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考纲考向分析核心要点突破第二节圆与方程及直线与圆的位置关系考纲考向分析核心要点突破考点梳理考纲速览命题解密热点预测1.圆的方程.2.直线与圆的位置关系.3.圆与圆的位置关系.1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系.3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.4.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.主要考查根据所给条件选取适当的圆的方程待定系数法求圆的方程或求圆的切线方程，判断直线与圆的位置关系，利用圆与圆的位置关系解决相关问题等.直线与圆的位置关系、弦长、圆与圆的位置关系是高考热点.并考查圆的方程及直线与圆的位置关系等综合问题，以中等难度为主.考纲考向分析核心要点突破知识点一圆的方程1.圆的定义及其方程(1)在平面内到_____的距离等于的点的轨迹叫做圆.(2)确定一个圆的基本要素是：_____和_____.(3)圆的标准方程：①两个条件：圆心(a，b)，半径r；②标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.定点圆心半径定长考纲考向分析核心要点突破(4)圆的一般方程①一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；②方程表示圆的充要条件为：_____________；D2＋E2－4F0③圆心坐标－D2，－E2，半径r＝_____________.12D2＋E2－4F.2.点与圆的位置关系(1)理论依据：__与____的距离与半径的大小关系(2)三个结论：圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)①_______________＝r2⇔点在圆上；②_______________r2⇔点在圆外；③_______________r2⇔点在圆内.(x0－a)2＋(y0－b)2(x0－a)2＋(y0－b)2(x0－a)2＋(y0－b)2圆心点考纲考向分析核心要点突破知识点二直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交drΔ0相切drΔ0相离drΔ0＝＝考纲考向分析核心要点突破2.圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r10)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r20).方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况相离____________相外切_________一组实数解相交________________________________相内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d|r1－r2|(r1≠r2)无解dr1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|dr1＋r2无解两组不同的实数解考纲考向分析核心要点突破【名师助学】1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数，同时注意利用几何法求圆的方程时，要充分利用圆的性质.2.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质(1)圆心在过切点且垂直切线的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线.考纲考向分析核心要点突破方法1圆的方程求圆的方程的几种方法：(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程；(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，根据已知条件列出关于a、b、r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值.考纲考向分析核心要点突破【例1】(1)过点A(－2，4)，B(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程为________；(2)经过点A(－2，－4)，且与直线l：x＋3y－26＝0相切于点B(8，6)的圆的方程为________.考纲考向分析核心要点突破解析(1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A，B两点的坐标代入得2D－4E－F＝20，3D－E＋F＝－10，再令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.设x1，x2是方程的两根，由|x1－x2|＝6得，D2－4F＝36，由2D－4E－F＝20，3D－E＋F＝－10，D2－4F＝36，解得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0.因此，所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.考纲考向分析核心要点突破(2)法一设圆心坐标为C(a，b)，依题意得，b－6a－8＝3，（a＋2）2＋（b＋4）2＝（a－8）2＋（b－6）2，解得a＝112，b＝－32，半径r＝8－1122＋6＋322＝5102，因此，所求圆的方程为x－1122＋y＋322＝1252.考纲考向分析核心要点突破法二依题意得，圆心在AB的垂直平分线上，而AB的垂直平分线方程为x＋y－4＝0.又因为圆心也在过B且与直线l垂直的直线上，而此直线方程为3x－y－18＝0，解方程且组x＋y－4＝0，3x－y－18＝0，得x＝112，y＝－32，以下同法一.答案(1)x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0(2)x－1122＋y＋322＝1252考纲考向分析核心要点突破[点评]解决此类问题的关键是设出圆的方程利用待定系数法求解，或利用圆的几何性质求出圆心及半径.考纲考向分析核心要点突破方法2直线与圆的位置关系(1)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程：①几何方法：当斜率存在时，设为k，切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程.②代数方法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出.考纲考向分析核心要点突破(2)圆的弦长的求法①几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则l22＝r2－d2.②代数法：设直线与圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，解方程组y＝kx＋b，（x－x0）2＋（y－y0）2＝r2，消y后得关于x的一元二次方程，从而求得x1＋x2，x1x2，则弦长为|AB|＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2](k为直线斜率).考纲考向分析核心要点突破【例2】已知点P(0，5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.若直线l过P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程.解(1)法一如图所示，AB＝43，D是AB的中点，CD⊥AB，AD＝23，圆x2＋y2＋4x－12y＋24＝0可化为(x＋2)2＋(y－6)2＝16，圆心C(－2，6)，半径r＝4，故AC＝4，在Rt△ACD中，可得CD＝2.考纲考向分析核心要点突破当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由点C到直线AB的距离公式得|－2k－6＋5|k2＋（－1）2＝2，∴k＝34.此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.当直线l的斜率不存在时，方程为x＝0.则y2－12y＋24＝0，∴y1＝6＋23，y2＝6－23，∴|y2－y1|＝43，故x＝0满足题意，∴所求直线的方程为3x－4y＋20＝0或x＝0.法二当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线的方程为y－5＝kx，即y＝kx＋5，联立直线与圆的方程，得y＝kx＋5，x2＋y2＋4x－12y＋24＝0，考纲考向分析核心要点突破消去y，得(1＋k2)x2＋(4－2k)x－11＝0.①设方程①的两根为x1，x2，由根与系数的关系，得x1＋x2＝2k－41＋k2，x1x2＝－111＋k2.②由弦长公式，得1＋k2|x1－x2|＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]＝43.将②式代入，解得k＝34，此时直线的方程为3x－4y＋20＝0.当k不存在时也满足题意，此时直线方程为x＝0，∴所求直线的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.考纲考向分析核心要点突破[点评]解决本题的关键是利用弦心距、半径、半弦长构成的直角三角形求解，或将直线方程与圆的方程联立利用弦长公式求解.考纲考向分析核心要点突破方法3与圆有关的综合问题直线与圆综合问题的求解策略(1)利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决.(2)直线与圆和平面几何联系十分紧密，可充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放到一起综合考虑.考纲考向分析核心要点突破【例3】已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问在圆C上是否存在两点A、B关于直线y＝kx－1对称，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，说明理由.解圆C的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心为C(1，－2).假设在圆C上存在两点A，B满足条件，则圆心C(1，－2)在直线y＝kx－1上，即k＝－1.于是可知，kAB＝1.设lAB∶y＝x＋b，代入圆C的方程，整理得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，则Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)0，考纲考向分析核心要点突破即b2＋6b－90.解得－3－32b－3＋32.设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－b－1，x1x2＝12b2＋2b－2.由题意知OA⊥OB，则有x1x2＋y1y2＝0.也就是x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0.∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0.∴b2＋4b－4－b2－b＋b2＝0，化简得b2＋3b－4＝0.解得b＝－4或b＝1，均满足Δ0，即直线AB的方程为x－y－4＝0，或x－y＋1＝0.考纲考向分析核心要点突破[点评]本题是与圆有关的探索类问题，要注意充分利用圆的几何性质解题，解题的关键有两点：(1)假设存在两点A、B关于直线对称，则直线过圆心.(2)若以AB为直径的圆过原点，则OA⊥OB.转化为OA→·OB→＝0.