机械制图 点线面

1第3章点、直线和平面的投影31.点在三投影面体系中的投影一.点的投影●投影面：V、H、W（互相垂直）投影轴：OX、OY、OZ（指示长、宽、高方向）●由空间点A分别向V、H、W面进行投影得正面投影a’、水平投影a、侧面投影a”●将三面投影展开摊在一个平面上，得三面投影图。4⒉点的投影与点的直角坐标⒊点的投影规律（投影关系）点A→W面＝X坐标＝a’→OZ＝a→OY点A→V面＝Y坐标＝a→OX＝a’’→OZ点A→H面＝Z坐标＝a’→OX＝a”→OYXZyyyyxxxzzzxxzyzYyA(x,y,z)a(x,y,o)a’(x,o,z)a”(o,y,z)a’aOX（长对正）a’a”OZ（高平齐）a→OX＝a”→OZ（宽相等）两投影连线垂直于投影轴45°6[例]作点A(30,50,50)、B(70,20,0)的三面投影，及其空间位置。45°7XZYHYW例：根据点的两面投影求第三投影ab'bb45°g'gcc'ca'ag3.特殊位置的点（重点讨论位于投影面上的点）8XOZYaaabbbBAXZYYOaaabbb正面投影看高低水平投影看前后侧面投影看前后B点在A点的左后下方4两点的相对位置及重影点9d'ddb'bba'aac'ccOXZYY(b)(d')重影点点A在B的正上方，它们的水平投影重影，被挡者括住表示。点C在D的正前方，它们的正面投影重影。当两点的某投影重影时，可从另外的两面投影上看出其先后位置。10例:已知点A在点B之前5，之上9，之右8，求点A的投影。aaa98511二直线的投影•直线对投影面的相对位置•直线上的点•两直线的相对位置•立体上直线的分析ABabαβγb″a′b′ZXYa″VHW13●直线的投影由两端点同名投影的连线确定a'abb'ab根据直线两端点的相对位置判别AB的指向(方向)正面投影看高低水平投影看前后侧面投影看前后14VWH(1)一般位置直线ZXaaaOYYbbb投影特性：三个投影均倾斜于投影轴，均不反映实长、倾角.ZYXABaba″b″a′b′2.直线相对投影面的位置16水平线直线平行于H面，倾斜于V、W面。正平线直线平行于V面，倾斜于H、W面。侧平线直线平行于W面，倾斜于H、V面。baabbabaaabbbaabab(2)投影面平行线17XZYOababXababOzYYabAB水平线baα=AB∠Hβ=AB∠Vγ=AB∠W投影特性1.在所平行的投影面上,反映实长,并反映与相邻投影面的倾角；2.另二投影平行于相应的投影轴。18XabbaOZYYabXZYOABaababb正平线19XZOYYabbabaXZYOABaababb侧平线21铅垂线直线垂直于H面，平行于V、W面。正垂线直线垂直于V面，平行于H、W面。侧垂线直线垂直于W面，平行于H、V面。●a(b)abba●cdc(d)cd●efefe(f)(3)投影面垂直线22ZbXaba(b)OYYaOXZYABba(b)aab投影特性在所垂直的投影面上，投影积聚成一点；另二投影垂直于相应投影轴，且反映实长。铅垂线23bYzXabaOYabOXZYABbababa正垂线24OXZYABbaababZXabbaOYHYWab侧垂线26XOZYHYWa'aa30°bb'b例题1例：过点A向右上方作一正平线AB,使其实长为25，与H面的倾角=30°。27例题2例:根据直线的两投影判断其空间位置.XOg'gXOa'ab'bXOcd'dhh'O正平线侧平线水平线一般位置直线侧垂线铅垂线c'aa“c'ZZOa'b'ba'b'd'b“c“d“28O侧平线一般线一般线水平线正垂线正平线c'Zd'c”d”a”ZOa'b'b”XOcd'dc'XOg’h’gha'b'a”b”ZOaa'b'b29a′b′c′abcs′a″b″c″s″棱线分析sSA——SC——AC——一般位置线侧平线水平线31直线上点的投影特性:1、点的投影在直线的同面投影上(从属关系不变)。2、点分割线段之比，投影后比值不变。即：cAHacaVbBabcCbW′′′″″″AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac:cb3.属于直线的点cacXabcYYbOaZb′″′′″″a'b'bak'k点K属于直线AB吗?32例1：判断点C是否在线段AB上。②cabcab●●abcabc①●●在不在ab●c●●aabcb③c不在应用定比定理另一判断法?33例:在直线AB上取一点C，使其到V面为20。bab’a’XOc’c20例:在直线EF上找一点K,使EK:KF=2:3。fef’e’XOk’k34例：已知点K在线段AB上，求点K的正面投影。解法一：（借助第三投影）解法二：（应用定比定理）●aabbkab●k●k●aabbk●●k●XOBAbbaakKkHV35βXOVHbaabABABXOVHbaabΔZ线段实长、倾角、投影、坐标差之间的几何关系要记住这个图（随时能用两根杆模拟出来）⒊一般位置直线的倾角和线段实长36直角三角形中，三条边和一个倾角共四个参数，只要知道任意两个，即可画出直角三角形，求得另两个参数。直角三角形中,斜边为线段的实长,两直角边分别为线段的投影及坐标差.△Xab△Zαa''b''γβ△Ya'b'37ABXOVHbaabΔZabΔZABABbXaba直角三角形法=分析：欲求α，只能借助直线与H面的几何关系。例1：已知线段投影，求线段的实长和倾角α38βXOVHbaabbXabaABOβabΔY==β例2：求一般位置直线段的实长和倾角βΔY分析：欲求β，只能借助直线与V面的几何关系。39aba′b′XOΔZC在AB上量取AC=25cc′BA例3:在直线AB上取一点C,使AC=25,求点C的投影.求投影长ac40例4:已知直线AB的V投影，且β=30°，求AB的H投影。a′b′ab△Yβ分析：⑴直接求水平投影长，要用α三角形，即直线与H面的几何关系，只有高差△Z一个条件，此路不通。要用β三角形，即直线与V面的几何关系，已知a’b’及β角，直角三角形可作出。⑵通过△Y确定端点b已知实长或倾角补投影，通常有两种方法，即直接求线段投影长或用坐标差确定线段另一端点，有时只有一种方法（如本例）。41例5:已知直线AB的V投影，且AB=40，求AB的H投影。a′b′ab△Y△Z方法2：已知实长及△Z，画出α三角形确定ab长abα方法1：用△Y确定端点b（根据a’b’及40作β三角形）42例6:已知直线AB的V投影，且α=30°，求AB的H投影。a′b′abαΔZH投影长以H投影长为半径画弧方法：利用已知的α、△Z作三角形求水平投影长ab（仅一种方法）434.两直线的相对位置⑴两直线平行bcdHAdaCcVaDbBacdbcdabOX投影特性同名投影平行ab//cda'b'//c'd'且长度成比例a’b’:c’d’=ab:cd平行、相交、交叉（异面）。44例：判断图中两条直线是否平行。对于一般位置直线，只要有两组同名投影互相平行，空间两直线就平行。AB与CD平行。AB与CD不平行。对于特殊位置直线，只有两组同名投影互相平行，空间直线不一定平行。abcdcbaddbac②bdca①abcdcabd45⑵两直线相交同名投影相交,交点符合点的投影规律.投影特性:acVXbHDacdkCAkKdbOBcabdbacdkk47Ob’Xa’abc’d’dc11’(2’)2⑶两直线交叉XOBDACbb’aa’c’cdd’211’(2’)21凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。48()()a'b'c'd'cabd交叉两直线重影点的可见性判断abbacddcABCVHoX433'4'2'1'12X12(3)4121(2)4343D49例：cda'b'abdcc'd'例：a'b'abc'd'cdabcdab50例:判断两直线的相对位置11dc1151cOXb′a′c′ba直角投影规律：空间两条相互垂直线之一，平行于某投影面时,则在该面上的投影垂直。若AC⊥AB,AB∥H则ac⊥ab⒌一边平行于投影面的直角投影AHBCacb52上述结论亦实用于两直线交叉垂直OXb′a′bamnnmBHAbaMNnm53a'b'c'd'abcdabcd已知AB//H、ABCD，求cd例:56例:求两直线AB、CD之间的距离。(≈习题P11.3-17)aaˊbbˊcˊdˊc(d)nˊmˊm两交叉线间距离(n)57点、直线习题点P6——2、3P7——4、5直线P8P9——6⑴、7P10——9、10、12P11——13、15、16581.平面的表示法及形式转换⒉平面相对于投影面的位置⒊平面内的点和直线a´b´BACaccabXHYVZWb三平面的投影591.平面的表示法及形式转换a'b'c'abca'b'c'abca'b'c'abca'b'c'abc几何元素表示法a'b'c'abc迹线表示法（了解）60平面的迹线（与投影面的交线）表示法PVPHQHXXVVHPVPHPQHHQ用垂面的积聚投影(一条线)表示平面61平面//P平面P反映实形实形性积聚成直线积聚性缩小且类似图形类似性P平面P平面的投影特性—取决于平面与投影面的倾角62●投影面平行面●投影面垂直面●一般位置平面铅垂面：H∠V、W正垂面：V∠H、W侧垂面：W∠V、H水平面：∥H正平面：∥V侧平面：∥W⒉平面相对于投影面的位置特殊位置平面63⑴投影面平行面正平面水平面侧平面VWHVWHVWH64水平面投影特性在所平行的投影面上的投影反映实形另二投影积聚为平行于相应投影轴的线段a'b'c'cababcVWH66正垂面投影特性在所垂直的投影面上的投影积聚成直线，且反映平面与另两投影面的倾角另两投影为类似图形a'b'c'caacbbVWH67PPH铅垂面ABCacba'b'abbabccc'请同学叙述铅垂面的投影特性68a'b'c'bac⑶一般位置平面投影特性三个投影均为缩小的类似形abc平面与三投影面均倾斜70例:根据平面的两投影判定平面的位置正平面铅垂面侧垂面水平面侧垂面侧平面XX71a′b′c′abcs′sa″b″c″s″棱锥表面分析△SAC是面△SAB是面一般侧垂733.平面上的点和直线直线在平面上的条件•通过平面内两点；•或通过平面内一点，且平行于平面内一直线。点在平面上的条件•点在平面内的某一直线上故要在平面内取点，必须先在平面内取直线。基本作图：⑴判定点或直线是否在平面上；⑵在平面上引辅助线定位点。74例：点K在平面内，已知k'，求k1'1k2'2a'c'cabk'b'辅助线（两点法）辅助线（一点一方向法）baccakb●k●75abca'b'c'kk'ee'K点不在ΔABC上【例】判定点K是否在平面ΔABC上？76例:已知点E在ABC上，求点E的正面投影。ee'a'b'c'cbaX77e′dceaba′b′c′d′【例】已知平面四边形ABCD，其中DC为正平线，试完成平面四边形的水平投影投影。80a'adcc'cabdb'd'ba'b'a(b)c'd'(d)cabcd完成铅垂面正方形ABCD的投影，β=30°。正方形ABCD为正垂面，对角线AC为正平线30°814.平面内的投影面平行线属于平面的投影面平行线，应符合直线在平面上的几何条件，又要符合投影面平行线的投影特性。abca’b’c’d’de’e例：过点A在平面内作水平线AD过点C在平面内作正平线CE属于平面的投影面平行线可用作辅助线，同名线彼此平行。属于平面的投影面平行线是属于平面又距投影面等距离的点的轨迹。属于平面的投影面平行线还可用来确定平面的法线、最大斜度线的投影方向。（此不要求）82例