题通过函数的运算与不等式的比较，另外也可以利用函数在定义域内的变化率、函数图象的基本形式来获得答案，本题对学生的运算求解能力和数形结合思想提出一定要求．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13．函数y=的单调递增区间是．考点：两角和与差的余弦函数；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：化简可得y=sin（x+），解不等式2kπ﹣≤x+≤2kπ+可得函数所有的单调递增区间，结合x∈可得．解答：解：化简可得y=sinxcos+cosxsin=sin（x+），由2kπ﹣≤x+≤2kπ+可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，当k=0时，可得函数的一个单调递增区间为，由x∈可得x∈，故答案为：．点评：本题考查两角和与差的三角函数，涉及三角函数的单调性，属基础题．14．将2014-2015学年高一9班参加社会实践编号分别为：1，2，3，…48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是17．考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的定义，求出样本间隔即可．解答：解：样本间距为48÷4=12，则另外一个编号为5+12=17，故答案为：17．点评：本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键．15．已知定义在R上的偶函数f（x）在专题：空间位置关系与距离．分析：设出球的半径，利用棱锥的体积公式，求解半径，然后求解半球的体积．解答：解：连结AC，BD交点为0，设球的半径为r，由题意可知SO=AO=OC=OD=OB=r．则AB=，四棱锥的体积为：=，解得r=，半球的体积为：=．故答案为：．点评：本题考查四棱锥SABCD的体积的计算，确定球的半径关系式是关键．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1+a7=﹣9，S9=﹣．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＞﹣．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）设数列{an}的公差为d，由于a1+a7=﹣9，S9=﹣，利用等差数列的通项公式及前n项和公式可得，解出即可；（Ⅱ）利用等差数列的前n项和公式可得Sn=，于是bn=﹣=﹣，利用“裂项求和”及“放缩法”即可证明．解答：（Ⅰ）解：设数列{an}的公差为d，∵a1+a7=﹣9，S9=﹣，∴，解得，∴=﹣．（Ⅱ）证明：∵Sn==，∴bn==﹣=﹣，∴数列{bn}的前n项和为Tn=﹣+…+==．∴Tn＞﹣．点评：本题考查了等