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第2章正投影基础2.1投影法的基础知识2.2三视图的投影规律及画法2.3点的投影2.4直线的投影2.5平面的投影2.1投影法的基础知识2.1.1投影的形成要得到物体的正投影，必须具备投射线、物体和投影面三个条件。设想平面V是一个直立平面，在该平面的正前方放置一物体，然后用一束相互平行的投射线向V面垂直投射，此时，在V面上就可以得到该物体的正投影。这种形成正投影的方法称为正投影法，直立平面V称为投影面。2.1.2投影法的种类投影法的种类中心投影法平行投影法中心投影法是指投射线汇交于一点的投影法，不能反映物体的真实大小，度量性差，广泛应用于建筑、装饰设计等领域投射线为平行线时的投影称为平行投影。在平行投影中，若投射线与投影面倾斜，则为斜投影；若投射线与投影面垂直，则为正投影2.1.3正投影的基本特性实形性：当物体的某一平面（或棱线）与投影面平行时，其投影反映实形（或实长）积聚性：当物体的某一平面（或棱线）与投影面垂直时，其投影积聚为一条直线（或一个点）类似性：当物体的某一平面（或棱线）与投影面倾斜时，其投影与该平面（或棱边）类似工程图样中，一个视图通常不能完整并准确地表达出物体的形状和大小，而且不同形状的物体在同一投影面上的投影有可能相同，如下图所示。因此，为了准确且全面地表示物体的形状和大小，就必须从几个方向进行投影，也就是要用几个正投影图相互补充才能完整表达物体的形状和大小。在实际绘图中，常用三个正投影图来表达。2.2三视图的投影规律及画法1．三投影面体系要唯一确定物体的形状和大小，通常将物体放在由三个相互垂直的投影面组成的三投影面体系中，然后向这三个投影面分别进行投影。这三个互相垂直的投影面称为三投影面体系。投影面之间的交线称为投影轴，分别用OX，OY，OZ表示。其中，OX轴代表长度方向，OY轴代表宽度方向，OZ轴代表高度方向，三投影轴的交点称为原点，用O表示。将物体置于三投影面体系中，将其主要表面与投影面平行或垂直，然后按正投影法分别向V面、H面和W面进行投影，即可得到该物体的三面投影。主视图左视图俯视图V面位置保持不动，将H面绕OX轴向下旋转90°，将W面绕OZ轴向右旋转90°，分别使其与V面处于同一平面。OY轴被分成两条，分别用OYH（在H面上）和OYW（在W面上）表示2．三视图的形成及展开展开在一个平面上的三个视图，称为物体的三视图去掉投影面边框线和投影轴线3．三视图间的投影关系长对正高平齐宽相等主、俯视图长度相等主、左视图高度相等俯、左视图宽度相等绘制三视图时，可设想分别从物体的前方、左侧和上方观察物体，如果棱边和轮廓线可见，则用粗实线表示；如果棱边和轮廓线不可见，则用细虚线表示。当粗实线与虚线或点画线重合时，应画成粗实线；当虚线与点画线重合时，则应画成虚线。该物体是由两个长方体叠加后再切去一个长方体形成的。要补画物体的俯视图和左视图，可先利用主视图与俯视图、左视图间的方位关系，确定俯视图和左视图位置，然后利用三视图的投影规律补画这两个视图。4．三视图的画法及作图步骤【例2-1】根据下图所示立体图和主视图，补画俯视图和左视图。根据主、俯、左视图间的位置关系，建立坐标系并画出45°辅助线利用“高平齐”绘制两个叠加长方体的左视图外形，然后利用“长对正、宽相等”，并结合主视图和左视图补画其俯视图外形利用“长对正”补画俯视图中切去的长方体的投影，然后利用“高平齐”补画左视图中挖去的长方体的投影。由于挖去的长方体的深度在左视图中的投影不可见，故用虚线表示。对照立体图检查补画的三视图，确认无误后加深图线，并擦去多余的辅助线2.3点的投影2.3.1点的投影空间点在任意投影面上的投影永远是点。将空间点A置于三投影面体系中，然后分别向H，V，W三个投影面作投射线，投射线在三个投影面上的垂足a，a′，a''分别为空间点A的水平投影、正面投影和侧面投影2.3.2点的投影与直角坐标系的关系①点的每两面投影的连线，必垂直于这两个投影面的交线（即相应的投影轴），aa′⊥OX，a′a''⊥OZ。②空间点到某一投影面的距离，等于另外两个投影面上的投影到与该投影面相交的投影轴的距离。如点A到V面的距离等于点a″到OZ轴的距离，也等于点a到OX轴的距离，即aaX＝a″aZ。③若将三投影面体系看作直角坐标系，则可将三个投影面当作坐标面，三个投影轴当作坐标轴，O点当作坐标原点。则可得出：点A到W面的距离Aa''＝aaY＝a'aZ＝OaX，以坐标x标记。点A到V面的距离Aa'＝aaX＝a''aZ＝OaY，以坐标y标记。点A到H面的距离Aa＝a‘aX＝a’‘aY＝OaZ，以坐标z标记。由此可知，利用空间点的位置坐标x，y，z可作出该点的三面投影。例如，点A的坐标为（30，20，15），表示点A的x坐标为30mm，y坐标为20mm，z坐标为15mm。①两点的左右位置：由x坐标差XA－XB确定。哪个点的x坐标值大，哪个点就在左侧。②两点的上下位置：由z坐标差ZA－ZB确定。哪个点的z坐标值大，哪个点就在上方。③两点的前后位置：由y坐标差YA－YB确定。哪个点的y坐标值大，哪个点就在前方。已知空间A、B两点的投影，由于XA＞XB，因此，A点在B点的左侧；由于YA＜YB，因此，A点在B点的后方；由于ZA＜ZB，因此，A点在B点的下方。故A点在B点的左、后、下方，其空间位置如左图所示。2.3.3两点的相对位置2.4直线的投影2.4.1各种位置直线的投影1．投影面平行线平行于某一个投影面且与其他两个投影面都倾斜的直线称为投影面平行线。其中，平行于H面的直线称为水平线，平行于V面的直线称为正平线，平行于W面的直线称为侧平线。①直线在与其平行的投影面上的投影反映实长，同时反映该直线与另外两个投影面倾角的实际大小；②该直线在另外两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，且长度缩短。2．投影面垂直线若空间一直线垂直于某一个投影面，则该直线必定平行于另外两个投影面，这样的直线称为投影面垂直线。其中，垂直于H面的直线称为铅垂线，垂直于V面的直线称为正垂线，垂直于W面的直线称为侧垂线。①直线在与其垂直的投影面上的投影积聚为一点；②该直线的另外两个投影垂直于相应的投影轴，且反映该直线的实长。3．一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。一般位置直线的三面投影均与投影轴倾斜，且投影线段的长小于空间线段的实长，从投影图上也不能直接反映出空间直线和投影平面的夹角2.4.2直线上点的投影从属性：直线上任一点的投影必在该直线的同面投影上。反之，点的投影中只要有一个不在直线的投影上，则该点不在该直线上。定比性：线段上的点将线段分割后，则各分割线段的长度之比与各分割线段投影的长度之比相等。点K在线段AB上，它把线段AB分成AK和KB两段，则有AK:KB＝ak:kb＝a'k':k'b′＝a''k'':k''b''。【例2-2】已知直线AB、点M和点N的正面投影a′b′、m′、n′及水平投影ab、m、n，如图所示，试判断点M和点N与直线AB的关系。补投影法先画出各投影轴线及45°辅助线，根据直线AB的正面投影a'b'和水平投影ab，作出其侧面投影a''b''。分别作点M和点N的侧面投影，由于点m''在直线a''b″上，而点n''不在直线a''b″上，因此可以判定，点M在直线AB上而点N不在直线AB上2.4.3两直线的相对位置1．两直线平行直线AB与直线CD平行，则ab//cd、a'b'//c'd'、a''b''//c''d''，且AB:CD＝ab:cd＝a'b':c'd'。两直线平行的投影规律为：①若两直线平行，则它们的各组同面投影一定相互平行。反之，若空间两直线的各组同面投影均相互平行，则该两直线一定为平行关系；②若两直线平行，则它们的长度之比等于它们各组同面投影的长度之比。2．两直线相交直线AB和CD相交于点K，则其投影ab与cd相交于点k，a'b'与c'd′相交于点k'，并且点k、k'符合直线上点的投影规律如果空间两直线相交，则它们的各组同面投影一定相交，且其交点符合直线上点的投影规律。反之，如果空间两直线的各组同面投影都相交，并且交点的投影符合直线上点的投影规律，则这两条直线一定相交。3．两直线交叉直线AB和CD为交叉直线，则这两条直线的正面投影和水平投影均相交，但正面投影的交点与水平投影中的交点并非同一点。若空间两条直线既不平行也不相交，则称其为交叉两直线。交叉两直线的同面投影可能有一组、两组或者三组分别相交，但交点的投影并不符合直线上点的投影规律。反之，若空间两直线的各组投影既不符合两直线平行的投影规律，也不符合两直线相交的投影规律，则这两直线一定交叉。2.5平面的投影2.5.1一般位置平面若空间平面和三个投影面均处于倾斜位置，则该平面称为一般位置平面。一般位置平面在三个投影面上的投影均为类似形，在投影图上不能直接反映空间平面与投影面的夹角2.5.2投影面平行面若空间一平面平行于一个投影面，则该平面必与另外两个投影面都垂直，这样的平面称为投影面平行面。其中，平行于H面的平面称为水平面，平行于V面的平面称为正平面，平行于W面的平面称为侧平面。①空间平面在与其平行的投影面上的投影反映实形；②该平面的另外两面投影积聚成直线段，且分别平行于相应的投影轴。2.5.3投影面垂直面垂直于一个投影面而与另外两个投影面都倾斜的平面称投影面垂直面。其中，垂直于H面的平面称为铅垂面，垂直于V面的平面称为正垂面，垂直于W面的平面称为侧垂面。①平面在与其垂直的投影面上的投影积聚为一条线段，且与投影轴倾斜；②该平面在另外两个投影面上的投影为该平面的类似形。