《大高考》2016届高考复习数学理(全国通用)：第九章 平面解析几何 第三节

考纲考向分析核心要点突破第三节椭圆及其性质考纲考向分析核心要点突破考点梳理考纲速览命题解密热点预测1.椭圆的定义.2.椭圆的标准方程.3.椭圆的几何性质.1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.2.了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用.3.理解数形结合的思想.以椭圆的标准方程及几何性质为主要考查对象，有时也考查椭圆的定义，要熟记椭圆中参数a，b，c之间的内在联系及几何意义.高考试题的考查角度有三种，一是求椭圆的标准方程，二是根据椭圆的方程研究椭圆的性质，三是直线与椭圆的联立问题，有时还与向量、三角的知识交叉综合.高考对本节内容的考查仍将以求椭圆的方程和研究椭圆的几何性质为主.与向量等知识的综合考查的命题，备考时应予以关注.考纲考向分析核心要点突破知识点一椭圆的定义及方程1.椭圆的定义椭圆定义中的常数2a|F1F2|，即对椭圆上任意一点M都有|MF1|＋|MF2|＝2a|F1F2|.这个条件是必要的，否则其轨迹就不是椭圆.事实上，若2a＝|F1F2|，其轨迹是_________；若2a|F1F2|，其轨迹_______.线段F1F2不存在考纲考向分析核心要点突破2.椭圆的标准方程(1)椭圆标准方程的推导是根据椭圆的定义，通过建立恰当的坐标系求出的，参数b＝________，它是为化简方程的需要而引入的，它具有明确的几何意义：b表示短半轴的长.(2)求椭圆的标准方程应从“定形”“定式”和“定量”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设椭圆方程的标准形式；“定量”是根据待定系数法确定a，b的大小.a2－c2考纲考向分析核心要点突破知识点二椭圆的几何性质条件2a2c，a2＝b2＋c2，a0，b0，c0图形标准方程范围________________________x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)|x|≤a；|y|≤b|x|≤b；|y|≤a考纲考向分析核心要点突破对称性曲线关于_______________对称曲线关于_______________对称顶点长轴顶点_______短轴顶点_______长轴顶点_______短轴顶点_______焦点(±c，0)(0，±c)焦距|F1F2|＝2c(c2＝_______)离心率e＝ca∈(______)，其中c＝________通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为___x轴、y轴、原点x轴、y轴、原点±a，00，±b0，±a±b，00，1a2－b22b2aa2－b2考纲考向分析核心要点突破【名师助学】1.本部分知识可以归纳为：(1)一个定义：椭圆的定义：①在平面内；②|MF1|＋|MF2|＝2a|F1F2|.(2)两种方程：①焦点在x轴上的方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)；②焦点在y轴上的方程y2a2＋x2b2＝1(ab0).(3)五个性质：①范围；②对称性；③顶点；④离心率；⑤通径.2.注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，|y|≤b，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽视而导致求最值错误的原因.3.注意椭圆上点的坐标范围，特别是把椭圆上某一点坐标视为某一函数问题，求函数的单调区间、最值时有重要意义.考纲考向分析核心要点突破方法1椭圆的几何性质(1)椭圆的几何性质常涉及一些不等式关系，例如对椭圆x2a2＋y2b2＝1有－a≤x≤a，－b≤y≤b，0e1等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值或最小值时，经常用到这些不等式关系.(2)求解与椭圆几何性质有关的问题时常结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形.当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.考纲考向分析核心要点突破【例1】(2014·青岛模拟)若点O和点F分别为椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP→·FP→的最大值为()A.2B.3C.6D.8[解题指导](1)已知：椭圆x24＋y23＝1，P的椭圆上的任意一点.(2)分析：关键是将OP→·FP→用点P的坐标表示，再利用点P在椭圆上，转化成一个变量的函数求最大值，但要注意点P的坐标的取值范围.考纲考向分析核心要点突破解析由椭圆x24＋y23＝1可得F(－1，0)，点O(0，0)，设P(x，y)(－2≤x≤2)，则OP→·FP→＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋31－x24＝14x2＋x＋3＝14(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，当且仅当x＝2时，OP→·FP→取得最大值6.答案C考纲考向分析核心要点突破[点评]解决本题的关键是表示出OP→·FP→，转化为一元二次函数，根据椭圆的性质确定变量的取值范围.考纲考向分析核心要点突破方法2直线与椭圆的位置关系(1)直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式Δ来判断直线和椭圆相交、相切或相离.(2)消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础.考纲考向分析核心要点突破【例2】(2013·北京，19)已知A，B，C是椭圆W：＋y2＝1上的三个点，O是坐标原点.(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.考纲考向分析核心要点突破解(1)椭圆W：x24＋y2＝1的右顶点B的坐标为(2，0).因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分.所以可设A(1，m)，代入椭圆方程得14＋m2＝1，即m＝±32.所以菱形OABC的面积是12|OB|·|AC|＝12×2×2|m|＝3.(2)四边形OABC不可能为菱形.理由如下：假设四边形OABC为菱形.因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0).由x2＋4y2＝4，y＝kx＋m消去y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.考纲考向分析核心要点突破设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1＋x22＝－4km1＋4k2，y1＋y22＝k·x1＋x22＋m＝m1＋4k2.所以AC的中点为M－4km1＋4k2，m1＋4k2.因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为－14k.因为k·－14k≠－1，所以AC与OB不垂直.所以OABC不是菱形，与假设矛盾.所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形.考纲考向分析核心要点突破[点评]如何把四边形OABC为菱形这一条件代数化是解答本题的关键.可联立直线与椭圆方程，在Δ0的条件下用根与系数的关系求出弦AC中点M的坐标(也可用点差法求出M的坐标)，判断OM与AC是否垂直即可.考纲考向分析核心要点突破方法3求椭圆的标准方程的策略求椭圆的标准方程有两种方法：(1)定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.(2)待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论.考纲考向分析核心要点突破【例3】设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左，右焦点分别为F1，F2.点P(a，b)满足|PF2|＝|F1F2|.(1)求椭圆的离心率e；(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点.若直线PF2与圆(x＋1)2＋(y－3)2＝16相交于M，N两点，且|MN|＝58|AB|，求椭圆的方程.[解题指导]第(1)问由|PF2|＝|F1F2|建立关于a、c的方程；第(2)问可以求出点A、B的坐标或利用根与系数的关系求|AB|，再利用圆的知识求解.考纲考向分析核心要点突破解(1)设F1(－c，0)，F2(c，0)(c0)，因为|PF2|＝|F1F2|，所以（a－c）2＋b2＝2c.整理得2ca2＋ca－1＝0，得ca＝－1(舍)，或ca＝12.所以e＝12.(2)由(1)知a＝2c，b＝3c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝3(x－c).A，B两点的坐标满足方程组3x2＋4y2＝12c2，y＝3（x－c）.消去y并整理，得5x2－8cx＝0.解得x1＝0，x2＝85c.得方程组的解x1＝0，y1＝－3c，x2＝85c，y2＝335c.考纲考向分析核心要点突破不妨设A85c，335c，B(0，－3c)，所以|AB|＝85c2＋335c＋3c2＝165c.于是|MN|＝58|AB|＝2c.圆心(－1，3)到直线PF2的距离d＝|－3－3－3c|2＝3|2＋c|2.因为d2＋|MN|22＝42，所以34(2＋c)2＋c2＝16.整理得7c2＋12c－52＝0，得c＝－267(舍)，或c＝2.所以椭圆方程为x216＋y212＝1.考纲考向分析核心要点突破[点评]待定系数法求椭圆方程的步骤第一步：作判断，根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；第二步：设方程，根据上述判断设方程，当已知椭圆的焦点在x轴上时，其标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)；当已知椭圆的焦点在y轴上时，其标准方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)；第三步：找关系，根据已知条件，建立关于a、b、c或m、n的方程组；第四步：得方程，解方程组，将解代入所设方程，即为所求.