专题13锐角三角函数与解直角三角形复习课件

锐角三角函数和解直角三角形1．锐角三角函数的意义，Rt△ABC中，设∠C＝90°，∠α为Rt△ABC的一个锐角，则：∠α的正弦sinα＝__∠α的对边斜边__；∠α的余弦cosα＝__∠α的邻边斜边__；∠α的正切tanα＝__∠α的对边∠α的邻边__．2．30°，45°，60°的三角函数值，如下表：正弦余弦正切30°__12____32____33__45°__22____22____1__60°__32____12____3__3．同角三角函数之间的关系sin2α＋cos2α＝__1__；tanα＝__sinαcosα__．互余两角的三角函数关系式：(α为锐角)sin(90°－α)＝__cosα__；cos(90°－α)＝__sinα__．函数的增减性：(0°＜α＜90°)(1)sinα，tanα的值都随α__增大而增大__；(2)cosα随α__增大而减小__．4．解直角三角形的概念、方法及应用解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．直角三角形中的边角关系：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则：(1)边与边的关系：__a2＋b2＝c2__；(2)角与角的关系：__∠A＋∠B＝90°__；(3)边与角的关系：__sinA＝cosB＝ac，cosA＝sinB＝bc，tanA＝ab，tanB＝ba__．5．直角三角形的边角关系在现实生活中有着广泛的应用，它经常涉及测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些概念，一定要根据题意明白其中的含义才能正确解题．(1)铅垂线：重力线方向的直线；(2)水平线：与铅垂线垂直的直线，一般情况下，地平面上的两点确定的直线我们认为是水平线；(3)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角；(4)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角；(5)坡角：坡面与水平面的夹角；(6)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况下，我们用h表示坡的铅直高度，用l表示坡的水平宽度，用i表示坡度，即i＝hl＝tanα，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡；(7)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角．注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东．1．(2009·河北)如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是(B)A.833mB．4mC．43mD．8m2．(2013·河北)如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为(D)A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里3．(2008·河北)气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛(设为点O)的南偏东45°方向的B点生成，测得OB＝1006km.台风中心从点B以40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点C处．因受气旋影响，台风中心从点C开始以30km/h的速度向北偏西60°方向继续移动．以O为原点建立如图所示的直角坐标系．(1)台风中心生成点B的坐标为__B(1003，－1003)__，台风中心转折点C的坐标为__C(1003，200－1003)___；(结果保留根号)台风从生成到最初侵袭该城要经过11h(2)已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭．如果某城市(设为点A)位于点O的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？锐角三角函数的定义【例1】(2014·武汉)如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D.若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是(B)A.51213B.125C.3513D.2313【点评】本题主要考查了三角函数的定义及相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是找准线段及角的关系．解析：连接OA，OB，OP，延长BO交PA的延长线于点F.∵PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，CA＝CE，DB＝DE，PA＝PB，∵△PCD的周长＝PC＋CE＋DE＋PD＝PC＋AC＋PD＋DB＝PA＋PB＝3r，∴PA＝PB＝32r.在Rt△BFP和Rt△AFO中，∠FAO＝∠FBP，∠OFA＝∠PFB，∴Rt△BFP∽Rt△AFO.∴AFFB＝AOBP＝r32r＝23，∴AF＝23FB，在Rt△FBP中，∵PF2－PB2＝FB2，∴(PA＋AF)2－PB2＝FB2，∴(32r＋23BF)2－(32r)2＝BF2，解得BF＝185r，∴tan∠APB＝BFPB＝185r32r＝125，故选1．(2013·兰州)△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是(A)A．csinA＝aB．bcosB＝cC．atanA＝bD．ctanB＝b锐角三角函数的计算【例2】(1)(2013·菏泽)计算：2－1－3tan30°＋(2－1)0＋12＋cos60°.解：原式＝12－3×33＋1＋23＋12＝2＋3(2)(2014·攀枝花)在△ABC中，如果∠A，∠B满足|tanA－1|＋(cosB－12)2＝0，那么∠C＝__75°__．解析：∵△ABC中，tanA＝1，cosB＝12，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∴∠C＝75°.故答案为75°【点评】利用特殊角的三角函数值进行数的运算，往往与绝对值、乘方、开方、二次根式相结合．准确地记住三角函数值是解决此类题目的关键，所以必须熟记．2．(2013·孝感)式子2cos30°－tan45°－（1－tan60°）2的值是(B)A．23－2B．0C．23D．2解：原式＝2×32－1－(3－1)＝3－1－3＋1＝0解直角三角形【例3】(2012·安徽)如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝23，求AB的长．解：过点C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝23，∴CD＝AC×sinA＝23×0.5＝3，AD＝AC×cosA＝23×32＝3，在Rt△BCD中，∠B＝45°，则BD＝CD＝3，∴AB＝AD＋BD＝3＋3【点评】将三角形转化为直角三角形时，注意尽量不要破坏所给条件．3．(2014·宁夏)在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sinB＝13，AD＝1.求BC的长．解：在Rt△ABD中，∵sinB＝ADAB＝13，又∵AD＝1，∴AB＝3，∵BD2＝AB2－AD2，∴BD＝32－12＝22.在Rt△ADC中，∵∠C＝45°，∴CD＝AD＝1.∴BC＝BD＋DC＝22＋1解直角三角形的实际运用【例4】(2014·广安)为邓小平诞辰110周年献礼，广安市政府对城市建设进行了整改，如图，已知斜坡AB长602米，坡角(即∠BAC)为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE(下面两个小题结果都保留根号)．(1)若修建的斜坡BE的坡比为3∶1，求休闲平台DE的长是多少米？(2)一座建筑物GH距离A点33米远(即AG＝33米)，小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30°.点B，C，A，G，H在同一个平面内，点C，A，G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？解：(1)∵FM∥CG，∴∠BDF＝∠BAC＝45°，∵斜坡AB长602米，D是AB的中点，∴BD＝302米，∴DF＝BD·cos∠BDF＝302×22＝30(米)，BF＝DF＝30米，∵斜坡BE的坡比为3∶1，∴BFEF＝31，解得EF＝103(米)，∴DE＝DF－EF＝30－103(米)．答：休闲平台DE的长是(30－103)米(2)设GH＝x米，则MH＝GH－GM＝x－30(米)，DM＝AG＋AP＝33＋30＝63(米)，在Rt△DMH中，tan30°＝MHDM，即x－3063＝33，解得x＝30＋213，答：建筑物GH的高为(30＋213)米【点评】此题考查了坡度、坡角问题以及俯角、仰角的定义．要注意根据题意构造直角三角形，并解直角三角形；注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．4．(2014·邵阳)一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．(温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6)解：过点C作CD⊥AB交AB延长线于D.在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AC＝80海里，∴CD＝12AC＝40海里．在Rt△CBD中，∵∠CDB＝90°，∠CBD＝90°－37°＝53°，∴BC＝CDsin∠CBD≈400.8＝50(海里)，∴海警船到达事故船C处所需的时间大约为50÷40＝54(小时)试题(2012·青岛)如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13米的距离(B，F，C在一条直线上)．(1)求教学楼AB的高度；(2)学校要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．(结果保留整数，参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25)审题视角(1)分清已知条件和未知条件(待求)；(2)将问题集中到一个直角三角形中；(3)利用直角三角形的边角之间关系(三角函数)求解．规范解题解：(1)过点E作EM⊥AB，垂足为M.设AB为x.在Rt△ABF中，∠AFB＝45°，∴BF＝AB＝x，∴BC＝BF＋FC＝x＋13.在Rt△AEM中，∠AEM＝22°，AM＝AB－BM＝AB－CE＝x－2，∴tan22°＝AMME＝x－2x＋13＝25，∴x＝12.即教学楼的高度为12m(2)由(1)可得，ME＝BC＝x＋13＝12＋13＝25.在Rt△AME中，cos22°＝MEAE，∴AE＝MEcos22°≈251516≈27.即A，E之间的距离约为27m.答题思路解直角三角形应用题的一般步骤为：第一步：分析——理解题意，分清已知与未知，画出示意图；第二步：建模——根据已知条件与求解目标，把已知条件与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解直角三角形的数学模型；第三步：求解——利用三角函数有序地解出三角形，求得数学模型的解；第四步：检验——检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．