概率论假设检验

概率论与数理统计例2.计算机中产生的随机数是通过数学迭代公式来产生的，因而产生的随机数列并非真正意义下的随机数。现在假设产生了这n个数，问是否可以这将n个数当作随机数来使用？即是否可以认为来自于[0,1]上的均匀分布母体？nX,,X,X21nX,,X,X21例3.某钢筋厂生产某型号的钢筋，其抗拉强度服从正态分布。今改变了生产工艺，质检员从中抽取了n根测量其抗拉强度。现要根据这n个观察结果来决定其抗拉强度是否比以前有所提高？),(N2概率论与数理统计1.非参数假设检验：指总体的分布类型未知，有关分布的类型假设检验。2.参数假设检验：指总体的分布类型已知，仅是其中的某个参数未知，有关参数的假设检验假设检验的分类：概率论与数理统计实际推断原理：小概率事件在一次试验中几乎不可能发生。概率论与数理统计例1.某车间用一台包装机包装葡萄糖,包得的袋装糖重是一个随机变量,它服从正态分布.当机器正常时,其均值为0.5公斤,标准差为0.015公斤.某日开工后为检验包装机是否正常,随机地抽取它所包装的9袋,称得净重为(公斤)0.4970.5060.5180.5240.4980.5110.5200.5150.512问机器是否正常?,X:为设这一天袋装糖的重量分析),.,(~X,20150N已知根据假设?5.0现在的问题是问题的关键！概率论与数理统计,:H,.:H010050首先提出假设：),.,.(N~X,,H20015050那么即机器生产正常成立若假设是否成立？如何确定0H从样本及其观察值入手5110.xX的无偏估计，此处为011050..xX此处也许会有差异，问题的关键在于分析这个差异。原假设备择假设概率论与数理统计(1)此差异是由随机因素引起的，称为“抽样误差”或“随机误差”，这种误差反映偶然的、非本质的因素所引起的误差。(2)此差异不是由随机因素引起的，反映事物间的本质的差别（即：就是今天机器生产不正常造成的），这叫“系统误差”。概率论与数理统计，＝＝，有成立，即机器生产正常若原假设5000.H的正确性若太大，则怀疑原假设此处应该不太大，0011050H,..xX),(N~nXZ100考虑统计量.,H,Z只好接受它定不够显著，因此不能否此时差异则认为是随机性差异，若0k.H)(,,Z,0拒绝）因此否定此时差异显著，则不是随机性差异若反之k我们需要给此量确定一个界限k概率论与数理统计为一小概率事件成立，若原假设}kZ{H0kXP0令：显著性水平222/z2/z由标准正态分布分位点的定义2zk概率论与数理统计020H,zXx则拒绝满足若观察值020H,zXx则接受满足若观察值临界值拒绝域概率论与数理统计二.基本定义).(H),(H,HH,,:H;:H,:.备选假设假设称为备择零假设称为原假设检验对针下在显著性水平或假设检验下在显著性水平为一般地检验问题可叙述100101002.nXZ.称为检验统计量统计量031.称给定的(01)为显著性水平.概率论与数理统计.Z,|Z|.,C,H,C.都是临界点这里的如上例中界点拒绝域的边界点称为临为拒绝域则称区域我们拒绝原假设中时入某个区域当检验统计量的取值落/2/2zz04.,H,58.22.2,58.2z,01.02/,,,,.0005.0的选择是很重要的可见则应接受取如上例中论可能得到截然相反的结下在不同的显著性水平对于同一组样本值的大小有关水平拒绝域的大小与显著性注意！概率论与数理统计5.假设检验的一般步骤：;:H.:H.HH)010010501如及备择假设提出原假设;..XZ,)90150502如选择检验统计量);,.(~Z,.,,H)1505030N如假设概率分布该统计量服从的成立的条件下确定出在原假设;,)4确定拒绝域选择显著性水平.H,,)50的结论作出拒绝或接受落入拒绝域内看观察值是否的观察值根据样本值计算统计量概率论与数理统计假设检验所采用的方法是一种反证法:先假设结论成立,然后此结论成立的条件下进行推导和运算,如果得到矛盾,则推翻原来的假设,结论不成立,这里的矛盾是与实际推断原理的矛盾,即“小概率事件在一次试验中几乎不可能发生”,若在一次试验中居然发生了则拒绝原假设，否则接受,因此,假设检验是一种带有概率性质的反证法.小结概率论与数理统计这里的“拒绝”和“接受”反映了当事者在所面对的样本证据下，对命题所采取的一种态度。“接受”并不代表在逻辑上证明了的正确性，而是试验结果与原假设没有显著差异；我们没有充分的理由来拒绝它；“拒绝”也不能从逻辑上说明的错误性，只不过试验结果与原假设有显著差异。0H0H对于假设检验的问题，我们的回答只能为“是”或“否”概率论与数理统计三.两类错误1.第一类错误:也称“弃真”错误2.第二类错误:也称“取伪”错误犯两类错误的概率越小越好样本容量一定时，二者不能同时很小！)()(在控制犯第一类错误的条件下，尽量使犯第二类错误的概率减小。原则：只对犯第一类错误的概率加以控制，而不考虑犯第二类错误的概率的检验问题称为显著性检验概率论与数理统计四.假设检验的形式：1.双边假设检验0100:H,:H形如：其拒绝域分布在接受域的两侧2.右边假设检验0100:H,:H形如：其拒绝域分布在接受域的右侧3.左边假设检验0100:H,:H形如：其拒绝域分布在接受域的左侧左边检验和右边检验统称为单边检验。概率论与数理统计§2正态总体的参数的假设检验.SX,XX,,X,X),,(N~Xn2212和别为样本均值和样本方差分的样本是来自设总体1.2已知,检验:,nXZ0取统计量,:H,:H)i0100一.单个正态总体参数的假设检验(一).单个正态总体均值的假设检验概率论与数理统计),1,0(N~Z,H),10(0成立时当对于给定的,Z,,Z,,H01偏大反之偏小时若成立时当,kZkZZ21或的拒绝域的形式为故,}kZk{PH210成立时有而当.|nX|/2z0拒绝域为由标准正态分布分位点的定义知：借助于标准正态分布的分位点构造拒绝域的检验法称为检验法检验法或UZ概率论与数理统计,:H,:H)ii0100往往偏大样本观察值为真时在x,H1.,nXZ待定因而拒绝域的形式为kk0为一小概率事件。为真时当}knx{H00}nX{P}H|H{Pk0000为真拒绝由中的小。全部要比的10HH}nX{Pk0概率论与数理统计znX0故拒绝域为zk由标准正态分布分位点的定义知：),,(N~nX10,:H,:H)iii0100同理可确定出其拒绝域为：znX0nXZ0在单边检验中选取的统计量仍为：概率论与数理统计2.2未知,检验:0100:H,:H)i,nSXT0取统计量)n(~T,H10t成立时当,}k|T{|P令：0HT过分大时就拒绝且)n(tk/1222)1(t2/n)1(t2/n由t分布的分位点的定义知：概率论与数理统计借助于t分布的分位点构造拒绝域的检验法称为检验法t).n(|nSX|/120t从而拒绝域为,:H,:H)ii0100nSXT0仍取统计量)n(tnsX10拒绝域为)1n(t概率论与数理统计,:H,:H)iii0100nSXT0仍取统计量)n(tnsX10拒绝域为)(t1n概率论与数理统计例1.某种电子产品的寿命x(以小时记)服从正态分布,,2均未知,现测得16只元件的寿命如下:159280101212224379179264222362168250149260485170问：是否有理由认为元件的平均寿命大于225小时?.:H,:H:225225100解,nSXT统计量),1n(tnSX0所以拒绝域为概率论与数理统计,7531.1)15(t,1605.0n现,7531.16685.00nSXT即有,,0HT故接受不落在拒绝域中.05.0取,7259.98,5.241sx注意方法即认为元件的平均寿命不大于225小时。概率论与数理统计(二).单个正态总体方差的假设检验.,:,:)2020212020是已知常数HHi2,)1(2022Sn取统计量)1n(~,H220成立时当,2)1(,2)1(,22/222/12nPnP有对于给定的).1()1(22/222/12nn或拒绝域为：)1(22/n2)1(22/1n概率论与数理统计.,:,:)2020212020是已知常数HHii,)1(2022Sn取统计量)n(12,)1(,22nP我们有对于给定的).1(22n拒绝域为：概率论与数理统计.,:,:)2020212020是已知常数HHiii,)1(,212nP我们有对于给定的).1(212n拒绝域为：)1n(21,)1(2022Sn取统计量借助于分布的分位点构造拒绝域的检验法称为检验法22概率论与数理统计例1.某厂生产的某种型号的电池,其寿命长期以来服从方差2=5000(小时2)的正态分布,现有一批这种电池,从它的生产情况来看,寿命的波动性有所改变.现随机取26只电池,测得其寿命样本方差为s2=9200(小时2).问根据这一数据能否推断这批电池寿命的波动性较以往的有显著的变化(取=0.02)?结果如何？概率论与数理统计下，检验假设在水平解02.0:,5000:,5000:2120HH,5000.524.11)25()1n(,314.44)25()1n(,26n20299.022/1201.022/现.524.11s)1n(,314.44s)1n(202202或,314.4446s)1n(9200s2022得由观察值.,H0化动性较以往有显著的变认为这批电池寿命的波所以拒绝拒绝域为：概率论与数理统计二两个正态总体均值或方差的假设检验。.,,,S,S,Y,X,,),(NY,,Y,Y,),(NX,,X,X221222122n2121n2121均未知设记样本方差值为又分别记它们的样本均设两样本独立且的样本是来自正态总体的样本是来自正态总体设(一)两个正态总体均值差的假设检验。概率论与数理统计但其值未知已知,.12221,1121nnSYXt取统计量,2nnS)1n(S)1n(S212222112其中211210::)HHi检验：)2(~210nnttH成立时，当).2(t||212/nntt拒绝域为检验的方法知：由注意！概率论与数理统计,1121nnSYXt取统计量,2nnS)1n(S)1n(S212222112其中211210::)HHii检验：).2(t21nntt拒绝域为检验的方法知：由概率论与数理统计,1121nnSYXt取统计量,2nnS)1n(S)1n(S212222112其中211210::)HHiii检验：).2(t21nntt拒绝域为检验的方法知：由注意！概率论与数理统计注意！1.当=0时是上述各检验的特例.2.对于12,22已知时,可用“u-检