Chapter12-数项级数

北方工业大学数学系数学分析第十二章数项级数§1级数的收敛性一问题的提出有限个实数相加是实数，无限个实数相加会是什么结果？一尺之棰，日取其半，万世不竭。将每天取下的长度“加”起来：21221321n21北方工业大学数学系数学分析221221321n21——无限个数相加！直观上感觉结果（和）应该是1。再如：111111如果111111（）（）（）结果是0。如果1111111（）（）（）结果是1。北方工业大学数学系数学分析3再看一个有趣的例子：654321)51()41()31()21()11(1514131211115()14()13()12()11(116543211654321？看来无限个数相加与有限个数相加不一样！有必要研究无限个数相加的含义！北方工业大学数学系数学分析4定义1(级数)nnnuuuuu3211记为称为数项级数或无穷级数，简称级数。通项部分和sn构成一个数列，称为部分和数列。niinnuuuus121级数的前n项的和称为部分和，记着,11us,212uus,,3213uuus,21nnuuus给定数列,,,:}{321uuuunnuuuu321二、级数的概念北方工业大学数学系数学分析5定义2：(级数的收敛与发散):如果级数1nnu的部分和数列{ns}有极限s,即ssnnlim,则称无穷级数1nnu收敛,极限s叫做级数1nnu的和.并写成321uuus如果{ns}没有极限,则称无穷级数1nnu发散.即常数项级数收敛(发散)nnslim存在(不存在)北方工业大学数学系数学分析6例1讨论等比级数(几何级数)nnnaqaqaqaaq20)0(a的收敛性.解时如果1q12nnaqaqaqasqaqan1,11qaqqan北方工业大学数学系数学分析7,1时当q0limnnqqasnn1lim,1时当qnnqlimnnslim收敛发散时如果1q,1时当q,1时当qnasn发散aaaa级数变为不存在nnslim发散综上发散时当收敛时当,1,10qqaqnn请记忆!部分和奇偶子列收敛于不同的数，北方工业大学数学系数学分析8例2判别无穷级数11232nnn的收敛性.解nnnu1232,3441n已知级数为等比级数，,34q公比,1||q.原级数发散北方工业大学数学系数学分析9例3判别无穷级数)12()12(1531311nn的收敛性.解)12)(12(1nnun),121121(21nn)12()12(1531311nnsn)121121(21)5131(21)311(21nn北方工业大学数学系数学分析10)1211(21limlimnsnnn),1211(21n,21.21,和为级数收敛北方工业大学数学系数学分析11定理1:(Cauchy收敛准则)有收敛,0,,,01pNmNunn.||21pmmmuuu证收敛收敛}{1nnnsu||,0,,,0mpmsspNmN有.||21pmmmuuu即推论:(级数收敛的必要条件).0lim1nnnnuu收敛北方工业大学数学系数学分析12上述推论的逆命题不真.?,0lim但级数是否收敛有nnun131211例如调和级数解)0(||21muuummmmmmmm12111mmm212121.21故调和级数发散.请记忆！北方工业大学数学系数学分析13的敛散性。判断例11524nnn,052152limnnn由于因而级数是发散的.的敛散性。判断级数例12sin5nnnx解解||21pmmmuuu|2)sin(2)2sin(2)1sin(|21pmmmxpmxmxm|212121|21pmmm北方工业大学数学系数学分析14|212121|21pmmm211211211pm)211(2211pmm21)(,0m故原级数收敛.)2121211(21121pm北方工业大学数学系数学分析15例6证明级数收敛。121nn证||21pmmmuuu222)(1)2(1)1(1pmmm))(1(1)2)(1(1)1(1pmpmmmmmpmpmmmmm1112111111pmm11m1)(,0m故级数收敛。北方工业大学数学系数学分析16性质1设两个收敛级数1nnus,1nnv,则对任意的常数c和d,有级数1)(nnndvcu＋收敛,且其和为dcs＋.特别:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.思考:收敛级数与发散级数的和的收敛性如何?必发散证,)(limdcsdcsnnn＋＋成立。性质1三、基本性质北方工业大学数学系数学分析17性质2若级数1nnu收敛,则1knnu也收敛)1(k.且其逆亦真.证明类似地可以证明在级数前面加上或改变有限项不影响级数的敛散性.故级数收敛与否,与前面的有限项无关.有收敛,0,,,01pNmNunn.||21pmmmuuu北方工业大学数学系数学分析18性质3收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.证明)()()(32211111nnnnnuuuuuu,11ns.limlimssnnmm,22ns,33ns,,mnms,}{}{的一个子列是故nms这说明:收敛级数满足加法的结合律.设北方工业大学数学系数学分析19注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.)11()11(例如1111推论如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散.收敛发散北方工业大学数学系数学分析20例8判别收敛性：；81614121)1；432214121312121211)2.6cos62cos6cos)3n解,1211nn原式发散。11nn211nn原式发散。6cosnan,0原式发散。)211(1nnn解解发散，收敛，发散，北方工业大学数学系数学分析211.由定义,若ssn,则级数收敛;2.当0limnnu,则级数发散;常数项级数的基本概念基本审敛法：3.Cauchy收敛准则；4.按基本性质。四、小结北方工业大学数学系数学分析22思考:设1nnb与1nnc都收敛，且nnncab),2,1(n，能否推出1nna收敛？能．由柯西审敛原理,请同学证明．即得。由nnnnbcba0北方工业大学数学系数学分析23作业P5.1(1)(4)347(3)北方工业大学数学系数学分析24§2正项级数一、正项级数收敛性的一般判别原则1.定义:项级数。负则称为正，均有为同号级数；如果各项中各项符号相同，则称如果级数)(0)(1nnnuunsss21由于对正项级数有：2.正项级数收敛的充要条件定理：.有界部分和所成的数列正项级数收敛ns即部分和数列为单调增加数列.}{ns北方工业大学数学系数学分析25且nnvuNnN有,,,则（1）若1nnv收敛,则1nnu收敛；（2）若1nnu发散，则1nnv发散.证明均为正项级数，和设11nnnnvu3.比较原则因为改变有限项不影响级数的敛散性，故不妨认为,,成立nnvun北方工业大学数学系数学分析26比较审敛法的不便:须有参考级数.nnuuus21且1)1(nnv设,nnvu,即部分和数列有界,.1收敛nnunvvv21（2）是（1）的逆否命题。证毕。注1：比较原则中，,nnvu条件.0,的常数是大于可推广为KKvunn注2北方工业大学数学系数学分析27例1证明级数1)1(1nnn是发散的.证明,11)1(1nnn,111nn发散而级数.)1(11nnn发散级数北方工业大学数学系数学分析284.比较原则的极限形式:设1nnu与1nnv都是正项级数,如果则(1)当时,二级数有相同的敛散性;(2)当时，若收敛,则收敛;(3)当时,若1nnv发散,则1nnu发散;,limlvunnnl00ll1nnv1nnu北方工业大学数学系数学分析29证明lvunnnlim由,02l对于,N,时当Nn22llvullnn)(232Nnvluvlnnn即由比较原则的注1,得：（1）0l+∞时：同敛态。与nnvu北方工业大学数学系数学分析30（2）l=0时：，由0limnnnvu,0N，,时当Nn,0nnvu,nnvu由比较原则的注1,得：（3）l=+∞时：，由nnnvulim,0NG，,时当Nn,Gvunn,nnGvu由比较原则的注1,得：收敛。收敛时，有nnuv发散。发散时，有nnuv北方工业大学数学系数学分析31例2判定下列级数的敛散性:(1)11sinnn;(2)131nnn;(3)12)11ln(nn解)1(nnnn3131limnnn11sinlim,1原级数发散.)2(nnn311lim,1,311收敛nn故原级数收敛.北方工业大学数学系数学分析32(3)12)11ln(nn221)11ln(limnnn,1故原级数收敛.北方工业大学数学系数学分析33二、比式判别法和根式判别法定理：比式判别法(达朗贝尔D’Alembert判别法)使及常数为正项级数，且设),10(00qqNun收敛；则）（nnnuquuNn,,110发散。则）（nnnuuuNn,1,210证（1）于是不妨设,10N,12quu,23quu,,1quunn北方工业大学数学系数学分析34,112312nnnquuuuuu于是,11uqunn即收敛，当1,10nqq收敛。于是nu则）若（,121nnuu,1nnuu,0limnnu于是发散。从而nu北方工业大学数学系数学分析35设1nnu是正项级数,如果quunnn1lim则（1）1q时，级数收敛;（2）1q或q时级数发散;（3）1q时失效.证明,为有限数时当q,0对,N,时当Nn,1quunn有)(1Nnquuqnn即推论：（比式判别法的极限形式）北方工业大学数学系数学分析36,1)1(时当q,10q取,1q则)(1Nnquuqnn即由比式判别法，得原级数收敛。,1)2(时当q,10q取,1q则由比式判别法，得原级数发散。,1)3(时当q,1112qnn均满足和但一个发散一个收敛，说明该方法无效。有,